Закон силы Ампера

Физический закон

Два провода с током притягиваются друг к другу магнитным образом: нижний провод имеет ток I ₁ , который создает магнитное поле B ₁ . Верхний провод несет ток I ₂ через магнитное поле B ₁ , поэтому (благодаря силе Лоренца ) провод испытывает силу F ₁₂ . (Не показан одновременный процесс, когда верхний провод создает магнитное поле, которое приводит к возникновению силы на нижнем проводе.)

В магнитостатике сила притяжения или отталкивания между двумя проводами с током (см. первый рисунок ниже) часто называется законом силы Ампера . Физическое происхождение этой силы заключается в том, что каждый провод генерирует магнитное поле , следуя закону Био-Савара , а другой провод испытывает магнитную силу, как следствие, следуя закону силы Лоренца .

Уравнение

Особый случай: два прямых параллельных провода

Самый известный и простейший пример закона силы Ампера, который лежал в основе (до 20 мая 2019 г. ^[1] ) определения ампера , единицы измерения электрического тока в системе СИ , гласит, что магнитная сила на единицу длины между двумя прямыми параллельными проводниками равна

$${\displaystyle {\frac {F_{m}}{L}}=2k_{\rm {A}}{\frac {I_{1}I_{2}}{r}},}$$

где — константа магнитной силы из закона Био–Савара , — полная сила, действующая на каждый провод на единицу длины более короткого (более длинный приближенно считается бесконечно длинным относительно более короткого), — расстояние между двумя проводами, а — постоянные токи, протекающие по проводам. ${\displaystyle k_{\rm {A}}}$ ${\displaystyle F_{m}/L}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle I_{2}}$

Это хорошее приближение, если один провод достаточно длиннее другого, так что его можно аппроксимировать как бесконечно длинный, и если расстояние между проводами мало по сравнению с их длинами (так что выполняется приближение одного бесконечного провода), но велико по сравнению с их диаметрами (так что их также можно аппроксимировать как бесконечно тонкие линии). Значение зависит от выбранной системы единиц, а значение определяет, насколько большой будет единица тока. ${\displaystyle k_{\rm {A}}}$ ${\displaystyle k_{\rm {A}}}$

В системе СИ ^{[2] [3]} с магнитной постоянной , в единицах СИ $${\displaystyle k_{\rm {A}}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}}$$ ${\displaystyle \mu _{0}}$

μ ₀ =1,256 637 062 12 ( ¹⁹ ) × 10−6 Н /м 

Общий случай

Общая формула магнитной силы для произвольных геометрий основана на итерационных линейных интегралах и объединяет закон Био–Савара и силу Лоренца в одном уравнении, как показано ниже. ^{[4] [5] [6]}

$${\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{L_{1}}\int _{L_{2}}{\frac {I_{1}d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\ \times \ (I_{2}d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\ \times \ {\hat {\mathbf {r} }}_{21})}{|r|^{2}}},}$$

где

• ${\displaystyle \mathbf {F} _{12}}$- это полная магнитная сила, ощущаемая проводом 1 со стороны провода 2 (обычно измеряется в ньютонах ),
• ${\displaystyle I_{1}}$и — токи, протекающие по проводам 1 и 2 соответственно (обычно измеряются в амперах ), ${\displaystyle I_{2}}$
• Интегрирование двойной линии суммирует силу, действующую на каждый элемент провода 1 из-за магнитного поля каждого элемента провода 2,
• ${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{1}}$и — бесконечно малые векторы, связанные с проводом 1 и проводом 2 соответственно (обычно измеряются в метрах ); см. подробное определение в линейном интеграле , ${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{2}}$
• Вектор — это единичный вектор , направленный от дифференциального элемента на проводе 2 к дифференциальному элементу на проводе 1, а |r| — это расстояние, разделяющее эти элементы, ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{21}}$
• Умножение × — это векторное векторное произведение ,
• Знак зависит от ориентации (например, если указывает в направлении обычного тока , то ). ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{n}}$ ${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{1}}$ ${\displaystyle I_{1}>0}$

Для определения силы между проводами в материальной среде магнитная постоянная заменяется фактической проницаемостью среды.

