Рэлеевское затухание

Статистическая модель радиосигнала

Рэлеевское замирание — это статистическая модель влияния среды распространения на радиосигнал , например, используемый беспроводными устройствами.

Модели рэлеевского замирания предполагают, что величина сигнала, прошедшего через такую ​​среду передачи (также называемую каналом связи ), будет меняться случайным образом или затухать в соответствии с распределением Рэлея — радиальной составляющей суммы двух некоррелированных гауссовских случайных величин. .

Рэлеевское замирание рассматривается как разумная модель распространения сигналов в тропосфере и ионосфере , а также влияние густо застроенной городской среды на радиосигналы. ^{[1] [2]} Рэлеевское замирание наиболее применимо, когда нет доминирующего распространения вдоль прямой видимости между передатчиком и приемником. Если есть доминирующая линия обзора, более применимым может быть затухание по Райсу . Рэлеевское замирание — это частный случай двухволнового замирания с диффузной мощностью (TWDP) .

Модель

Рэлеевское затухание является разумной моделью, когда в окружающей среде имеется множество объектов, которые рассеивают радиосигнал до того, как он достигнет приемника. Центральная предельная теорема утверждает, что при достаточно большом разбросе импульсная характеристика канала будет хорошо моделироваться как гауссовский процесс независимо от распределения отдельных компонентов. Если в разбросе нет доминирующего компонента, то такой процесс будет иметь нулевое среднее значение и фазу , равномерно распределенную между 0 и 2π радиан . Таким образом, огибающая отклика канала будет распределена по Рэлею .

Назвав эту случайную величину , она будет иметь функцию плотности вероятности : ^[1] ${\displaystyle R}$

${\displaystyle p_{R}(r)={\frac {2r}{\Omega }}e^{-r^{2}/\Omega },\ r\geq 0}$

где . ${\displaystyle \Omega =\operatorname {E} (R^{2})}$

Часто элементы усиления и фазы искажения канала удобно представлять в виде комплексного числа . В этом случае рэлеевское затухание проявляется в предположении, что действительная и мнимая части ответа моделируются независимыми и одинаково распределенными гауссовскими процессами с нулевым средним, так что амплитуда ответа представляет собой сумму двух таких процессов.

Применимость

Было показано, что плотно застроенный Манхэттен приближается к среде с затуханием Рэлея.

Одна секунда рэлеевского затухания с максимальным доплеровским сдвигом 10 Гц.

Одна секунда рэлеевского затухания с максимальным доплеровским сдвигом 100 Гц.

Требование наличия большого количества рассеивателей означает, что рэлеевское замирание может быть полезной моделью в плотно застроенных городских центрах, где между передатчиком и приемником нет прямой видимости , а многие здания и другие объекты ослабляют , отражают , преломляют и преломляют . сигнал. Экспериментальная работа на Манхэттене обнаружила там затухание, близкое к Рэлею. ^[3] При распространении сигнала в тропосфере и ионосфере многие частицы в слоях атмосферы действуют как рассеиватели, и такая среда также может приближаться к рэлеевскому замиранию. Если окружающая среда такова, что в дополнение к рассеянию на приемнике наблюдается сильно доминирующий сигнал, обычно вызываемый лучом прямой видимости , то среднее значение случайного процесса больше не будет равно нулю, а вместо этого будет меняться вокруг мощности -уровень доминирующего пути. Такую ситуацию лучше смоделировать как затухание по Райсу .

Обратите внимание, что рэлеевское затухание представляет собой мелкомасштабный эффект. Будут присутствовать объемные свойства окружающей среды, такие как потеря пути и затенение , на которые накладывается затухание.

Насколько быстро затухает канал, будет зависеть от того, насколько быстро движется приемник и/или передатчик. Движение вызывает доплеровский сдвиг в компонентах принятого сигнала. На рисунках показано изменение мощности постоянного сигнала в течение 1 секунды после прохождения через однолучевой канал с релеевским замиранием с максимальным доплеровским сдвигом 10 Гц и 100 Гц. Эти доплеровские сдвиги соответствуют скоростям около 6 км/ч (4 миль в час) и 60 км/ч (40 миль в час) соответственно на частоте 1800 МГц, одной из рабочих частот для мобильных телефонов GSM . Это классическая форма затухания Рэлея. Обратите особое внимание на «глубокое затухание», при котором мощность сигнала может упасть в несколько тысяч раз, или на 30–40 дБ .

