Закрытый набор

Complement of an open subset

В геометрии , топологии и смежных разделах математики замкнутое множество — это множество , дополнением которого является открытое множество . ^{[1] [2]} В топологическом пространстве замкнутое множество можно определить как множество, содержащее все свои предельные точки . В полном метрическом пространстве замкнутым множеством называется множество, замкнутое относительно предельной операции . Его не следует путать с закрытым коллектором .

Эквивалентные определения

По определению подмножество топологического пространства называется замкнутым, если его дополнение является открытым подмножеством ; то есть, если множество замкнуто в том и только в том случае, если оно равно своему замыканию в . Эквивалентно, множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки . Еще одно эквивалентное определение состоит в том, что множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои граничные точки . Каждое подмножество всегда содержится в своем (топологическом) замыкании, в котором обозначается то есть, если то Более того, является замкнутым подмножеством тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X\setminus A}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X\setminus A\in \tau .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A;}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A\subseteq \operatorname {cl} _{X}A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A=\operatorname {cl} _{X}A.}$

Альтернативная характеристика замкнутых множеств доступна через последовательности и сети . Подмножество топологического пространства замкнуто тогда и только тогда, когда каждый предел каждой сети элементов также принадлежит. В пространстве с первой счетностью (например, метрическом пространстве) достаточно рассматривать только сходящиеся последовательности , а не все сети. Одно из преимуществ этой характеристики состоит в том, что ее можно использовать в качестве определения в контексте пространств сходимости , которые являются более общими, чем топологические пространства. Обратите внимание, что эта характеристика также зависит от окружающего пространства, поскольку сходимость последовательности или сети в зависит от того, какие точки присутствуют в. Точка в называется близкой к подмножеству , если (или, что то же самое, если принадлежит замыканию в значение топологического подпространства где наделено топологией подпространства , индуцированной на нем ^{[примечание 1]} ). Поскольку замыкание in представляет собой набор всех точек, близких к этой терминологии, позволяет дать простое английское описание закрытых подмножеств: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\cup \{x\},}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{A\cup \{x\}}A}$ ${\displaystyle A\cup \{x\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A,}$

подмножество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все близкие к нему точки.

С точки зрения сетевой сходимости, точка близка к подмножеству тогда и только тогда, когда существует некоторая сеть (со значениями), в которой сходится к If является топологическим подпространством некоторого другого топологического пространства, и в этом случае называется топологическим суперпространством тогда может существовать некоторая точка, близкая к (хотя и не являющаяся элементом ), и именно поэтому подмножество может быть замкнуто , но не замкнуто в «большом» окружающем суперпространстве. Если и если оно есть топологическое суперпространство then всегда является (потенциально собственным) подмножеством, которое действительно обозначает замыкание in , даже если оно является замкнутым подмножеством (что происходит тогда и только тогда, когда ), тем не менее, все еще возможно быть собственным подмножеством Однако является замкнутым подмножеством тогда и только тогда, когда для некоторого (или, что то же самое, для каждого) топологического суперпространства ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y\setminus X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{Y}A,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y;}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A=\operatorname {cl} _{X}A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{Y}A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A=X\cap \operatorname {cl} _{Y}A}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$

Замкнутые множества также можно использовать для характеристики непрерывных функций : отображение непрерывно тогда и только тогда, когда для каждого подмножества ; это можно перефразировать на простом английском языке так: непрерывно тогда и только тогда, когда для каждого подмножества отображает точки, близкие к точкам, близким к Аналогично, непрерывно в фиксированной заданной точке тогда и только тогда, когда всякий раз, когда оно близко к подмножеству , тогда близко к ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)\subseteq \operatorname {cl} _{Y}(f(A))}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(A).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(A).}$

Подробнее о закрытых наборах

Понятие замкнутого множества определено выше в терминах открытых множеств , концепции, которая имеет смысл для топологических пространств , а также для других пространств, несущих топологические структуры, таких как метрические пространства , дифференцируемые многообразия , равномерные пространства и калибровочные пространства .

Замкнутость множества зависит от пространства, в которое оно вложено. Однако компакты Хаусдорфа « абсолютно замкнуты » в том смысле, что если вы вложите компакт Хаусдорфа в произвольное пространство Хаусдорфа, то оно всегда будет замкнутым подмножеством ; «окружающее пространство» здесь не имеет значения. Компактификация Стоуна-Чеха , процесс, превращающий полностью регулярное хаусдорфово пространство в компактное хаусдорфово пространство, может быть описана как присоединение к пространству пределов некоторых несходящихся сетей. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$

Более того, каждое замкнутое подмножество компакта компактно, а любое компактное подмножество хаусдорфова пространства замкнуто.