Для случая двух отдельных замкнутых проводов закон можно переписать следующим эквивалентным образом, разложив векторное тройное произведение и применив теорему Стокса: ^[7] $${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{L_{1}}\int _{L_{2}}{\frac {(I_{1}d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\ \mathbf {\cdot } \ I_{2}d{\boldsymbol {\ell }}_{2})\ {\hat {\mathbf {r} }}_{21}}{|r|^{2}}}.}$$

В этой форме сразу становится очевидным, что сила, действующая на провод 1 со стороны провода 2, равна и противоположна силе, действующей на провод 2 со стороны провода 1, в соответствии с третьим законом движения Ньютона .

Историческая справка

Схема оригинального эксперимента Ампера

Форма закона силы Ампера, обычно приводимая, была выведена Джеймсом Клерком Максвеллом в 1873 году и является одним из нескольких выражений, соответствующих оригинальным экспериментам Андре-Мари Ампера и Карла Фридриха Гаусса . X -компонента силы между двумя линейными токами I и I ' , как изображено на соседней диаграмме, была дана Ампером в 1825 году и Гауссом в 1833 году следующим образом: ^[8]

$${\displaystyle dF_{x}=kII'ds'\int ds{\frac {\cos(xds)\cos(rds')-\cos(rx)\cos(dsds')}{r^{2}}}.}$$

После Ампера ряд ученых, включая Вильгельма Вебера , Рудольфа Клаузиуса , Максвелла, Бернхарда Римана , Германа Грассмана [ ^9] и Вальтера Ритца , разработали это выражение, чтобы найти фундаментальное выражение силы. С помощью дифференциации можно показать, что:

$${\displaystyle {\frac {\cos(x\,ds)\cos(r\,ds')}{r^{2}}}=-\cos(rx){\frac {(\cos \varepsilon -3\cos \phi \cos \phi ')}{r^{2}}}.}$$

а также личность: $${\displaystyle {\frac {\cos(rx)\cos(ds\,ds')}{r^{2}}}={\frac {\cos(rx)\cos \varepsilon }{r^{2}}}.}$$

С помощью этих выражений закон силы Ампера можно выразить как: $${\displaystyle dF_{x}=kII'ds'\int ds'\cos(rx){\frac {2\cos \varepsilon -3\cos \phi \cos \phi '}{r^{2}}}.}$$

Используя идентификаторы: и $${\displaystyle {\frac {\partial r}{\partial s}}=\cos \phi ,{\frac {\partial r}{\partial s'}}=-\cos \phi '.}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}r}{\partial s\partial s'}}={\frac {-\cos \varepsilon +\cos \phi \cos \phi '}{r}}.}$$

Результаты Ампера можно выразить в виде: $${\displaystyle d^{2}F={\frac {kII'dsds'}{r^{2}}}\left({\frac {\partial r}{\partial s}}{\frac {\partial r}{\partial s'}}-2r{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s\partial s'}}\right).}$$

Как заметил Максвелл, к этому выражению можно добавлять члены, которые являются производными функции Q ( r ) и при интегрировании взаимно уничтожают друг друга. Таким образом, Максвелл дал «наиболее общую форму, согласующуюся с экспериментальными фактами» для силы на ds , возникающей при действии ds ': ^[10] $${\displaystyle d^{2}F_{x}=kII'dsds'{\frac {1}{r^{2}}}\left[\left(\left({\frac {\partial r}{\partial s}}{\frac {\partial r}{\partial s'}}-2r{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s\partial s'}}\right)+r{\frac {\partial ^{2}Q}{\partial s\partial s'}}\right)\cos(rx)+{\frac {\partial Q}{\partial s'}}\cos(x\,ds)-{\frac {\partial Q}{\partial s}}\cos(x\,ds')\right].}$$

Q является функцией r , согласно Максвеллу, которая «не может быть определена без каких-либо предположений из экспериментов, в которых активный ток образует замкнутую цепь». Принимая функцию Q ( r ) за форму: $${\displaystyle Q=-{\frac {(1+k)}{2r}}}$$

Получаем общее выражение для силы, действующей на ds со стороны ds : $${\displaystyle d^{2}\mathbf {F} =-{\frac {kII'}{2r^{2}}}\left[\left(3-k\right){\hat {\mathbf {r} }}_{1}\left(d\mathbf {s} \,d\mathbf {s} '\right)-3\left(1-k\right){\hat {\mathbf {r} }}_{1}\left(\mathbf {\hat {r}} _{1}d\mathbf {s} \right)\left(\mathbf {\hat {r}} _{1}d\mathbf {s} '\right)-\left(1+k\right)d\mathbf {s} \left(\mathbf {\hat {r}} _{1}d\mathbf {s} '\right)-\left(1+k\right)d\mathbf {s} '\left(\mathbf {\hat {r}} _{1}d\mathbf {s} \right)\right].}$$

