Задача Томсона

Конфигурация максимального расстояния для N точек на сфере

Цель задачи Томсона — определить минимальную конфигурацию электростатической потенциальной энергии N электронов , привязанных к поверхности единичной сферы , которые отталкивают друг друга с силой, определяемой законом Кулона . Физик Дж. Дж. Томсон поставил эту проблему в 1904 году ^[1] после того, как предложил модель атома , позже названную моделью сливового пудинга , основанную на его знаниях о существовании отрицательно заряженных электронов внутри нейтрально заряженных атомов.

Связанные с этим проблемы включают изучение геометрии конфигурации с минимальной энергией и изучение поведения минимальной энергии при больших N.

Математическое утверждение

Энергия электростатического взаимодействия, возникающая между каждой парой электронов с одинаковыми зарядами ( , с элементарным зарядом электрона), определяется законом Кулона , ${\displaystyle e_{i}=e_{j}=e}$ ${\displaystyle e}$

${\displaystyle U_{ij}(N)={e_{i}e_{j} \over 4\pi \epsilon _{0}r_{ij}},}$

где – электрическая постоянная , – расстояние между каждой парой электронов, находящихся в точках сферы, определяемых векторами и соответственно. ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ ${\displaystyle r_{ij}=|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{j}}$

Упрощенные единицы и ( постоянная Кулона ) используются без ограничения общности. Затем, ${\displaystyle e=1}$ ${\displaystyle k_{e}=1/4\pi \epsilon _{0}=1}$

${\displaystyle U_{ij}(N)={1 \over r_{ij}}.}$

Полная электростатическая потенциальная энергия каждой N -электронной конфигурации может быть тогда выражена как сумма всех энергий парного взаимодействия.

${\displaystyle U(N)=\sum _{i<j}{\frac {1}{r_{ij}}}.}$

Глобальная минимизация всех возможных конфигураций N различных точек обычно находится с помощью алгоритмов числовой минимизации. ${\displaystyle U(N)}$

Проблема Томсона связана с 7-й из восемнадцати нерешённых математических задач, предложенных математиком Стивом Смейлом , — «Распределение точек на 2-сфере». ^[2] Основное отличие состоит в том, что в задаче Смейла минимизируемой функцией является не электростатический потенциал , а логарифмический потенциал, определяемый формулой. Второе отличие состоит в том, что вопрос Смейла касается асимптотического поведения полного потенциала, когда число N точек достигает бесконечность, а не для конкретных значений N. ${\displaystyle 1 \over r_{ij}}$ ${\displaystyle -\log r_{ij}.}$

Пример

Решение задачи Томсона для двух электронов получается, когда оба электрона находятся как можно дальше друг от друга по разные стороны от начала координат, или ${\displaystyle r_{ij}=2r=2}$

${\displaystyle U(2)={1 \over 2}.}$

Известные точные решения

Схематические геометрические решения математической задачи Томсона для числа электронов до N  = 5.

Математически точные конфигурации минимальной энергии были строго идентифицированы лишь в нескольких случаях.

• При N  = 1 решение тривиально. Одиночный электрон может находиться в любой точке поверхности единичной сферы. Полная энергия конфигурации определяется как ноль, поскольку на заряд электрона не действует электрическое поле, создаваемое другими источниками заряда.

• При N  = 2 оптимальная конфигурация состоит из электронов в противоположных точках . Это представляет собой первое одномерное решение.

• При N  = 3 электроны находятся в вершинах равностороннего треугольника вокруг любого большого круга . ^[3] Часто считается, что большой круг определяет экватор вокруг сферы, а две точки, перпендикулярные плоскости, часто считаются полюсами, что помогает в обсуждении электростатических конфигураций многоN - электронных растворов. Кроме того, это представляет собой первое двумерное решение.

• При N  = 4 электроны находятся в вершинах правильного тетраэдра . Интересно, что это первое трехмерное решение.

• Для N  = 5 в 2010 году было опубликовано математически строгое компьютерное решение с электронами, находящимися в вершинах треугольной дипирамиды . ^[4] Интересно, что ни один раствор N с пятью или более электронами не может демонстрировать глобальное равноудаление между всеми парами электронов.

