В евклидовой геометрии задача Аполлония заключается в построении всех окружностей, касающихся трех данных окружностей. Частными случаями задачи Аполлония являются те, в которых хотя бы одна из данных окружностей является точкой или прямой, т. е. является окружностью нулевого или бесконечного радиуса. Девять типов таких предельных случаев задачи Аполлония заключаются в построении окружностей, касающихся:
В другом предельном случае три заданных геометрических элемента могут иметь особое расположение, например, построение окружности, касательной к двум параллельным прямым и одной окружности.
Как и большинство разделов математики , евклидова геометрия занимается доказательствами общих истин из минимума постулатов . Например, простое доказательство показало бы, что по крайней мере два угла равнобедренного треугольника равны. Одним из важных типов доказательств в евклидовой геометрии является демонстрация того, что геометрический объект может быть построен с помощью циркуля и неразмеченной линейки; объект может быть построен тогда и только тогда, когда (ifl) ( берется что-то около не выше квадратных корней ). Поэтому важно определить, может ли объект быть построен с помощью циркуля и линейки, и если да, то как он может быть построен.
Евклид разработал многочисленные конструкции с помощью циркуля и линейки. Примерами служат: правильные многоугольники , такие как пятиугольник и шестиугольник , линия, параллельная другой, которая проходит через заданную точку и т. д. Многие окна-розетки в готических соборах , а также некоторые кельтские узлы можно построить, используя только евклидовы конструкции. Однако некоторые геометрические конструкции невозможны с помощью этих инструментов, включая семиугольник и трисекцию угла.
Аполлоний внес много построений, а именно, нахождение окружностей, касающихся одновременно трех геометрических элементов, где «элементами» могут быть точка, линия или окружность.
В евклидовых построениях допускается пять операций:
Исходные элементы геометрической конструкции называются «данными», например, данная точка, данная прямая или данная окружность.
Для построения перпендикуляра к отрезку прямой между двумя точками требуются две окружности, каждая из которых имеет центр в конечной точке и проходит через другую конечную точку (операция 2). Точки пересечения этих двух окружностей (операция 4) равноудалены от конечных точек. Прямая, проходящая через них (операция 1), является перпендикуляром к середине.
Для построения прямой, которая делит пополам угол между двумя заданными лучами [ требуется пояснение ] , требуется окружность произвольного радиуса с центром в точке пересечения P двух заданных прямых (2). Точками пересечения этой окружности с двумя заданными прямыми (5) являются T1 и T2. Две окружности одинакового радиуса с центрами в T1 и T2 пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через P и Q (1), является биссектрисой угла. Лучи имеют одну биссектрису угла; прямые — две, перпендикулярные друг другу.
Несколько основных результатов полезны при решении частных случаев проблемы Аполлония. Обратите внимание, что линию и точку можно рассматривать как окружности бесконечно большого и бесконечно малого радиуса соответственно.
Задачи PPP обычно имеют единственное решение. Как показано выше, если окружность проходит через две заданные точки P 1 и P 2 , ее центр должен лежать где-то на перпендикулярной серединной линии этих двух точек. Следовательно, если окружность решения проходит через три заданные точки P 1 , P 2 и P 3 , ее центр должен лежать на перпендикулярных серединных линиях , и . По крайней мере две из этих биссектрис должны пересекаться, и точка их пересечения является центром окружности решения. Радиус окружности решения — это расстояние от этого центра до любой из трех заданных точек.
Задачи LLL обычно предлагают 4 решения. Как показано выше, если окружность касается двух данных прямых, ее центр должен лежать на одной из двух прямых, которые делят пополам угол между двумя данными прямыми. Следовательно, если окружность касается трех данных прямых L 1 , L 2 и L 3 , ее центр C должен быть расположен на пересечении биссектрис трех данных прямых. В общем случае существует четыре таких точки, что дает четыре различных решения задачи LLL Аполлония. Радиус каждого решения определяется путем нахождения точки касания T , что можно сделать, выбрав одну из трех точек пересечения P между данными прямыми; и начертив окружность с центром в середине C и P и диаметром, равным расстоянию между C и P . Пересечения этой окружности с пересекающимися данными прямыми являются двумя точками касания.
Задачи PLL обычно имеют 2 решения. Как показано выше, если окружность касается двух данных прямых, ее центр должен лежать на одной из двух прямых, которые делят угол между двумя данными прямыми пополам. По симметрии , если такая окружность проходит через заданную точку P , она должна также проходить через точку Q , которая является «зеркальным отражением» P относительно биссектрисы угла. Две окружности решения проходят через P и Q , а их радикальная ось является линией, соединяющей эти две точки. Рассмотрим точку G, в которой радикальная ось пересекает одну из двух данных прямых. Поскольку каждая точка на радикальной оси имеет одинаковую мощность относительно каждой окружности, расстояния и до точек касания решения T 1 и T 2 равны друг другу и произведению
Таким образом, оба расстояния равны геометрическому среднему значению и . Из G и этого расстояния можно найти точки касания T 1 и T 2. Тогда две окружности решения — это окружности, которые проходят через три точки ( P , Q , T 1 ) и ( P , Q , T 2 ) соответственно.