Замкнутые множества также дают полезную характеристику компактности: топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый набор непустых замкнутых подмножеств с пустым пересечением допускает конечный поднабор с пустым пересечением. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Топологическое пространство называется несвязным, если существуют непересекающиеся, непустые, открытые подмножества , объединение которых является . Кроме того, вполне несвязным , если оно имеет открытый базис , состоящий из замкнутых множеств. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$

Характеристики

Замкнутое множество содержит свою границу . Другими словами, если вы находитесь «вне» закрытого множества, вы можете немного переместиться в любом направлении и при этом оставаться вне этого множества. Это также верно, если границей является пустое множество, например, в метрическом пространстве рациональных чисел, для множества чисел, квадрат которых меньше ${\displaystyle 2.}$

• Любое пересечение любого семейства замкнутых множеств замкнуто (включая пересечения бесконечного числа замкнутых множеств).
• Объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто .
• Пустое множество закрывается.
• Весь набор закрыт.

Фактически, если задано множество и набор подмножеств таких, что элементы обладают перечисленными выше свойствами, то существует уникальная топология на такой, что замкнутыми подмножествами являются именно те множества, которые принадлежат Свойство пересечения также позволяет чтобы определить замыкание множества в пространстве , которое определяется как наименьшее замкнутое подмножество, которое является надмножеством . В частности, замыкание может быть построено как пересечение всех этих закрытых надмножеств. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} \neq \varnothing }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \mathbb {F} .}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle X}$

Множества, которые можно построить как объединение счетного числа замкнутых множеств, обозначаются F σ множествами. Эти множества не обязательно закрывать.

Примеры

• Замкнутый интервал действительных чисел замкнут. (См. Интервал (математика) для объяснения обозначения скобок и круглых скобок.) ${\displaystyle [a,b]}$
• Единичный интервал замкнут в метрическом пространстве действительных чисел, а множество рациональных чисел между и (включительно) замкнуто в пространстве рациональных чисел, но не замкнуто в действительных числах. ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]\cap \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [0,1]\cap \mathbb {Q} }$
• Некоторые множества не являются ни открытыми, ни закрытыми, например полуоткрытый интервал в действительных числах. ${\displaystyle [0,1)}$
• Некоторые множества одновременно являются открытыми и закрытыми и называются «закрыто-открытыми множествами» .
• Луч закрыт . ${\displaystyle [1,+\infty )}$
• Множество Кантора является необычным замкнутым множеством в том смысле, что оно целиком состоит из граничных точек и нигде не плотно.
• Одноэлементные точки (и, следовательно, конечные множества) замкнуты в пространствах T 1 и пространствах Хаусдорфа .
• Множество целых чисел представляет собой бесконечное и неограниченное замкнутое множество действительных чисел. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Если - функция между топологическими пространствами, то она непрерывна тогда и только тогда, когда прообразы замкнутых множеств в замкнуты в ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$

Смотрите также

• Cloopen set  - подмножество, которое одновременно открыто и закрыто.
• Закрытая карта  — функция, которая отправляет открытые (соответственно закрытые) подмножества в открытые (соответственно закрытые) подмножества.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Закрытая область  - Связное открытое подмножество топологического пространства.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Открытое множество  - базовое подмножество топологического пространства.
• Окрестности  - открытый набор, содержащий заданную точку.
• Регион (математика)  - Связное открытое подмножество топологического пространства.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Обычный закрытый набор

Примечания

1. В частности, близко или нет зависит только от подпространства , а не от всего окружающего пространства (например, или любого другого пространства, содержащего топологическое подпространство). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\cup \{x\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A\cup \{x\}}$

Рекомендации

1. Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . МакГроу-Хилл . ISBN 0-07-054235-Х.
2. Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Прентис Холл . ISBN 0-13-181629-2.

• Долецкий, Шимон; Минард, Фредерик (2016). Основы конвергенции топологии . Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN 978-981-4571-52-4. ОКЛК  945169917.
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. ОСЛК  395340485.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. ОСЛК  175294365.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. ОСЛК  115240.