Подписанная область

Область интерпретируется положительно или отрицательно

В математике знаковая площадь или ориентированная площадь области аффинной плоскости — это ее площадь с ориентацией, заданной положительным или отрицательным знаком , то есть «плюс» ( ) ${\displaystyle +}$ или «минус» ( ) ${\displaystyle -}$ . В более общем смысле знаковая площадь произвольной области поверхности — это ее площадь поверхности с заданной ориентацией. Когда граница области представляет собой простую кривую , знаковая площадь также указывает на ориентацию границы.

Плоская область

Полигоны

Математика древней Месопотамии , Египта и Греции не имела явного понятия отрицательных чисел или знаковых площадей, но имела понятия о фигурах, содержащихся в некоторых граничных линиях или кривых, площади которых можно было вычислить или сравнить, склеивая фигуры или отрезая части, что равносильно сложению или вычитанию площадей. ^[1] Это было формализовано в книге I « Начал » Евклида , которая начинается с нескольких общих понятий, включая «если равные прибавляются к равным, то целые равны» и «если равные вычитаются из равных, то остатки равны» (среди плоских фигур фигуры одинаковой площади назывались «равными»). ^[2] Предложения в Книге I касаются свойств треугольников и параллелограммов , включая, например, то, что параллелограммы с одним и тем же основанием и на тех же параллелях равны и что любой треугольник с тем же основанием и на тех же параллелях имеет половину площади этих параллелограммов, а также построение параллелограмма той же площади, что и любая «прямолинейная фигура» ( простой многоугольник ), путем разбиения ее на треугольники . ^[3] Греческие геометры часто сравнивали плоские площади с помощью квадратуры (построения квадрата той же площади, что и фигура), и Книга II «Начал » показывает, как построить квадрат той же площади, что и любой заданный многоугольник.

Так же, как отрицательные числа упрощают решение алгебраических уравнений , устраняя необходимость менять знаки в отдельно рассматриваемых случаях, когда величина может быть отрицательной, концепция площади со знаком аналогично упрощает геометрические вычисления и доказательства. Вместо вычитания одной площади из другой можно сложить две площади со знаком противоположной ориентации, и полученную площадь можно осмысленно интерпретировать независимо от ее знака. Например, предложения II.12–13 «Начал» содержат геометрический предшественник закона косинусов , который разделен на отдельные случаи в зависимости от того, является ли угол рассматриваемого треугольника тупым или острым , поскольку конкретный прямоугольник должен быть либо добавлен, либо вычтен соответственно ( косинус угла либо отрицателен, либо положителен). Если прямоугольнику разрешено иметь площадь со знаком, оба случая можно свернуть в один с помощью одного доказательства (дополнительно охватывающего прямоугольный случай, когда прямоугольник исчезает).

Как и в случае с неориентированной площадью простых многоугольников в Elements , ориентированная площадь многоугольников в аффинной плоскости (включая те, что с отверстиями или самопересечениями ) может быть удобно сведена к суммам ориентированных площадей треугольников, каждый из которых, в свою очередь, является половиной ориентированной площади параллелограмма. Ориентированная площадь любого многоугольника может быть записана как знаковый действительный числовой коэффициент ( знаковая площадь фигуры), умноженный на ориентированную площадь обозначенного многоугольника, объявленного имеющим единичную площадь; в случае евклидовой плоскости это обычно единичный квадрат .

Среди вычислительно самых простых способов разбить произвольный многоугольник (описанный упорядоченным списком вершин) на треугольники — выбрать произвольную исходную точку, а затем сформировать ориентированный треугольник между исходной точкой и каждой парой смежных вершин в треугольнике. Когда плоскости задана декартова система координат , этот метод — формула шнурка 18-го века . ^[4]

Изогнутые формы

У древних греков не было общего метода вычисления площадей фигур с криволинейными границами, а квадратура круга с использованием только конечного числа шагов была нерешенной задачей (доказано невозможной в 19 веке). Однако Архимед точно вычислил квадратуру параболы с помощью метода исчерпывания , суммируя бесконечно много треугольных площадей в предшественнике современного интегрального исчисления , и он аппроксимировал квадратуру круга, выполнив первые несколько шагов аналогичного процесса.

Интегралы

Синюю область над осью x можно определить как положительную область, тогда как желтую область под осью x можно определить как отрицательную область.

Интеграл действительной функции можно представить как площадь со знаком между осью и кривой на интервале [ a , b ]. Площадь над осью может быть определена как положительная ( ) , а площадь под осью может быть определена как отрицательная ( ) . ^[5] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -}$

Отрицательная область возникает при изучении натурального логарифма как знаковая область под кривой для , то есть: ^[6] ${\displaystyle y=1/x}$ ${\displaystyle 0<x<1}$ $${\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}=-\int _{x}^{1}{\frac {dt}{t}}<0.}$$

В дифференциальной геометрии знак площади области поверхности связан с ориентацией поверхности. ^[7] Площадь множества A в дифференциальной геометрии получается как интегрирование плотности : где d x и d y — дифференциальные 1-формы , которые составляют плотность. Поскольку произведение клиньев обладает антикоммутативным свойством , . Плотность связана с плоской ориентацией, чем-то существующим локально в многообразии, но не обязательно глобально. В случае натурального логарифма, полученного путем интегрирования площади под гиперболой xy = 1, плотность d x ∧ d y положительна для x > 1, но поскольку интеграл привязан к 1, ориентация оси x меняется на противоположную в единичном интервале . Для этого интегрирования ориентация (− d x ) дает противоположную плотность по сравнению с той, которая используется для x > 1. При этой противоположной плотности площадь под гиперболой и над единичным интервалом принимается как отрицательная площадь, и натуральный логарифм, следовательно, отрицателен в этой области. $${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}dx\wedge dy,}$$ ${\displaystyle dy\wedge dx=-dx\wedge dy}$ $${\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}}$$

