В математической логике предложение (или замкнутая формула ) [1] логики предикатов представляет собой логическую правильно сформированную формулу без свободных переменных . Предложение можно рассматривать как выражение суждения , которое должно быть истинным или ложным. Ограничение отсутствия свободных переменных необходимо, чтобы гарантировать, что предложения могут иметь конкретные, фиксированные значения истинности : поскольку свободные переменные (общей) формулы могут варьироваться в пределах нескольких значений, значение истинности такой формулы может варьироваться.
Предложения без каких-либо логических связок или кванторов в них известны как атомарные предложения ; по аналогии с атомной формулой . Затем предложения строятся из атомарных формул путем применения связок и кванторов.
Набор предложений называется теорией ; таким образом, отдельные предложения можно назвать теоремами . Чтобы правильно оценить истинность (или ложность) предложения, необходимо обратиться к интерпретации теории. Для теорий первого порядка интерпретации обычно называют структурами . Учитывая структуру или интерпретацию, предложение будет иметь фиксированное истинностное значение. Теория является выполнимой , когда можно представить интерпретацию, в которой все ее предложения истинны. Исследование алгоритмов автоматического обнаружения интерпретаций теорий, которые делают все предложения истинными, известно как проблема выполнимости теорий по модулю .
Для интерпретации формул рассмотрите следующие структуры: положительные действительные числа , действительные числа и комплексные числа . Следующий пример в логике первого порядка
это приговор. Это предложение означает, что для каждого y существует x такой, что Это предложение верно для положительных действительных чисел, ложно для действительных чисел и верно для комплексных чисел.
Однако формула
не является предложением из-за наличия свободной переменной y . Для действительных чисел эта формула верна, если мы подставляем (произвольно), но ложна, если
Важно наличие свободной переменной, а не непостоянного значения истинности; например, даже для комплексных чисел, где формула всегда верна, она все равно не считается предложением. Вместо этого такую формулу можно назвать предикатом .