• При N  = 6 электроны находятся в вершинах правильного октаэдра . ^[5] Конфигурацию можно представить как четыре электрона, находящиеся в углах квадрата вокруг экватора, и оставшиеся два, находящиеся на полюсах.

• При N  = 12 электроны находятся в вершинах правильного икосаэдра . ^[6]

Геометрические решения задачи Томсона для N  = 4, 6 и 12 электронов представляют собой платоновы тела , все грани которых представляют собой конгруэнтные равносторонние треугольники. Численные решения для N  = 8 и 20 не являются правильными выпуклыми многогранными конфигурациями остальных двух Платоновых тел, куба и додекаэдра соответственно . ^[7]

Обобщения

Можно также задаться вопросом об основных состояниях частиц, взаимодействующих с произвольными потенциалами. Чтобы быть математически точным, пусть f будет убывающей действительной функцией и определим функционал энергии

$${\displaystyle \sum _{i<j}f(|x_{i}-x_{j}|).}$$

Традиционно рассматриваются также известные как ядра Рисса . Об интегрируемых ядрах Рисса см. работу Ландкофа 1972 года. ^[8] Для неинтегрируемых ядер Рисса справедлива теорема о маковом бублике , см. работу Хардина и Саффа 2004 года. ^[9] Известные случаи включают: ^[10] ${\displaystyle f(x)=x^{-\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$

• α  = ∞ – проблема Таммеса (упаковка);
• α  = 1 — задача Томсона;
• α  = 0, чтобы максимизировать произведение расстояний, позже известное как проблема Уайта;
• α  = −1: проблема максимального среднего расстояния.

Можно также рассмотреть конфигурации из N точек на сфере более высокой размерности . См. сферический дизайн .

Алгоритмы решения

Для решения этой задачи было применено несколько алгоритмов . Основное внимание с начала тысячелетия уделялось методам локальной оптимизации , применяемым к функции энергии, хотя и появились случайные блуждания : ^[10]

• ограниченная глобальная оптимизация (Альтшулер и др., 1994),
• самый крутой спуск (Клакстон и Бенсон, 1966, Эрбер и Хокни, 1991),
• случайное блуждание (Weinrach et al. 1990),
• генетический алгоритм (Моррис и др., 1996)

Хотя цель состоит в том, чтобы минимизировать глобальную электростатическую потенциальную энергию каждого случая N -электрона, интерес представляют несколько алгоритмических стартовых случаев.

Сплошной сферический снарядный заряд

Крайний верхний энергетический предел задачи Томсона определяется выражением для непрерывного заряда оболочки, за которым следует N(N - 1)/2, энергия, связанная со случайным распределением N электронов. Значительно меньшая энергия данного N -электронного решения проблемы Томсона с одним зарядом в его начале легко получается по формуле , где – решения проблемы Томсона. ${\displaystyle N^{2}/2}$ ${\displaystyle U(N)+N}$ ${\displaystyle U(N)}$

Энергия сплошной сферической оболочки заряда, распределенная по ее поверхности, определяется выражением

${\displaystyle U_{\text{shell}}(N)={\frac {N^{2}}{2}}}$

и, вообще говоря, больше, чем энергия решения любой задачи Томсона. Примечание. Здесь N используется как непрерывная переменная, представляющая бесконечно делимый заряд Q , распределенный по сферической оболочке. Например, сферическая оболочка представляет собой равномерное распределение заряда одного электрона по всей оболочке. ${\displaystyle N=1}$ ${\displaystyle -e}$

Случайно распределенные балльные начисления

Ожидаемая глобальная энергия системы электронов, распределенных чисто случайным образом по поверхности сферы, определяется выражением

${\displaystyle U_{\text{rand}}(N)={\frac {N(N-1)}{2}}}$

и, вообще говоря, больше, чем энергия решения любой задачи Томсона.

