Законы цепи Кирхгофа

Два равенства, касающиеся разности токов и потенциалов

Законы цепей Кирхгофа — это два равенства , которые касаются тока и разности потенциалов (широко известных как напряжение) в модели электрических цепей с сосредоточенными элементами . Впервые они были описаны в 1845 году немецким физиком Густавом Кирхгофом . ^[1] Это обобщило работу Георга Ома и предшествовало работе Джеймса Клерка Максвелла . Широко используемые в электротехнике , их еще называют правилами Кирхгофа или просто законами Кирхгофа . Эти законы могут применяться во временной и частотной областях и формировать основу сетевого анализа .

Оба закона Кирхгофа можно понимать как следствия уравнений Максвелла в низкочастотном пределе. Они точны для цепей постоянного тока и цепей переменного тока на частотах, где длины волн электромагнитного излучения очень велики по сравнению с цепями.

Действующий закон Кирхгофа

Ток, входящий в любой переход, равен току, выходящему из этого перехода. я ₂ + я ₃ = я ₁ + я ₄

Этот закон, также называемый первым законом Кирхгофа или правилом соединения Кирхгофа , гласит, что для любого узла (соединения) в электрической цепи сумма токов , втекающих в этот узел, равна сумме токов, вытекающих из этого узла; или эквивалентно:

Алгебраическая сумма токов в сети проводников, сходящихся в одной точке, равна нулю.

Вспоминая, что ток — это величина со знаком (положительная или отрицательная), отражающая направление к узлу или от него, этот принцип можно кратко сформулировать так:

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{I}_{k}=0}$$

n

Законы цепи Кирхгофа изначально были получены на основе экспериментальных результатов. Однако текущий закон можно рассматривать как расширение закона сохранения заряда , поскольку заряд является произведением тока и времени, в течение которого ток течет. Если чистый заряд в регионе постоянен, действующий закон будет действовать и на границах региона. ^{[2] [3]} Это означает, что действующий закон основан на том факте, что суммарный заряд проводов и компонентов постоянен.

Использование

Матричная версия действующего закона Кирхгофа лежит в основе большинства программ моделирования схем , таких как SPICE . Действующий закон используется вместе с законом Ома для выполнения узлового анализа .

Действующий закон применим к любой сосредоточенной сети независимо от ее характера; одностороннее или двустороннее, активное или пассивное, линейное или нелинейное.

Закон напряжения Кирхгофа

Сумма всех напряжений вокруг контура равна нулю.
v ₁ + v ₂ + v ₃ + v ₄ = 0

Этот закон, также называемый вторым законом Кирхгофа или правилом петли Кирхгофа , гласит следующее:

Направленная сумма разностей потенциалов (напряжений) вокруг любого замкнутого контура равна нулю.

Подобно текущему закону Кирхгофа, закон напряжения можно сформулировать как:

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}V_{k}=0}$$

Здесь n — общее количество измеренных напряжений.

Вывод закона напряжения Кирхгофа.

Аналогичный вывод можно найти в «Лекциях Фейнмана по физике», том II, глава 22: «Цепи переменного тока» . ^[3]

Рассмотрим некоторую произвольную схему. Аппроксимируйте схему сосредоточенными элементами так, чтобы (изменяющиеся во времени) магнитные поля содержались в каждом компоненте, а поле во внешней области схемы было незначительным. Основываясь на этом предположении, уравнение Максвелла – Фарадея показывает, что

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\mathbf {0} }$$

во внешней области. Если каждый из компонентов имеет конечный объем, то внешняя область просто связна , и, таким образом, электрическое поле в этой области консервативно . Следовательно, для любого контура схемы мы находим, что

$${\displaystyle \sum _{i}V_{i}=-\sum _{i}\int _{{\mathcal {P}}_{i}}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\oint \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =0}$$

где пути вокруг каждого из компонентов, от одного терминала к другому. ${\textstyle {\mathcal {P}}_{i}}$

Обратите внимание, что в этом выводе используется следующее определение повышения напряжения от до : ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

$${\displaystyle V_{a\to b}=-\int _{{\mathcal {P}}_{a\to b}}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} }$$

Однако электрический потенциал (и, следовательно, напряжение) можно определить другими способами, например, с помощью разложения Гельмгольца .

Обобщение

В низкочастотном пределе падение напряжения вокруг любого контура равно нулю. Сюда входят воображаемые петли, расположенные произвольно в пространстве, не ограничиваясь петлями, очерченными элементами схемы и проводниками. В низкочастотном пределе это является следствием закона индукции Фарадея (который является одним из уравнений Максвелла ).

Это имеет практическое применение в ситуациях, связанных со « статическим электричеством ».

Ограничения

Законы цепи Кирхгофа являются результатом модели сосредоточенных элементов , и оба зависят от применимости модели к рассматриваемой цепи. Когда модель неприменима, законы не применяются.

Действующий закон основан на предположении, что суммарный заряд в любом проводе, соединении или сосредоточенном компоненте постоянен. Если электрическое поле между частями цепи не является пренебрежимо малым, например, когда два провода емкостно связаны , это может быть не так. Это происходит в высокочастотных цепях переменного тока, где модель сосредоточенных элементов больше не применима. ^[4] Например, в линии передачи плотность заряда в проводнике может постоянно меняться.

