Потемнение конечностей

Оптический эффект, наблюдаемый на краях звезд с точки зрения астронома

Отфильтрованное изображение Солнца в видимом свете, показывающее эффект затемнения края как более тусклое свечение по направлению к краю или краю солнечного диска . Изображение было сделано во время прохождения Венеры в 2012 году (на снимке это темное пятно вверху справа).

Потемнение лимба — это оптический эффект, наблюдаемый у звезд (включая Солнце ) и планет, при котором центральная часть диска кажется ярче, чем край или лимб . ^[1] Его понимание дало ранним астрономам Солнца возможность построить модели с такими градиентами. Это способствовало развитию теории переноса излучения .

Основная теория

Идеализированный случай потемнения конечностей. Внешняя граница — это радиус, при котором фотоны, испускаемые звездой, больше не поглощаются. L — расстояние, на котором оптическая толща равна единице. Высокотемпературные фотоны, испускаемые точкой A, едва ускользнут от звезды, как и низкотемпературные фотоны, испускаемые точкой B. Масштаб рисунка не соблюден. Например, для Солнца L будет составлять всего несколько сотен км.

Оптическая глубина , мера непрозрачности объекта или части объекта, в сочетании с эффективными градиентами температуры внутри звезды приводит к затемнению конечностей. Видимый свет представляет собой приблизительно интеграл всего излучения вдоль луча зрения, модулированного оптической глубиной для наблюдателя (т. е. 1/e, умноженное на излучение на 1 оптической глубине, 1/e ² , умноженное на излучение на 2 оптических глубинах и т. д. ). Вблизи центра звезды оптическая глубина фактически бесконечна, что обеспечивает примерно постоянную яркость. Однако эффективная оптическая глубина уменьшается с увеличением радиуса из-за меньшей плотности газа и более короткого расстояния прямой видимости через звезду, что приводит к постепенному затемнению, пока оно не станет равным нулю на видимом крае звезды.

Эффективная температура фотосферы также уменьшается с удалением от центра звезды. Излучение, испускаемое газом, представляет собой примерно излучение черного тела , интенсивность которого пропорциональна четвертой степени температуры. Следовательно, даже в направлениях прямой видимости, где оптическая глубина фактически бесконечна, излучаемая энергия исходит из более холодных частей фотосферы, в результате чего к зрителю доходит меньше общей энергии.

Температура в атмосфере звезды не всегда снижается с увеличением высоты. Для некоторых спектральных линий оптическая толща наибольшая в областях повышения температуры. Вместо этого в этом сценарии наблюдается явление «просветления конечностей». На Солнце существование области минимума температуры означает, что яркость конечностей должна начать доминировать в дальнем инфракрасном или радиодиапазоне . Над нижними слоями атмосферы и значительно выше области температурного минимума Солнце окружено солнечной короной температурой в миллион кельвинов . Для большинства длин волн эта область является оптически тонкой, т. е. имеет небольшую оптическую толщину, и, следовательно, ее необходимо просветлить по краю, если она сферически симметрична.

Расчет затемнения конечности

Геометрия затемнения конечностей. Звезда имеет центр О  и   радиус R. Наблюдатель находится в точке P   на расстоянии r   от центра звезды и смотрит на точку S   на поверхности звезды. С точки зрения наблюдателя, S   находится под углом θ от линии, проходящей через центр звезды, а край или край звезды находится под углом Ω.

На рисунке, показанном здесь, пока наблюдатель в точке P находится вне звездной атмосферы, интенсивность, видимая в направлении θ, будет функцией только угла падения ψ . Это удобнее всего аппроксимировать полиномом от cos  ψ :

$${\displaystyle {\frac {I(\psi )}{I(0)}}=\sum _{k=0}^{N}a_{k}\cos ^{k}\psi ,}$$

I ( ψ )ψI (0)ψ = 0

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{N}a_{k}=1.}$$

Например, для ламбертовского радиатора (без затемнения кромок) все a _k = 0 , кроме a ₁ = 1 . Другой пример: для ^Солнца на длине волны 550 нанометров (5,5 × 10-7  м) потемнение к краю хорошо выражено ^[2] при N = 2 и

$${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=1-a_{1}-a_{2}=0.3,\\a_{1}&=0.93,\\a_{2}&=-0.23\end{aligned}}}$$

Уравнение потемнения конечностей иногда удобнее записать как

$${\displaystyle {\frac {I(\psi )}{I(0)}}=1+\sum _{k=1}^{N}A_{k}(1-\cos \psi )^{k},}$$

NN + 1

Константы a k могут быть связаны с _{константами} a _k . Для N = 2 ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=-(a_{1}+2a_{2}),\\A_{2}&=a_{2}.\end{aligned}}}$$

Тогда для Солнца на длине волны 550 нм мы имеем

$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=-0.47,\\A_{2}&=-0.23.\end{aligned}}}$$

Эта модель дает интенсивность на краю диска Солнца , составляющую всего 30% интенсивности в центре диска.

