Представление числа со знаком

Позиционная система с цифрами со знаком; представление может быть не уникальным

В математической записи чисел знаковое цифровое представление — это позиционная система счисления с набором знаковых цифр , используемых для кодирования целых чисел .

Представление со знаком может использоваться для быстрого сложения целых чисел, поскольку оно позволяет исключить цепочки зависимых переносов. ^[1] В двоичной системе счисления особым случаем представления со знаком является несмежная форма , которая может обеспечить выигрыш в скорости при минимальных затратах пространства.

История

Проблемы в вычислениях побудили ранних авторов Колсона (1726) и Коши (1840) использовать знаковое цифровое представление. Дальнейший шаг замены отрицательных цифр новыми был предложен Селлингом (1887) и Каджори (1928).

В 1928 году Флориан Каджори отметил повторяющуюся тему знаковых цифр, начиная с Колсона (1726) и Коши (1840). ^[2] В своей книге «История математических обозначений » Каджори назвал раздел «Отрицательные числа». ^[3] Для полноты Колсон ^[4] использует примеры и описывает сложение (стр. 163–4), умножение (стр. 165–6) и деление (стр. 170–1), используя таблицу кратных делителю. Он объясняет удобство приближения усечением при умножении. Колсон также разработал инструмент (таблицу подсчета), который вычислял с использованием знаковых цифр.

Эдуард Селлинг ^[5] выступал за перестановку цифр 1, 2, 3, 4 и 5 для обозначения отрицательного знака. Он также предложил snie , jes , jerd , reff и niff в качестве имен для использования вслух. Большинство других ранних источников использовали черту над цифрой для обозначения отрицательного знака. Другое немецкое использование знаковых цифр было описано в 1902 году в энциклопедии Кляйна ^[6] .

Определение и свойства

Набор цифр

Пусть будет конечным набором числовых цифр с мощностью (если , то позиционная система счисления тривиальна и представляет только тривиальное кольцо ), при этом каждая цифра обозначается как для , что известно как основание системы счисления или основание системы счисления . может использоваться для представления знаковых цифр, если оно связано с уникальной функцией такой, что для всех Эта функция строго и формально устанавливает, как целочисленные значения присваиваются символам/глифам в Одним из преимуществ этого формализма является то, что определение «целых чисел» (как бы они ни были определены) не смешивается с какой-либо конкретной системой их записи/представления; таким образом, эти два различных (хотя и тесно связанных) понятия сохраняются раздельно. ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle b\leq 1}$ ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle 0\leq i<b.}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle f_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}\rightarrow \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle f_{\mathcal {D}}(d_{i})\equiv i{\bmod {b}}}$ ${\displaystyle 0\leq i<b.}$ ${\displaystyle f_{\mathcal {D}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}.}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}}$можно разбить на три различных множества , и , представляющих положительные, нулевые и отрицательные цифры соответственно, так что все цифры удовлетворяют , все цифры удовлетворяют и все цифры удовлетворяют . Мощность множества равна , мощность множества равна , и мощность множества равна , что дает количество положительных и отрицательных цифр соответственно, так что . ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{+}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{-}}$ ${\displaystyle d_{+}\in {\mathcal {D}}_{+}}$ ${\displaystyle f_{\mathcal {D}}(d_{+})>0}$ ${\displaystyle d_{0}\in {\mathcal {D}}_{0}}$ ${\displaystyle f_{\mathcal {D}}(d_{0})=0}$ ${\displaystyle d_{-}\in {\mathcal {D}}_{-}}$ ${\displaystyle f_{\mathcal {D}}(d_{-})<0}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{+}}$ ${\displaystyle b_{+}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{0}}$ ${\displaystyle b_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{-}}$ ${\displaystyle b_{-}}$ ${\displaystyle b=b_{+}+b_{0}+b_{-}}$