Здесь N — дискретная переменная, подсчитывающая количество электронов в системе. Также, . ${\displaystyle U_{\text{rand}}(N)<U_{\text{shell}}(N)}$

Зарядоцентрированное распределение

Для каждого N -го решения задачи Томсона существует-я конфигурация, включающая электрон в начале сферы, энергия которого представляет собой просто добавление N к энергии N -го решения. То есть ^[11] ${\displaystyle (N+1)}$

${\displaystyle U_{0}(N+1)=U_{\text{Thom}}(N)+N.}$

Таким образом, если известно точно, то известно точно. ${\displaystyle U_{\text{Thom}}(N)}$ ${\displaystyle U_{0}(N+1)}$

В общем, больше, чем , но значительно ближе к каждому решению Томсона, чем и . Таким образом, зарядоцентрированное распределение представляет собой меньший «энергетический разрыв», который необходимо пересечь, чтобы прийти к решению каждой задачи Томсона, чем алгоритмы, которые начинаются с двух других конфигураций заряда. ${\displaystyle U_{0}(N+1)}$ ${\displaystyle U_{\text{Thom}}(N+1)}$ ${\displaystyle (N+1)}$ ${\displaystyle U_{\text{shell}}(N+1)}$ ${\displaystyle U_{\text{rand}}(N+1)}$

Связь с другими научными проблемами

Проблема Томсона является естественным следствием модели сливового пудинга Дж. Дж. Томсона при отсутствии ее однородного положительного фонового заряда. ^[12]

«Ни один факт, обнаруженный об атоме, не может быть тривиальным и не может не ускорить прогресс физической науки, поскольку большая часть естественной философии является результатом структуры и механизма атома».

—Сэр Джей Джей Томсон ^[13]

Хотя экспериментальные данные привели к отказу от модели сливового пудинга Томсона как полной модели атома, было обнаружено, что нарушения, наблюдаемые в численных энергетических решениях проблемы Томсона, соответствуют заполнению электронной оболочки в естественных атомах во всей периодической таблице элементов. ^[14]

Проблема Томсона также играет роль в изучении других физических моделей, включая многоэлектронные пузыри и поверхностное упорядочение капель жидкого металла, удерживаемых в ловушках Пауля .

Обобщенная задача Томсона возникает, например, при определении расположения белковых субъединиц, составляющих оболочки сферических вирусов . «Частицы» в этом приложении представляют собой кластеры белковых субъединиц, расположенных на оболочке. Другие реализации включают регулярное расположение коллоидных частиц в коллоидосомах , предложенное для инкапсуляции активных ингредиентов, таких как лекарства, питательные вещества или живые клетки, фуллереновые структуры атомов углерода и теорию VSEPR . Примером дальнодействующих логарифмических взаимодействий являются вихри Абрикосова , образующиеся при низких температурах в сверхпроводящей металлической оболочке с большим монополем в ее центре.

Конфигурации с наименьшей известной энергией

В следующей таблице ^{[ нужна ссылка ]} указано количество точек (зарядов) в конфигурации, энергия, тип симметрии указан в обозначениях Шенфлиса (см. Группы точек в трех измерениях ) и положения зарядов. Большинство типов симметрии требуют, чтобы векторная сумма положений (и, следовательно, электрический дипольный момент ) была равна нулю. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle U_{\textrm {Thom}}}$ ${\displaystyle r_{i}}$

Многогранником принято считать также выпуклую оболочку точек. Таким образом, - число вершин, в которых сходится заданное количество ребер, - общее количество ребер, - количество треугольных граней, - количество четырехугольных граней, - наименьший угол, образованный векторами, связанными с ближайшей зарядовой парой. . Обратите внимание, что длины ребер обычно не равны. Таким образом, за исключением случаев N  = 2, 3, 4, 6, 12 и геодезических многогранников , выпуклая оболочка только топологически эквивалентна фигуре, указанной в последнем столбце. ^[15] ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle f_{3}}$ ${\displaystyle f_{4}}$ ${\displaystyle \theta _{1}}$

Согласно гипотезе, если , p — многогранник, образованный выпуклой оболочкой из m точек, q — количество четырехугольных граней p , то решением для m электронов является f ( m ): . ^{[16] [ нужны разъяснения ]} ${\displaystyle m=n+2}$ ${\displaystyle f(m)=0^{n}+3n-q}$