Характеристики

Поскольку в основе распределения Рэлея лежит хорошо изученное распределение со специальными свойствами, оно поддается анализу, а ключевые особенности, влияющие на производительность беспроводной сети, имеют аналитические выражения .

Обратите внимание, что обсуждаемые здесь параметры относятся к нестатическому каналу. Если канал не меняется со временем, он не затухает, а остается на определенном уровне. Отдельные экземпляры канала в этом случае будут некоррелированы друг с другом в силу предположения, что каждая из рассеянных компонент затухает независимо. Как только между любым из передатчика, приемника и рассеивателя возникает относительное движение, замирание становится коррелированным и меняющимся во времени.

Скорость пересечения уровня

Скорость пересечения уровня является мерой скорости замирания. Он количественно определяет, как часто затухание пересекает некоторый порог, обычно в положительном направлении. Для релеевского замирания скорость пересечения уровня равна: ^[4]

${\displaystyle \mathrm {LCR} ={\sqrt {2\pi }}f_{d}\rho e^{-\rho ^{2}}}$

где – максимальный доплеровский сдвиг, – пороговый уровень, нормированный на среднеквадратичный (RMS) уровень сигнала: ${\displaystyle f_{d}}$ ${\displaystyle \,\!\rho }$

${\displaystyle \rho ={\frac {R_{\mathrm {threshold} }}{R_{\mathrm {rms} }}}.}$

Средняя продолжительность затухания

Средняя продолжительность затухания определяет, как долго сигнал находится ниже порогового значения . Для релеевского замирания средняя продолжительность замирания составляет: ^[4] ${\displaystyle \,\!\rho }$

${\displaystyle \mathrm {AFD} ={\frac {e^{\rho ^{2}}-1}{\rho f_{d}{\sqrt {2\pi }}}}.}$

Скорость пересечения уровня и средняя продолжительность замираний, взятые вместе, дают полезные средства для характеристики серьезности замираний с течением времени.

Для конкретного нормализованного порогового значения произведение средней продолжительности замирания и скорости пересечения уровня является константой и определяется выражением ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \mathrm {AFD} \times \mathrm {LCR} =1-e^{-\rho ^{2}}.}$

Спектральная плотность доплеровской мощности

Нормализованный доплеровский спектр мощности рэлеевского замирания с максимальным доплеровским сдвигом 10 Гц.

Спектральная плотность доплеровской мощности канала с замиранием описывает, насколько сильное расширение спектра оно вызывает. Это показывает, как чистая частота, например, чистая синусоида, которая представляет собой импульс в частотной области, распределяется по частоте, когда она проходит через канал. Это преобразование Фурье автокорреляционной функции времени. Было показано, что для релеевского замирания с вертикальной приемной антенной с одинаковой чувствительностью во всех направлениях это выглядит следующим образом: ^[5]

${\displaystyle S(\nu )={\frac {1}{\pi f_{d}{\sqrt {1-\left({\frac {\nu }{f_{d}}}\right)^{2}}}}},}$

где – сдвиг частоты относительно несущей частоты. Это уравнение справедливо только для значений между ; вне этого диапазона спектр равен нулю. Этот спектр показан на рисунке для максимального доплеровского сдвига 10 Гц. «Форма чаши» или «форма ванны» — классическая форма этого доплеровского спектра. ${\displaystyle \,\!\nu }$ ${\displaystyle \,\!\nu }$ ${\displaystyle \pm f_{d}}$

Генерация замирания Рэлея

Как описано выше, сам канал релеевского замирания можно смоделировать путем генерации вещественной и мнимой частей комплексного числа в соответствии с независимыми нормальными гауссовыми переменными. Однако иногда бывает так, что интерес представляют просто колебания амплитуды (например, как на рисунке, показанном выше). Есть два основных подхода к этому. В обоих случаях цель состоит в том, чтобы создать сигнал, который имеет доплеровский спектр мощности, указанный выше, и эквивалентные автокорреляционные свойства.