Сбалансированные формы представления

Представления в сбалансированной форме — это представления, в которых для каждой положительной цифры существует соответствующая отрицательная цифра, такая что . Отсюда следует, что . Только нечетные основания могут иметь представления в сбалансированной форме, так как в противном случае должно быть противоположно себе и, следовательно, 0, но . В сбалансированной форме отрицательные цифры обычно обозначаются как положительные цифры с чертой над цифрой, как для . Например, набор цифр сбалансированной троичной системы будет иметь вид , , и . Это соглашение принято в конечных полях нечетного простого порядка : ^[7] ${\displaystyle d_{+}}$ ${\displaystyle d_{-}}$ ${\displaystyle f_{\mathcal {D}}(d_{+})=-f_{\mathcal {D}}(d_{-})}$ ${\displaystyle b_{+}=b_{-}}$ ${\displaystyle d_{b/2}}$ ${\displaystyle 0\neq {\frac {b}{2}}}$ ${\displaystyle d_{-}\in {\mathcal {D}}_{-}}$ ${\displaystyle d_{-}={\bar {d}}_{+}}$ ${\displaystyle d_{+}\in {\mathcal {D}}_{+}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}=\lbrace {\bar {1}},0,1\rbrace }$ ${\displaystyle f_{{\mathcal {D}}_{3}}({\bar {1}})=-1}$ ${\displaystyle f_{{\mathcal {D}}_{3}}(0)=0}$ ${\displaystyle f_{{\mathcal {D}}_{3}}(1)=1}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle \mathbb {F} _{q}=\lbrace 0,1,{\bar {1}}=-1,...d={\frac {q-1}{2}},\ {\bar {d}}={\frac {1-q}{2}}\ |\ q=0\rbrace .}$

Представление двойной знаковой цифры

Каждый набор цифр имеет дуальный набор цифр, заданный обратным порядком цифр с изоморфизмом, определяемым соотношением . В результате для любых знаковых представлений кольца числовой системы, построенных из с оценкой , существует дуальное знаковое представление , , построенное из с оценкой , и изоморфизм, определяемый соотношением , где — аддитивный обратный оператор для . Набор цифр для представлений сбалансированной формы является самодуальным . ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }}$ ${\displaystyle g:{\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }}$ ${\displaystyle -f_{\mathcal {D}}=g\circ f_{{\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {N}}\rightarrow N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}^{\operatorname {op} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }}$ ${\displaystyle v_{{\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }}:{\mathcal {N}}^{\operatorname {op} }\rightarrow N}$ ${\displaystyle h:{\mathcal {N}}\rightarrow {\mathcal {N}}^{\operatorname {op} }}$ ${\displaystyle -v_{\mathcal {D}}=h\circ v_{{\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }}}$ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle N}$

Для целых чисел

Учитывая набор цифр и функцию , определенные выше, определим целочисленную эндофункцию следующим образом: ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle f:{\mathcal {D}}\rightarrow \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle T:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} }$

${\displaystyle T(n)={\begin{cases}{\frac {n-f(d_{i})}{b}}&{\text{if }}n\equiv i{\bmod {b}},0\leq i<b\end{cases}}}$

Если единственная периодическая точка — это неподвижная точка , то множество всех знаковых цифровых представлений целых чисел с использованием задается с помощью Клини плюс , множества всех конечных конкатенированных строк цифр с по крайней мере одной цифрой, с . Каждое знаковое цифровое представление имеет оценку ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{+}}$ ${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle m\in {\mathcal {D}}^{+}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}^{+}\rightarrow \mathbb {Z} }$

${\displaystyle v_{\mathcal {D}}(m)=\sum _{i=0}^{n}f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{i}}$.

Примерами могут служить сбалансированные троичные числа с цифрами . ${\displaystyle {\mathcal {D}}=\lbrace {\bar {1}},0,1\rbrace }$

В противном случае, если существует ненулевая периодическая точка , то существуют целые числа, которые представлены бесконечным числом ненулевых цифр в . Примерами служат стандартная десятичная система счисления с набором цифр , которая требует бесконечного числа цифр для представления аддитивной инверсии , как , и позиционная система счисления с набором цифр с , которая требует бесконечного числа цифр для представления числа , как . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle \operatorname {dec} =\lbrace 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace }$ ${\displaystyle 9}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle T_{\operatorname {dec} }(-1)={\frac {-1-9}{10}}=-1}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}=\lbrace {\text{A}},0,1\rbrace }$ ${\displaystyle f({\text{A}})=-4}$ ${\displaystyle {\text{A}}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle T_{\mathcal {D}}(2)={\frac {2-(-4)}{3}}=2}$