Задачи PPL обычно имеют 2 решения. Если прямая m, проведенная через заданные точки P и Q , параллельна заданной прямой l , то точка касания T окружности с l расположена на пересечении перпендикуляра к ней с l . В этом случае единственным решением является окружность, проходящая через три точки P , Q и T.
Если прямая m не параллельна данной прямой l , то она пересекает l в точке G. По теореме о силе точки расстояние от G до точки касания T должно быть равно среднему геометрическому
Две точки на данной прямой L расположены на расстоянии от точки G , которое можно обозначить как T 1 и T 2. Две окружности решения — это окружности, проходящие через три точки ( P , Q , T 1 ) и ( P , Q , T 2 ) соответственно.
Две окружности в задаче «Две точки, одна прямая» , где прямая, проходящая через точки P и Q, не параллельна заданной прямой l , можно построить с помощью циркуля и линейки следующим образом:
Самая быстрая конструкция (если имеются пересечения l с ( PQ ) и центральным перпендикуляром к [ PQ ]; основано на подходе Жергонна).
Универсальная конструкция (если пересечения l либо с ( PQ ), либо с центральным перпендикуляром к [ PQ ] недоступны или не существуют).
Задачи CPP обычно имеют 2 решения. Рассмотрим окружность с центром в одной заданной точке P , которая проходит через вторую точку Q. Поскольку окружность решения должна проходить через P , инверсия в этой окружности преобразует окружность решения в прямую лямбда. Та же инверсия преобразует Q в себя и (в общем случае) заданную окружность C в другую окружность c . Таким образом, задача становится задачей нахождения прямой решения, которая проходит через Q и касается c , что было решено выше; таких прямых две. Повторная инверсия дает две соответствующие окружности решения исходной задачи.
Задачи CLP обычно имеют 4 решения. Решение этого особого случая похоже на решение CPP Apollonius. Нарисуйте окружность с центром в заданной точке P ; поскольку окружность решения должна проходить через P , инверсия в этой [ необходимо пояснение ] окружности преобразует окружность решения в прямую лямбда. В общем, та же инверсия преобразует заданную прямую L и заданную окружность C в две новые окружности, c 1 и c 2 . Таким образом, задача становится задачей нахождения прямой решения, касательной к двум перевернутым окружностям, которая была решена выше. Существует четыре таких прямых, и повторная инверсия преобразует их в четыре окружности решения задачи Apollonius.
Задачи CCP обычно имеют 4 решения. Решение этого особого случая похоже на решение CPP. Нарисуйте окружность с центром в заданной точке P ; поскольку окружность решения должна проходить через P , инверсия в этой окружности преобразует окружность решения в прямую лямбда. В общем, та же инверсия преобразует заданные окружности C 1 и C 2 в две новые окружности, c 1 и c 2 . Таким образом, задача становится задачей нахождения прямой решения, касательной к двум перевернутым окружностям, которая была решена выше. Существует четыре таких прямых, и повторная инверсия преобразует их в четыре окружности решения исходной задачи Аполлония.
Задачи CLL обычно имеют 8 решений. Этот особый случай решается проще всего с помощью масштабирования. Заданная окружность сжимается в точку, а радиус окружности решения либо уменьшается на ту же величину (если это внутреннее касательное решение), либо увеличивается (если это внешне касательная окружность). В зависимости от того, увеличивается или уменьшается радиус окружности решения, две заданные линии смещаются параллельно себе на ту же величину, в зависимости от того, в какой квадрант попадает центр окружности решения. Это сжатие заданной окружности в точку сводит задачу к задаче PLL, решенной выше. В общем случае на квадрант приходится два таких решения, что дает всего восемь решений.
Задачи CCL обычно имеют 8 решений. Решение этого особого случая похоже на CLL. Меньший круг сжимается в точку, при этом корректируются радиусы большего заданного круга и любого круга решения, и линия перемещается параллельно себе, в соответствии с тем, касаются ли они внутренней или внешней стороной меньшего круга. Это сводит задачу к CLP. Каждая задача CLP имеет четыре решения, как описано выше, и таких задач две, в зависимости от того, касается ли окружность решения внутренней или внешней стороны меньшего круга.
Задача Аполлония невозможна, если заданные окружности вложены , т. е. если одна окружность полностью заключена в определенную окружность, а оставшаяся окружность полностью исключена. Это следует из того, что любая окружность решения должна была бы пересечь среднюю окружность, чтобы перейти от ее касания к внутренней окружности к ее касанию с внешней окружностью. Этот общий результат имеет несколько особых случаев, когда заданные окружности сжимаются до точек (нулевой радиус) или расширяются до прямых линий (бесконечный радиус). Например, задача CCL имеет нулевые решения, если две окружности находятся по разные стороны прямой, поскольку в этом случае любая окружность решения должна была бы пересечь заданную прямую не по касательной, чтобы перейти от точки касания одной окружности к точке касания другой.