Модель Джейкса

В своей книге ^[6] Джейкс популяризировал модель рэлеевского затухания, основанную на суммировании синусоидов . Пусть рассеиватели равномерно распределены по кругу под углами, из каждого рассеивателя выходят лучи. Доплеровский сдвиг луча равен ${\displaystyle \alpha _{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \,\!f_{n}=f_{d}\cos \alpha _{n}}$

и с такими рассеивателями рэлеевское затухание формы сигнала с течением времени можно смоделировать как: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k^{\text{th}}}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R(t,k)=2{\sqrt {2}}\left[\sum _{n=1}^{M}\right.&\left(\cos \beta _{n}+j\sin \beta _{n}\right)\cos \left(2\pi f_{n}t+\theta _{n,k}\right)\\[4pt]&\left.{}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\cos \alpha +j\sin \alpha \right)\cos(2\pi f_{d}t)\right].\end{aligned}}}$

Здесь и – параметры модели, обычно равные нулю и выбранные таким образом, чтобы не было взаимной корреляции между действительной и мнимой частями : ${\displaystyle \,\!\alpha }$ ${\displaystyle \,\!\beta _{n}}$ ${\displaystyle \,\!\theta _{n,k}}$ ${\displaystyle \,\!\alpha }$ ${\displaystyle \,\!\beta _{n}}$ ${\displaystyle R(t)}$

${\displaystyle \,\!\beta _{n}={\frac {\pi n}{M+1}}}$

и используется для генерации нескольких сигналов. Если моделируется однолучевой канал, то есть имеется только одна форма сигнала, тогда значение может быть нулевым. Если моделируется многолучевой частотно-избирательный канал, требующий нескольких форм сигналов, Джейкс предполагает, что некоррелированные сигналы задаются формулой ${\displaystyle \,\!\theta _{n,k}}$ ${\displaystyle \,\!\theta _{n}}$

${\displaystyle \theta _{n,k}=\beta _{n}+{\frac {2\pi (k-1)}{M+1}}.}$

Фактически было показано, что формы сигналов коррелируют между собой — они имеют ненулевую взаимную корреляцию — за исключением особых обстоятельств. ^[7] Модель также является детерминированной (после выбора параметров в ней нет случайных элементов). Модифицированная модель Джейкса ^[8] выбирает немного другие расстояния для рассеивателей и масштабирует их формы сигналов с использованием последовательностей Уолша-Адамара , чтобы гарантировать нулевую взаимную корреляцию. Параметр

${\displaystyle \alpha _{n}={\frac {\pi (n-0.5)}{2M}}{\text{ and }}\beta _{n}={\frac {\pi n}{M}},}$

приводит к следующей модели, обычно называемой моделью Дента или модифицированной моделью Джейкса:

${\displaystyle R(t,k)={\sqrt {\frac {2}{M}}}\sum _{n=1}^{M}A_{k}(n)\left(\cos \beta _{n}+j\sin \beta _{n}\right)\cos \left(2\pi f_{d}t\cos \alpha _{n}+\theta _{n}\right).}$

Весовые функции – это последовательность ^Уолша –Адамара в . Поскольку по своей конструкции они имеют нулевую взаимную корреляцию, эта модель приводит к некоррелированным формам сигналов. Фазы могут инициализироваться случайным образом и не влиять на корреляционные свойства. Быстрое преобразование Уолша можно использовать для эффективного создания выборок с использованием этой модели. ${\displaystyle A_{k}(n)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \,\!\theta _{n}}$

Модель Джейкса также популяризировала доплеровский спектр, связанный с рэлеевским замиранием, и в результате этот доплеровский спектр часто называют спектром Джейкса.

Отфильтрованный белый шум

Другой способ генерировать сигнал с требуемым доплеровским спектром мощности — пропустить сигнал белого гауссовского шума через гауссов фильтр с частотной характеристикой, равной квадратному корню из требуемого доплеровского спектра. Хотя она проще, чем модели, приведенные выше, и недетерминирована, она представляет некоторые вопросы реализации, связанные с необходимостью использования фильтров высокого порядка для аппроксимации иррациональной функции квадратного корня в ответе и выборки гауссова сигнала с соответствующей частотой.