Для десятичных дробей

Если целые числа могут быть представлены с помощью знакового числа Клини , то множество всех знаковых цифровых представлений десятичных дробей , или -адических рациональных чисел , задается как , декартово произведение знакового числа Клини , множества всех конечных конкатенированных строк цифр , содержащих хотя бы одну цифру, синглетона, состоящего из точки основания ( или ), и звезды Клини , множества всех конечных конкатенированных строк цифр , с . Каждое знаковое цифровое представление имеет оценку ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{+}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [1\backslash b]}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}={\mathcal {D}}^{+}\times {\mathcal {P}}\times {\mathcal {D}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{+}}$ ${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle .}$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{*}}$ ${\displaystyle d_{-1}\ldots d_{-m}}$ ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle q\in {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {Q}}\rightarrow \mathbb {Z} [1\backslash b]}$

${\displaystyle v_{\mathcal {D}}(q)=\sum _{i=-m}^{n}f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{i}}$

Для действительных чисел

Если целые числа могут быть представлены с помощью плюса Клини , то множество всех знаковых цифровых представлений действительных чисел задается как , декартово произведение плюса Клини , множество всех конечных конкатенированных строк цифр, содержащих хотя бы одну цифру, синглетон, состоящий из точки основания ( или ), и пространство Кантора , множество всех бесконечных конкатенированных строк цифр , с . Каждое знаковое цифровое представление имеет оценку ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}={\mathcal {D}}^{+}\times {\mathcal {P}}\times {\mathcal {D}}^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{+}}$ ${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle .}$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle d_{-1}d_{-2}\ldots }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle r\in {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {R}}\rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle v_{\mathcal {D}}(r)=\sum _{i=-\infty }^{n}f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{i}}$.

Бесконечный ряд всегда сходится к конечному действительному числу.

Для других систем счисления

Все числительные с основанием могут быть представлены в виде подмножества , множества всех дважды бесконечных последовательностей цифр в , где — множество целых чисел , а кольцо числительных с основанием представляется формальным кольцом степенных рядов , дважды бесконечным рядом ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [[b,b^{-1}]]}$

${\displaystyle \sum _{i=-\infty }^{\infty }a_{i}b^{i}}$

где для . ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$

Целые числа по модулю степениб

Множество всех знаковых цифровых представлений целых чисел по модулю ${\displaystyle b^{n}}$ , задается множеством , множеством всех конечных конкатенированных строк цифр длины , с . Каждое знаковое цифровое представление имеет оценку ${\displaystyle \mathbb {Z} \backslash b^{n}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{n}}$ ${\displaystyle d_{n-1}\ldots d_{0}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle m\in {\mathcal {D}}^{n}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}^{n}\rightarrow \mathbb {Z} /b^{n}\mathbb {Z} }$

${\displaystyle v_{\mathcal {D}}(m)\equiv \sum _{i=0}^{n-1}f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{i}{\bmod {b}}^{n}}$

Группы Prüfer

Группа Прюфера — это фактор-группа целых чисел и -адических рациональных чисел. Множество всех знаковых цифровых представлений группы Прюфера задается звездой Клини , множеством всех конечных конкатенированных строк цифр , с . Каждое знаковое цифровое представление имеет оценку ${\displaystyle \mathbb {Z} (b^{\infty })=\mathbb {Z} [1\backslash b]/\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{*}}$ ${\displaystyle d_{1}\ldots d_{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle p\in {\mathcal {D}}^{*}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}^{*}\rightarrow \mathbb {Z} (b^{\infty })}$

${\displaystyle v_{\mathcal {D}}(m)\equiv \sum _{i=1}^{n}f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{-i}{\bmod {1}}}$

Группа круга

Группа окружности — это фактор-группа целых и действительных чисел. Множество всех знаковых цифровых представлений группы окружности задается пространством Кантора , множеством всех бесконечных справа конкатенированных строк цифр . Каждое знаковое цифровое представление имеет оценку ${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle d_{1}d_{2}\ldots }$ ${\displaystyle m\in {\mathcal {D}}^{n}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}^{\mathbb {N} }\rightarrow \mathbb {T} }$

${\displaystyle v_{\mathcal {D}}(m)\equiv \sum _{i=1}^{\infty }f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{-i}{\bmod {1}}}$

Бесконечный ряд всегда сходится .