Определители

Знаковые площади были связаны с определителями Феликсом Клейном в 1908 году. ^[8] Когда треугольник задан тремя точками, его площадь равна: Например, когда тогда площадь определяется как $${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}.}$$ ${\displaystyle (x_{3},\ y_{3})=(0,0),}$ ${\frac {x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}}{2}}.$

Чтобы рассмотреть площадь сектора, ограниченную кривой , ее аппроксимируют тонкими треугольниками с одной стороной, равной (d x , dy ), которые имеют площадь Тогда « площадь сектора между кривой и двумя радиус-векторами» определяется выражением Например, обратная ориентация единичной гиперболы определяется выражением Тогда, таким образом, площадь гиперболического сектора между нулем и θ дает отрицательный гиперболический угол как отрицательную площадь сектора. $${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}0&0&1\\x&y&1\\x+dx&y+dy&1\end{vmatrix}}={\frac {1}{2}}(x\ dy-y\ dx).}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{1}^{2}(x\ dy-y\ dx).}$$ ${\displaystyle x=\cosh t,\quad y=-\sinh t.}$ $${\displaystyle x\ dy-y\ dx=-\cosh ^{2}t\ dt+\sinh ^{2}t\ dt=-dt,}$$ $${\displaystyle {\frac {-1}{2}}\int _{0}^{\theta }dt={\frac {-t}{2}}{\big |}_{0}^{\theta }=-{\frac {\theta }{2}},}$$

Постниковская эквивалентность

Учебник Михаила Постникова 1979 года «Лекции по геометрии» обращается к определенным геометрическим преобразованиям , описанным как функции пар координат , для выражения «свободно плавающих элементов площади». ^[9] Отображение сдвига может быть одним из следующих: ${\displaystyle (x,y)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x,y)&\to (x,\ y+kx),\\(x,y)&\to (x+ky,\ y)\end{aligned}}}$$

для любого действительного числа , в то время как отображение сжатия есть ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle (x,y)\to (\lambda x,\ y/\lambda )}$$

для любого положительного действительного числа . Элемент площади связан с другим, если одно из преобразований приводит к второму при применении к первому. Как отношение эквивалентности , элементы площади сегментируются в классы эквивалентности связанных элементов, которые являются бивекторами Постникова . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle (\thicksim )}$

Предложение: Если и ${\displaystyle (a_{1},b_{1})=(ka+\ell b,\ k_{1}a+\ \ell _{1}b)}$

${\displaystyle \delta =k\ell _{1}-\ell k_{1}\neq 0,}$затем ${\displaystyle (a,b)\thicksim (a_{1},\ ({\frac {1}{\delta }})b_{1}).}$

доказательство: отображение сдвига ${\displaystyle (a,\ b)\thicksim (a+{\frac {\ell }{k}}b,\ b)}$

${\displaystyle \thicksim (ka+\ell b,\ {\tfrac {1}{k}}b)}$сжатие картографирование

${\displaystyle \thicksim (ka+\ell b,\ {\tfrac {1}{k}}b+{\frac {k_{1}}{k\delta }}(ka+\ell b))}$картирование сдвига

${\displaystyle =(ka+\ell b,\ {\frac {k_{1}}{k\delta }}(ka+({\frac {\delta }{k_{1}}}+\ell )b)}$

${\displaystyle =(ka+\ell b,\ {\frac {1}{\delta }}(k_{1}a+\ell _{1}b))\ \ {\text{since}}\ \ \ell +{\frac {\delta }{k_{1}}}={\frac {k}{k_{1}}}\ell _{1}}$

${\displaystyle =(a_{1},\ {\frac {1}{\delta }}b_{1}).}$

Смотрите также

• Площадь вектора
• Форма объема
• Расстояние, обозначенное знаком
• Подписанная мера
• Подписанный том

Ссылки

1. Хёйруп, Йенс (2005). «Tertium Non Datur: О стилях рассуждений в ранней математике». В Mancosu, P.; Jørgensen, KF; Pedersen, SA (ред.). Визуализация, объяснение и стили рассуждений в математике . Springer. стр. 91–121. doi :10.1007/1-4020-3335-4_6. ISBN 978-1-4020-3334-6.
2. Хит, Томас Л. (1956). Тринадцать книг «Начал Евклида». Т. I (2-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications . С. 155.
3. Хит (1956), стр. 241–369.
4. Чен, Эван (2021). Евклидова геометрия на математических олимпиадах. Математическая ассоциация Америки . стр. 76. ISBN 978-1-61444-411-4. LCCN  2016933605.
5. Коменец, Майкл (2002). Исчисление: Элементы. World Scientific . стр. 95. ISBN 9810249047.
6. Стюарт, Джеймс (1991). Single Variable Calculus (2-е изд.). Brooks/Cole . стр. 358. ISBN 0-534-16414-5.
7. Крейсциг, Эрвин (1959). Дифференциальная геометрия . Издательство Торонтского университета . стр. 114–115. ISBN 978-1487592462.
8. Феликс Кляйн , переводчики Э. Р. Хендрик и К. А. Нобл (1939)[1908] Элементарная математика с продвинутой точки зрения – Геометрия , третье издание, страницы 3, 10, 173,4
9. Постников, Михаил (1982) [1979]. "Лекция 7: Бивекторы". Лекции по геометрии: Семестр I Аналитическая геометрия . Перевод Шокурова, Владимира. М.: Мир.

Внешние ссылки

• Клейтман, Дэниел . "Глава 15: Площади и объемы фигур с параллельными сторонами; определители". Домашняя страница Клейтмана . Домашняя страница математического факультета Массачусетского технологического института.