Мы можем преобразовать эти формулы в функции от θ , используя замену

$${\displaystyle \cos \psi ={\frac {\sqrt {\cos ^{2}\theta -\cos ^{2}\Omega }}{\sin \Omega }}={\sqrt {1-\left({\frac {\sin \theta }{\sin \Omega }}\right)^{2}}},}$$

Ωθ

$${\displaystyle \cos \psi \approx {\sqrt {1-\left({\frac {\theta }{\sin \Omega }}\right)^{2}}}.}$$

Мы видим, что производная cos ψ бесконечна на краю.

Приведенное выше приближение можно использовать для получения аналитического выражения для отношения средней интенсивности к центральной интенсивности. Средняя интенсивность I _m представляет собой интеграл интенсивности по диску звезды, деленный на телесный угол, образуемый диском:

$${\displaystyle I_{m}={\frac {\int I(\psi )\,d\omega }{\int d\omega }},}$$

где dω = sin  θ dθ dφ — элемент телесного угла, а интегралы даны по кругу: 0 ≤ φ ≤ 2 π и 0 ≤ θ ≤ Ω . Мы можем переписать это как

$${\displaystyle I_{m}={\frac {\int _{\cos \Omega }^{1}I(\psi )\,d\cos \theta }{\int _{\cos \Omega }^{1}d\cos \theta }}={\frac {\int _{\cos \Omega }^{1}I(\psi )\,d\cos \theta }{1-\cos \Omega }}.}$$

Хотя это уравнение можно решить аналитически, оно довольно громоздко. Однако для наблюдателя, находящегося на бесконечном расстоянии от звезды, можно заменить на , поэтому мы имеем ${\displaystyle d\cos \theta }$ ${\displaystyle \sin ^{2}\Omega \cos \psi \,d\cos \psi }$

$${\displaystyle I_{m}={\frac {\int _{0}^{1}I(\psi )\cos \psi \,d\cos \psi }{\int _{0}^{1}\cos \psi \,d\cos \psi }}=2\int _{0}^{1}I(\psi )\cos \psi \,d\cos \psi ,}$$

$${\displaystyle {\frac {I_{m}}{I(0)}}=2\sum _{k=0}^{N}{\frac {a_{k}}{k+2}}.}$$

Для Солнца на длине волны 550 нм это говорит о том, что средняя интенсивность составляет 80,5% от интенсивности в центре.

Рекомендации

1. Раун, Дэниел (2003). «Потемнение конечностей». В Гарго, Мюриэль; Амилс, Рикардо; Кинтанилья, Хосе Серничаро; Кливс, Хендерсон Джеймс; Ирвин, Уильям М.; Пинти, Даниэле Л.; Визо, Мишель (ред.). Энциклопедия астробиологии. Берлин, Гейдельберг: Springer. стр. 925–926. дои : 10.1007/978-3-642-11274-4_885. ISBN 978-3-642-11271-3.
2. Кокс, Артур Н., изд. (2000). Астрофизические величины Аллена (14-е изд.). Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк. ISBN 0-387-98746-0.

• Биллингс, Дональд Э. (1966). Путеводитель по солнечной короне . Академик Пресс, Нью-Йорк.
• Милн, Э.А. (1921). «Радиационное равновесие во внешних слоях звезды: распределение температуры и закон затемнения». МНРАС . 81 (5): 361–375. Бибкод : 1921MNRAS..81..361M. дои : 10.1093/mnras/81.5.361 .
• Миннарт, М. (1930). «О непрерывном спектре короны и ее поляризации». Zeitschrift für Astrophysik . 1 : 209. Бибкод :1930ZA......1..209M.
• Неккель, Х.; Лабс, Д. (1994). «Потемнение солнечного лимба 1986–1990». Солнечная физика . 153 (1–2): 91–114. Бибкод : 1994SoPh..153...91N. дои : 10.1007/BF00712494. S2CID  119704650.
• ван де Хюльст; ХК (1950). «Электронная плотность солнечной короны». Бюллетень астрономических институтов Нидерландов . 11 (410): 135. Бибкод : 1950БАН....11..135В.
• Маришка, Джон (1993). Солнечная переходная область . Издательство Кембриджского университета, Кембридж. ISBN 0521382610.
• Штайнер, О. (2007). «Фотосферные процессы и трубки магнитного потока». Материалы конференции AIP . 919 : 74–121. arXiv : 0709.0081 . Бибкод : 2007AIPC..919...74S. дои : 10.1063/1.2756784. S2CID  16932214.