Рекомендации

1. Томсон, Джозеф Джон (март 1904 г.). «О структуре атома: исследование стабильности и периодов колебаний ряда корпускул, расположенных через равные промежутки по окружности круга; с применением результатов к теории атомной структуры» (PDF) . Философский журнал . Серия 6. 7 (39): 237–265. дои : 10.1080/14786440409463107. Архивировано из оригинала (PDF) 13 декабря 2013 года.
2. Смейл, С. (1998). «Математические проблемы следующего столетия». Математический интеллект . 20 (2): 7–15. CiteSeerX 10.1.1.35.4101 . дои : 10.1007/bf03025291. S2CID  1331144. 
3. Фёппль, Л. (1912). «Стабильное Anordnungen von Elektronen im Atom». Дж. Рейн Анжью. Математика . 141 (141): 251–301. дои : 10.1515/crll.1912.141.251. S2CID  120309200..
4. Шварц, Ричард (2010). «5-электронный случай проблемы Томсона». arXiv : 1001.3702 [math.MG].
5. Юдин, В.А. (1992). «Минимум потенциальной энергии системы точечных зарядов». Дискретная математика . 4 (2): 115–121 (на русском языке).; Юдин, В.А. (1993). «Минимум потенциальной энергии системы точечных зарядов». Дискретная математика. Приложение . 3 (1): 75–81. дои : 10.1515/dma.1993.3.1.75. S2CID  117117450.
6. Андреев, Н.Н. (1996). «Экстремальное свойство икосаэдра». Ист Дж. Приближение . 2 (4): 459–462. МР 1426716, Збл  0877.51021
7. Атья, Майкл; Сатклифф, Пол (2003). «Многогранники в физике, химии и геометрии». arXiv : math-ph/0303071 .
8. Ландкоф, Н.С. Основы современной теории потенциала. Перевод с русского А. П. Духовской. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 180. Springer-Verlag, Нью-Йорк-Гейдельберг, 1972. x + 424 стр.
9. Хардин, ДП; Сафф, Э.Б. Дискретизация многообразий через точки минимальной энергии. Замечания амер. Математика. Соц. 51 (2004), вып. 10, 1186–1194 гг.
10. Батагель, Владимир; Плестеняк, Бор. «Оптимальное расположение n точек на сфере и в круге» (PDF) . МВФМ/ТКС. Архивировано из оригинала (PDF) 25 июня 2018 года.
11. ЛаФэйв-младший, Тим (февраль 2014 г.). «Дискретные преобразования в задаче Томсона». Журнал электростатики . 72 (1): 39–43. arXiv : 1403.2592 . doi :10.1016/j.elstat.2013.11.007. S2CID  119309183.
12. Левин, Ю.; Арензон, Джей-Джей (2003). «Почему заряды уходят на поверхность: обобщенная проблема Томсона». Еврофиз. Летт . 63 (3): 415. arXiv : cond-mat/0302524 . Бибкод : 2003EL.....63..415L. doi : 10.1209/epl/i2003-00546-1. S2CID  18929981.
13. Сэр Дж. Дж. Томсон, Лекция Романа, 1914 г. (Атомная теория)
14. ЛаФэйв-младший, Тим (2013). «Соответствия между классической электростатической задачей Томсона и электронной структурой атома». Журнал электростатики . 71 (6): 1029–1035. arXiv : 1403.2591 . doi :10.1016/j.elstat.2013.10.001. S2CID  118480104.
15. Кевин Браун. «Минимально-энергетические конфигурации электронов на сфере». Проверено 1 мая 2014 г.
16. «A008486 Слоана (см. комментарий от 3 февраля 2017 г.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 8 февраля 2017 г.

