stringtranslate.com

Математическая задача

Математическая проблема — это проблема, которую можно представить , проанализировать и, возможно, решить с помощью методов математики . Это может быть проблема реального мира, например, вычисление орбит планет в солнечной системе, или проблема более абстрактного характера, например, проблемы Гильберта . Это также может быть проблема, относящаяся к природе самой математики , например, парадокс Рассела .

Реальные проблемы

Неформальные «реальные» математические задачи — это вопросы, связанные с конкретной обстановкой, например, «У Адама пять яблок, и он дает Джону три. Сколько у него осталось?». Такие вопросы обычно сложнее решить, чем обычные математические упражнения , например «5 − 3», даже если человек знает математику, необходимую для решения задачи. Известные как текстовые задачи , они используются в математическом образовании , чтобы научить студентов связывать реальные ситуации с абстрактным языком математики.

В общем, чтобы использовать математику для решения реальной проблемы, первым шагом является построение математической модели проблемы. Это подразумевает абстрагирование от деталей проблемы, и модельер должен быть осторожен, чтобы не потерять существенные аспекты при переводе исходной проблемы в математическую. После того, как проблема решена в мире математики, решение должно быть переведено обратно в контекст исходной проблемы.

Абстрактные проблемы

Абстрактные математические проблемы возникают во всех областях математики. Хотя математики обычно изучают их ради них самих, таким образом можно получить результаты, которые найдут применение за пределами области математики. Теоретическая физика исторически была богатым источником вдохновения .

Некоторые абстрактные проблемы были строго доказаны как неразрешимые, такие как квадратура круга и трисекция угла с использованием только циркуля и линейки классической геометрии, а также решение общего уравнения пятой степени алгебраически. Также доказуемо неразрешимы так называемые неразрешимые проблемы , такие как проблема остановки для машин Тьюринга .

Некоторые известные сложные абстрактные проблемы, которые были решены сравнительно недавно, — это теорема о четырех красках , Великая теорема Ферма и гипотеза Пуанкаре .

Компьютерам не нужно понимать мотивы математиков, чтобы делать то, что они делают. [1] Формальные определения и проверяемые компьютером выводы имеют решающее значение для математической науки .

Деградация проблем до упражнений

Преподаватели математики, использующие решение задач для оценки, сталкиваются с проблемой, сформулированной Аланом Х. Шенфельдом :

Как можно сравнивать результаты тестов из года в год, когда используются совершенно разные задачи? (Если из года в год используются похожие задачи, учителя и ученики узнают, что они из себя представляют, ученики будут практиковаться в их решении: задачи становятся упражнениями , и тест больше не оценивает решение задач). [2]

С той же проблемой столкнулся Сильвестр Лакруа почти два столетия назад:

... необходимо варьировать вопросы, которые студенты могут задавать друг другу. Хотя они могут провалить экзамен, они могут сдать его позже. Таким образом, распределение вопросов, разнообразие тем или ответов рискует потерять возможность сравнивать с точностью кандидатов друг с другом. [3]

Такое превращение задач в упражнения характерно для математики в истории. Например, описывая подготовку к Кембриджскому математическому экзамену Tripos в XIX веке, Эндрю Уорвик писал:

... многие семейства тогдашних стандартных задач изначально требовали от величайших математиков 18 века больших усилий. [4]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ (Newby & Newby 2008), «Второй тест заключается в том, что, хотя такие машины могут выполнять многие вещи с равным или, возможно, большим совершенством, чем любой из нас, они, без сомнения, потерпят неудачу в некоторых других, из чего можно было бы обнаружить, что они действуют не на основе знания , а исключительно на основе расположения своих органов: поскольку, в то время как разум является универсальным инструментом, который одинаково доступен в каждом случае, эти органы, напротив, нуждаются в особом устройстве для каждого конкретного действия; отсюда должно быть морально невозможно, чтобы в какой-либо машине существовало разнообразие органов, достаточное для того, чтобы она могла действовать во всех случаях жизни таким образом, каким наш разум позволяет действовать нам». перевод из
    (Декарт 1637), стр. = 57, «Et le Second est que, bien qu'elles fissent plusieurs выбирает aussy bien, ou peutestre mieux qu'aucun de nois, ells manqueroient infalliblement en quelques autres, par lesquelles on découuriroit quelles n'agiroient pas par connoissance, mais seule ment par la disposition de leursorgans, au dieu que la raison est univeersel, qui peut seruir en toutes sortes de rencontres, ces cars ont besoin de quelque particliere disposition pour chaque d'o? vient qu'il estmoralement qu'il y en ait assez de; Diuers en une une Machine, pour la faire agir en toutes les events de la vie, de mesme façon que nostre raison nous fait agir».
  2. ^ Алан Х. Шенфельд (редактор) (2007) Оценка математической компетентности , предисловие страницы x, xi, Научно-исследовательский институт математических наук, Издательство Кембриджского университета ISBN  978-0-521-87492-2
  3. ^ С. Ф. Лакруа (1816) Essais sur l'enseignement en General, et sur celui des mathematiques en particulier , стр. 201
  4. ^ Эндрю Уорвик (2003) Мастера теории: Кембридж и расцвет математической физики , стр. 145, Издательство Чикагского университета ISBN 0-226-87375-7 
На Викискладе есть медиафайлы по теме «Математические проблемы» .