Фильтр Баттерворта как спектральная плотность доплеровской мощности

Отфильтровано фильтром Баттерворта временного ряда Рэлея (частота дискретизации 120 Гц)

Согласно ^{[9] [10] [11]} доплеровскую PSD также можно смоделировать с помощью фильтра Баттерворта следующим образом:

${\displaystyle S_{Doppler}(f)=|H_{Butterworth}|^{2}={\frac {B}{\sqrt {1-(f/f_{0})^{2k}}}}}$

где f — частота, — отклик фильтра Баттерворта, B — константа нормализации, k — порядок фильтра и частота среза , которую следует выбирать с учетом максимального доплеровского сдвига. ${\displaystyle H_{Butterworth}}$ ${\displaystyle f_{0}}$

Смотрите также

• Затухание
• Рэлеевское рассеяние
• Райсиан исчезает
• Распространение вне прямой видимости
• Распространение в пределах прямой видимости
• Беспроводная связь
• Распределение Рэлея
• Двухволновое замирание с диффузной мощностью (TWDP)
• Лорд Рэлей

Рекомендации

1. Джон Г. Проакис (1995). Цифровые коммуникации (3-е изд.). Сингапур: McGraw – Hill Book Co., стр. 767–768. ISBN 978-0-07-113814-7.
2. Бернард Склар (июль 1997 г.). «Каналы с релеевским затуханием в мобильных цифровых системах связи. Часть I: Характеристика». Журнал коммуникаций IEEE . 35 (7): 90–100. дои : 10.1109/35.601747.
3. Дмитрий Чижик; Джонатан Линг; Питер В. Вольнянский; Рейнальдо А. Валенсуэла; Нельсон Коста и Крис Хубер (апрель 2003 г.). «Измерения и моделирование с несколькими входами и несколькими выходами на Манхэттене» (PDF) . Журнал IEEE по избранным областям коммуникаций . 21 (3): 321–331. doi : 10.1109/JSAC.2003.809457.
4. TS Раппапорт (31 декабря 2001 г.). Беспроводная связь: принципы и практика (2-е изд.). Прентис Холл PTR. ISBN 978-0-13-042232-3.
5. Р. Х. Кларк (июль – август 1968 г.). «Статистическая теория приема мобильной радиосвязи». Технический журнал Bell System . 47 (6): 957–1000. doi :10.1002/j.1538-7305.1968.tb00069.x.
6. Уильям К. Джейкс, изд. (1 февраля 1975 г.). Микроволновая мобильная связь . Нью-Йорк: ISBN John Wiley & Sons Inc. 978-0-471-43720-8.
7. Фон Эккардштейн, С. и Исакссон, К. (декабрь 1991 г.). Kanalmodeller för radiotransmission (Модели каналов для радиопередачи) (Магистерская диссертация) (на шведском языке). Стокгольм, Швеция: Королевский технологический институт.
8. П. Дент, Дж. Э. Боттомли и Т. Крофт (24 июня 1993 г.). «Возвращение к модели Джейка Фейдинга». Электронные письма . 29 (13): 1162–1163. Бибкод : 1993ElL....29.1162D. дои : 10.1049/эл: 19930777.
9. Фернандо Перес-Фонтан, Ирия Санчес-Лаго, Роберто Прието Сердейра и Ана Болеа-Алама nac. Консолидация модели каналов узкополосной наземной подвижной спутниковой связи в нескольких штатах. Во Второй Европейской конференции по антеннам и распространению радиоволн, EuCAP, 2007 г., стр. 1–6, ноябрь. 2007 год
10. Фонтен, Ф.П. и Эспиэйра, ПМ, 2008. Моделирование канала беспроводного распространения: подход к моделированию с помощью Matlab (Том 5). Джон Уайли и сыновья. - п. 123 - 129
11. Арндт, Д., 2015. О моделировании каналов для приема наземных мобильных спутников (докторская диссертация). - п. 28

Внешние ссылки

• Генератор сигналов канала с релеевским затуханием с использованием модели Дента (Matlab)