Примечания

• Уайт, LL (1952). «Уникальное расположение точек на сфере». амер. Математика. Ежемесячно . 59 (9): 606–611. дои : 10.2307/2306764. JSTOR  2306764.
• Кон, Харви (1956). «Конфигурации устойчивости электронов на сфере». Математика. Вычислить . 10 (55): 117–120. дои : 10.1090/S0025-5718-1956-0081133-0 .
• Гольдберг, Майкл (1969). «Конфигурации устойчивости электронов на сфере». Математика. Комп . 23 (108): 785–786. дои : 10.1090/S0025-5718-69-99642-2 .
• Эрбер, Т.; Хокни, генеральный менеджер (1991). «равновесные конфигурации N равных зарядов на сфере». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 24 (23): Л1369. Бибкод : 1991JPhA...24L1369E. дои : 10.1088/0305-4470/24/23/008. S2CID  122561279.
• Моррис-младший; Дивен, DM; Хо, К.М. (1996). «Минимизация энергии генетического алгоритма для точечных зарядов на сфере». Физ. Преподобный Б. 53 (4): R1740–R1743. Бибкод : 1996PhRvB..53.1740M. CiteSeerX  10.1.1.28.93 . doi : 10.1103/PhysRevB.53.R1740. ПМИД  9983695.
• Эрбер, Т.; Хокни, генеральный менеджер (1997). Сложные системы: равновесные конфигурации равных зарядов на сфере ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle (2\leq N\leq 112)}$ . Том. 98. стр. 495–594. дои : 10.1002/9780470141571.ch5. ISBN 9780470141571. {{cite book}}: |journal=проигнорировано ( помощь ) .
• Альтшулер, Э.Л.; Уильямс, Ти Джей; Ратнер, скорая помощь; Типтон, Р.; Стонг, Р.; Довла, Ф.; Вутен, Ф. (1997). «Возможные глобальные минимальные конфигурации решетки для задачи Томсона о зарядах на сфере». Физ. Преподобный Летт . 78 (14): 2681–2685. Бибкод : 1997PhRvL..78.2681A. doi : 10.1103/PhysRevLett.78.2681.
• Боуик, М.; Каччуто, А.; Нельсон, доктор медицинских наук; Травессет, А. (2002). «Кристаллический порядок на сфере и обобщенная проблема Томсона». Физ. Преподобный Летт . 89 (18): 249902. arXiv : cond-mat/0206144 . Бибкод : 2002PhRvL..89r5502B. doi : 10.1103/PhysRevLett.89.185502. PMID  12398614. S2CID  20362989.
• Драгнев, П.Д.; Легг, Д.А.; Таунсенд, Д.В. (2002). «Дискретная логарифмическая энергия на сфере». Пасифик Дж. Математика . 207 (2): 345–358. дои : 10.2140/pjm.2002.207.345 ..
• Катанфоруш, А.; Шахшахани, М. (2003). «Распределение точек на сфере. I». Экспер. Математика . 12 (2): 199–209. дои : 10.1080/10586458.2003.10504492. S2CID  7306812.
• Уэльс, Дэвид Дж.; Улкер, Сидика (2006). «Структура и динамика сферических кристаллов, охарактеризованная задачей Томсона». Физ. Преподобный Б. 74 (21): 212101. Бибкод : 2006PhRvB..74u2101W. doi : 10.1103/PhysRevB.74.212101. S2CID  119932997.Конфигурации переизданы в Уэльсе, ди-джей; Улкер, С. «Кембриджская кластерная база данных».
• Слосар, А.; Подгорник, Р. (2006). «О задаче Томсона о связанных зарядах». Еврофиз. Летт . 75 (4): 631. arXiv : cond-mat/0606765 . Бибкод : 2006EL.....75..631S. doi : 10.1209/epl/i2006-10146-1. S2CID  119005054.
• Кон, Генри; Кумар, Абхинав (2007). «Универсально оптимальное распределение точек на сферах». Дж. Амер. Математика. Соц . 20 (1): 99–148. arXiv : math/0607446 . Бибкод : 2007JAMS...20...99C. дои : 10.1090/S0894-0347-06-00546-7. S2CID  26614691.
• Уэльс, диджей; Маккей, Х.; Альтшулер, Э.Л. (2009). «Мотивы дефектов для сферических топологий». Физ. Преподобный Б. 79 (22): 224115. Бибкод : 2009PhRvB..79v4115W. doi : 10.1103/PhysRevB.79.224115.. Конфигурации, воспроизведенные в Уэльсе, диджей; Улкер, С. «Кембриджская кластерная база данных».
• Риджуэй, WJM; Чевяков, А.Ф. (2018). «Итеративная процедура поиска локально и глобально оптимального расположения частиц на единичной сфере». Вычислить. Физ. Коммун . 233 : 84–109. Бибкод : 2018CoPhC.233...84R. дои : 10.1016/j.cpc.2018.03.029. S2CID  52097788.
• Чека, Крис; Боуик, Марк Дж.; Миддлтон, Алан А. «Задача Томсона @ SU» . Архивировано из оригинала 9 апреля 2018 г. Проверено 24 ноября 2009 г.
• На этой веб-странице содержится гораздо больше электронных конфигураций с наименьшей известной энергией: https://www.hars.us.