Интегрирование вокруг s ' устраняет k и получается исходное выражение, данное Ампером и Гауссом. Таким образом, что касается исходных экспериментов Ампера, значение k не имеет значения. Ампер взял k = −1; Гаусс взял k = +1, как и Грассман и Клаузиус, хотя Клаузиус опустил компонент S. В теориях неэфирных электронов Вебер взял k = −1, а Риман взял k = +1. Ритц оставил k неопределенным в своей теории. Если мы возьмем k = −1, мы получим выражение Ампера: $${\displaystyle d^{2}\mathbf {F} =-{\frac {kII'}{r^{3}}}\left[2\mathbf {r} (d\mathbf {s} \,d\mathbf {s'} )-3\mathbf {r} (\mathbf {r} d\mathbf {s} )(\mathbf {r} d\mathbf {s'} )\right]}$$

Если взять k=+1, то получим $${\displaystyle d^{2}\mathbf {F} =-{\frac {kII'}{r^{3}}}\left[\mathbf {r} \left(d\mathbf {s} \,d\mathbf {s'} \right)-d\mathbf {s} \left(\mathbf {r} \,d\mathbf {s} '\right)-d\mathbf {s} '\left(\mathbf {r} \,d\mathbf {s} \right)\right]}$$

Используя векторное тождество для тройного перекрестного произведения, мы можем выразить этот результат как $${\displaystyle d^{2}\mathbf {F} ={\frac {kII'}{r^{3}}}\left[\left(d\mathbf {s} \times d\mathbf {s'} \times \mathbf {r} \right)+d\mathbf {s} '(\mathbf {r} \,d\mathbf {s} )\right]}$$

При интегрировании по ds ' второй член равен нулю, и таким образом мы находим форму закона силы Ампера, заданную Максвеллом: $${\displaystyle \mathbf {F} =kII'\iint {\frac {d\mathbf {s} \times (d\mathbf {s} '\times \mathbf {r} )}{|r|^{3}}}}$$

Вывод случая параллельного прямого провода из общей формулы

Начнем с общей формулы: Предположим, что провод 2 расположен вдоль оси x, а провод 1 — в точке y=D, z=0, параллельной оси x. Пусть будет x - координатой дифференциального элемента провода 1 и провода 2 соответственно. Другими словами, дифференциальный элемент провода 1 находится в точке , а дифференциальный элемент провода 2 находится в точке . По свойствам линейных интегралов и . Кроме того, и Следовательно, интеграл равен Вычисление векторного произведения: Далее мы интегрируем от до : Если провод 1 также бесконечен, интеграл расходится, поскольку общая сила притяжения между двумя бесконечными параллельными проводами равна бесконечности. Фактически, то, что мы действительно хотим узнать, — это сила притяжения на единицу длины провода 1. Поэтому предположим, что провод 1 имеет большую, но конечную длину . Тогда вектор силы, ощущаемый проводом 1, равен: Как и ожидалось, сила, ощущаемая проводом, пропорциональна его длине. Сила на единицу длины: Направление силы вдоль оси Y, что означает, что провод 1 тянется к проводу 2, если токи параллельны, как и ожидалось. Величина силы на единицу длины согласуется с выражением для , показанным выше. $${\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{L_{1}}\int _{L_{2}}{\frac {I_{1}d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\ \times \ (I_{2}d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\ \times \ {\hat {\mathbf {r} }}_{21})}{|r|^{2}}},}$$ ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ ${\displaystyle (x_{1},D,0)}$ ${\displaystyle (x_{2},0,0)}$ ${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{1}=(dx_{1},0,0)}$ ${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{2}=(dx_{2},0,0)}$ $${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{21}={\frac {1}{\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+D^{2}}}}(x_{1}-x_{2},D,0)}$$ $${\displaystyle |r|={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+D^{2}}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}\int _{L_{1}}\int _{L_{2}}{\frac {(dx_{1},0,0)\ \times \ \left[(dx_{2},0,0)\ \times \ (x_{1}-x_{2},D,0)\right]}{|(x_{1}-x_{2})^{2}+D^{2}|^{3/2}}}.}$$ $${\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}\int _{L_{1}}\int _{L_{2}}dx_{1}dx_{2}{\frac {(0,-D,0)}{|(x_{1}-x_{2})^{2}+D^{2}|^{3/2}}}.}$$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ $${\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}{\frac {2}{D}}(0,-1,0)\int _{L_{1}}dx_{1}.}$$ ${\displaystyle L_{1}}$ $${\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}{\frac {2}{D}}(0,-1,0)L_{1}.}$$ $${\displaystyle {\frac {\mathbf {F} _{12}}{L_{1}}}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{2\pi D}}(0,-1,0).}$$ ${\displaystyle {\frac {F_{m}}{L}}}$

