В геометрии первая звездчатость ромбододекаэдра представляет собой самопересекающийся многогранник с 12 гранями, каждая из которых представляет собой невыпуклый шестиугольник. Это звездочка ромбического додекаэдра , имеющая ту же внешнюю оболочку и такой же внешний вид, как и две другие формы: твердое тело Эшера с 48 треугольными гранями и многогранное соединение трех сплюснутых октаэдров с 24 перекрывающимися треугольными гранями.
Твердое тело Эшера может мозаику пространства, образуя звездчатые ромб-додекаэдрические соты .
Первая звездчатая ромбододекаэдра имеет 12 граней, каждая из которых представляет собой невыпуклый шестиугольник. [1] Это звездочка ромбододекаэдра , что означает, что каждая из его граней лежит в той же плоскости, что и одна из ромбовидных граней ромбододекаэдра, причем каждая грань содержит ромб в той же плоскости, и что он имеет ту же симметрию, что и ромбдодекаэдр. Это первая звездчатость, означающая, что никакой другой самопересекающийся многогранник с такими же плоскостями граней и такой же симметрией не имеет граней меньшего размера. Расширение граней наружу в тех же плоскостях приводит к появлению еще двух звездочек, если грани должны быть простыми многоугольниками . [2]
Для многогранников, образованных только с использованием граней в тех же 12 плоскостях и с одинаковой симметрией, но с возможностью сделать грани непростыми или с несколькими гранями в одной плоскости, возникают дополнительные возможности. [2] В частности, удаление внутреннего ромба из каждой шестиугольной грани звездочки оставляет четыре треугольника, а полученная система из 48 треугольников образует другой невыпуклый многогранник без самопересечений, который образует границу объемной формы, иногда называемой Эшер крепкий. Эта форма появляется в работах М.К. Эшера « Водопад» и в исследовании « Звезды » (хотя сама «Звезды» имеет другую форму — соединение трех октаэдров ). [3] Поскольку звездчатое и твердое тело имеют одинаковый внешний вид, невозможно определить, какой из двух Эшер намеревался изобразить в « Водопаде» . В «Исследовании звезд» Эшер изображает многогранник в форме скелета и включает ребра, которые являются частью скелетной формы тела Эшера, но не являются частью звездчатого тела. (В звездчатой форме эти сегменты линий образованы пересечением граней, а не ребер.) Однако альтернативная интерпретация той же самой скелетной формы состоит в том, что она изображает третью форму с аналогичным внешним видом, многогранное соединение трех сплющенных октаэдров с 24 перекрывающиеся треугольные грани. [4]
48 треугольных граней твердого тела равнобедренные; Если самая длинная грань этих треугольников равна длине, то две другие равны , площадь поверхности твердого тела равна , а объем твердого тела равен .
Вершины первой звездчатости ромбододекаэдра включают 12 вершин кубооктаэдра вместе с восемью дополнительными вершинами (вершины 3-й степени ромдодекаэдра). Тело Эшера имеет шесть дополнительных вершин в центральных точках квадратных граней кубооктаэдра (вершины четвертой степени ромбододекаэдра). В первой звездчатости ромбододекаэдра эти шесть точек не являются вершинами, а являются серединами пар ребер, которые пересекаются в этих точках под прямым углом.
Первая звездчатая форма ромбододекаэдра имеет 12 шестиугольных граней, 36 ребер и 20 вершин, что дает эйлерову характеристику 20 - 36 + 12 = -4. [1] Вместо этого тело Эшера имеет 48 треугольных граней, 72 ребра и 26 вершин, что дает эйлерову характеристику 26 - 72 + 48 = 2.
Твердое тело Эшера может мозаично представлять пространство в виде звездчатых ромб-додекаэдрических сот . [5] В каждой вершине встречаются шесть тел. Эти соты являются транзитивными по ячейкам , транзитивными по ребрам и транзитивными по вершинам .
Куб Йошимото , головоломка , состоящая из куба и двух копий тела Эшера, тесно связана с этой мозаикой.