В линии передачи суммарный заряд в различных частях проводника меняется со временем. В прямом физическом смысле это нарушает KCL.

С другой стороны, закон напряжения основан на том факте, что действие изменяющихся во времени магнитных полей ограничивается отдельными компонентами, такими как индукторы. В действительности индуцированное электрическое поле, создаваемое индуктором, не ограничено, но поля утечки часто незначительны.

Моделирование реальных схем с сосредоточенными элементами

Приближение сосредоточенных элементов для цепи является точным на низких частотах. На более высоких частотах становятся значительными потоки утечки и изменение плотности заряда в проводниках. В некоторой степени такие схемы все еще можно моделировать с использованием паразитных компонентов . Если частоты слишком высоки, может оказаться более целесообразным моделировать поля напрямую с помощью моделирования методом конечных элементов или других методов .

Чтобы моделировать схемы так, чтобы можно было использовать оба закона, важно понимать различие между физическими элементами схемы и идеальными элементами с сосредоточенными параметрами. Например, провод не является идеальным проводником. В отличие от идеального проводника, провода могут индуктивно и емкостно связываться друг с другом (и между собой) и иметь конечную задержку распространения. Реальные проводники можно моделировать с точки зрения сосредоточенных элементов, рассматривая паразитные емкости , распределенные между проводниками для моделирования емкостной связи, или паразитные (взаимные) индуктивности для моделирования индуктивной связи. ^[4] Провода также обладают некоторой самоиндукцией.

Пример

Предположим, что электрическая сеть состоит из двух источников напряжения и трех резисторов.

Согласно первому закону:

$${\displaystyle i_{1}-i_{2}-i_{3}=0}$$

s ₁

$${\displaystyle -R_{2}i_{2}+{\mathcal {E}}_{1}-R_{1}i_{1}=0}$$

s ₂

$${\displaystyle -R_{3}i_{3}-{\mathcal {E}}_{2}-{\mathcal {E}}_{1}+R_{2}i_{2}=0}$$

Это дает систему линейных уравнений относительно i ₁ , i ₂ , i ₃ :

$${\displaystyle {\begin{cases}i_{1}-i_{2}-i_{3}&=0\\-R_{2}i_{2}+{\mathcal {E}}_{1}-R_{1}i_{1}&=0\\-R_{3}i_{3}-{\mathcal {E}}_{2}-{\mathcal {E}}_{1}+R_{2}i_{2}&=0\end{cases}}}$$

$${\displaystyle {\begin{cases}i_{1}+(-i_{2})+(-i_{3})&=0\\R_{1}i_{1}+R_{2}i_{2}+0i_{3}&={\mathcal {E}}_{1}\\0i_{1}+R_{2}i_{2}-R_{3}i_{3}&={\mathcal {E}}_{1}+{\mathcal {E}}_{2}\end{cases}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}&=100\Omega ,&R_{2}&=200\Omega ,&R_{3}&=300\Omega ,\\{\mathcal {E}}_{1}&=3{\text{V}},&{\mathcal {E}}_{2}&=4{\text{V}}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{cases}i_{1}={\frac {1}{1100}}{\text{A}}\\[6pt]i_{2}={\frac {4}{275}}{\text{A}}\\[6pt]i_{3}=-{\frac {3}{220}}{\text{A}}\end{cases}}}$$

Ток i ₃ имеет отрицательный знак, что означает, что предполагаемое направление i ₃ было неправильным и на самом деле i ₃ течет в направлении, противоположном красной стрелке, обозначенной i ₃ . Ток в R ₃ течет слева направо.

Смотрите также

• Портал электроники

• Двойственность (электрические схемы)
• Закон индукции Фарадея
• Дисциплина сосредоточенного вещества

Рекомендации

1. Олдхэм, Калил Т. Суэйн (2008). Доктрина описания: Густав Кирхгоф, классическая физика и «цель всей науки» в Германии XIX века (доктор философии). Калифорнийский университет, Беркли. п. 52. Регистрационный номер 3331743.
2. Атавале, Прашант. «Закон Кирхгофа и закон напряжения Кирхгофа» (PDF) . Университет Джонса Хопкинса . Проверено 6 декабря 2018 г.
3. «Лекции Фейнмана по физике, том II, глава 22: Цепи переменного тока». feynmanlectures.caltech.edu . Проверено 6 декабря 2018 г.
4. Ральф Моррисон, Методы заземления и экранирования в приборостроении Wiley-Interscience (1986) ISBN 0471838055 

• Пол, Клейтон Р. (2001). Основы анализа электрических цепей . Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-37195-5.
• Сервей, Раймонд А.; Джуэтт, Джон В. (2004). Физика для ученых и инженеров (6-е изд.) . Брукс/Коул. ISBN 0-534-40842-7.
• Типлер, Пол (2004). Физика для ученых и инженеров: электричество, магнетизм, свет и элементарная современная физика (5-е изд.) . У. Х. Фриман. ISBN 0-7167-0810-8.
• Грэм, Ховард Джонсон, Мартин (2002). Высокоскоростное распространение сигнала: продвинутая черная магия (10-е печат. изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси: PTR Prentice Hall. ISBN 0-13-084408-Х.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

Внешние ссылки

• Глава «Схемы делителя и законы Кирхгофа» из книги «Уроки электрических цепей, том 1», бесплатная электронная книга постоянного тока и серия «Уроки электрических цепей»