Известные производные

В хронологическом порядке:

• Оригинальный вывод Ампера 1823 года:
  • Ассис, Андре Кох Торрес; Шаиб, JPM C; Ампер, Андре-Мари (2015). Электродинамика Ампера: анализ значения и эволюции силы Ампера между элементами тока, вместе с полным переводом его шедевра: Теория электродинамических явлений, однозначно выведенная из опыта (PDF) . Монреаль: Apeiron. ISBN 978-1-987980-03-5.
• Вывод Максвелла 1873 года:
  • Трактат об электричестве и магнетизме т. 2, часть 4, гл. 2 (§§502–527)
• Вывод Пьера Дюгема 1892 года:
  • Дюэм, Пьер Морис Мари (9 сентября 2018 г.). Закон силы Ампера: Современное введение. Алан Аверса (перевод). doi :10.13140/RG.2.2.31100.03206/1 . Получено 3 июля 2019 г. .(EPUB-формат)
    • перевод: Leçons sur l'électricité et le Magnetisme vol. 3, приложение к книге 14, стр. 309-332 (на французском языке)
• Вывод Альфреда О'Рахилли 1938 года:
  • Электромагнитная теория: Критический анализ основ, т. 1, стр. 102–104 (см. также следующие страницы)

Смотрите также

• Ампер
• Магнитная постоянная
• сила Лоренца
• Закон Ампера о круговой проводимости
• Свободное место

Ссылки и примечания

1. "Резолюции 26-й CGPM" (PDF) . BIPM . Получено 1 августа 2020 г. .
2. Raymond A Serway & Jewett JW (2006). Принципы физики Serway: текст, основанный на исчислении (четвертое издание). Belmont, Калифорния: Thompson Brooks/Cole. стр. 746. ISBN 0-534-49143-X.
3. Пол М. С. Монк (2004). Физическая химия: понимание нашего химического мира. Нью-Йорк: Чичестер: Wiley. стр. 16. ISBN 0-471-49181-0.
4. Подынтегральное выражение этого выражения появляется в официальной документации по определению ампера в брошюре BIPM SI Units, 8-е издание, стр. 105.
5. Тай Л. Чоу (2006). Введение в электромагнитную теорию: современная перспектива. Бостон: Джонс и Бартлетт. С. 153. ISBN 0-7637-3827-1.
6. Закон силы Ампера. Прокрутите до раздела «Интегральное уравнение», чтобы увидеть формулу.
7. Христодулидес, К. (1988). «Сравнение законов магнитостатической силы Ампера и Био–Савара в их формах линейно-токовых элементов». Американский журнал физики . 56 (4): 357–362. Bibcode : 1988AmJPh..56..357C. doi : 10.1119/1.15613.
8. О'Рахилли, Альфред (1965). Электромагнитная теория. Довер. стр. 104.(см. Дюэм, П. (1886). «Sur la loi d'Ampère». J. Phys. Theor. Appl . 5 (1): 26–29. doi : 10.1051/jphystap: 01886005002601. Проверено 7 января 2015 г., который появляется в Дюэме, Пьер Морис Мари (1891). Уроки электричества и магнетизма. Том. 3. Париж: Готье-Виллар.)
9. Petsche, Hans-Joachim (2009). Hermann Graßmann : биография . Basel Boston: Birkhäuser. стр. 39. ISBN 9783764388591.
10. Максвелл, Джеймс Клерк (1904). Трактат об электричестве и магнетизме . Оксфорд. стр. 173.

Внешние ссылки

• Закон силы Ампера. Включает анимированную графику векторов силы.