б-адические целые числа

Множество всех знаковых цифровых представлений -адических целых чисел задается пространством Кантора , множеством всех конкатенированных строк цифр, уходящих влево и бесконечных . Каждое знаковое цифровое представление имеет оценку ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{b}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \ldots d_{1}d_{0}}$ ${\displaystyle m\in {\mathcal {D}}^{n}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}^{\mathbb {N} }\rightarrow \mathbb {Z} _{b}}$

${\displaystyle v_{\mathcal {D}}(m)=\sum _{i=0}^{\infty }f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{i}}$

б-адические соленоиды

Множество всех знаковых цифровых представлений -адических соленоидов задается пространством Кантора , множеством всех дважды бесконечных конкатенированных строк цифр . Каждое знаковое цифровое представление имеет оценку ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mathbb {T} _{b}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle \ldots d_{1}d_{0}d_{-1}\ldots }$ ${\displaystyle m\in {\mathcal {D}}^{n}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}^{\mathbb {Z} }\rightarrow \mathbb {T} _{b}}$

${\displaystyle v_{\mathcal {D}}(m)=\sum _{i=-\infty }^{\infty }f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{i}}$

В письменной и устной речи

Индоарийские языки

Устные и письменные формы чисел в индоарийских языках используют отрицательное числительное (например, «un» на хинди и бенгали , «un» или «unna» на пенджаби , «ekon» на маратхи ) для чисел от 11 до 90, которые заканчиваются на девять. Числа, за которыми следуют их названия, показаны ниже для пенджаби (префикс «ik» означает «один»): ^[8]

• 19 унни, 20 вих, 21 икки
• 29 унатти, 30 тих, 31 икатти
• 39 унтали, 40 чали, 41 иктали
• 49 унанджа, 50 панджа, 51 икванджа
• 59 унахат, 60 сатх, 61 икахат
• 69 унаттар, 70 саттар, 71 ихаттар
• 79 унаси, 80 асси, 81 икиаси
• 89 унанве, 90 наббе, 91 икиннавен.

Аналогично в языке сесото отрицательные числительные используются для образования цифр 8 и 9.

• 8 робели (/Ро-бэй-ди/) означает «сломать два», т.е. два пальца вниз
• 9 робонг (/Ро-бонг/) означает «сломать один», т.е. один палец вниз

Классическая латынь

В классической латыни [ ^9] целые числа 18 и 19 даже не имели устной или письменной формы, включая соответствующие части для «восьмерки» или «девятки» на практике — несмотря на то, что они существовали. Вместо этого в классической латыни

• 18 = duodēvīgintī («два из двадцати»), (IIXX или XIIX),
• 19 = ūndēvīgintī («один, взятый из двадцати»), (IXX или XIX)
• 20 = вигинти («двадцать»), (ХХ).

Для будущих целых чисел [28, 29, 38, 39, ..., 88, 89] аддитивная форма в языке была гораздо более распространена, однако для перечисленных чисел предпочтительнее была указанная выше форма. Поэтому, приближаясь к тридцати, числа выражались как: ^[10]

• 28 = duodētrīgintā («два из тридцати»), реже также vīgintī octō / octō et vīgintī («двадцать восемь / восемь и двадцать»), (IIXXX или XXIX против XXVIII, последний был полностью вытеснен.)
• 29 = ūndētrīgintā («один, взятый из тридцати»), хотя менее предпочтительная форма также была в их распоряжении.

Это одно из основных оснований рассуждений современных историков, объясняющее, почему субтрактивные I- и II- были так распространены в этом диапазоне количественных числительных по сравнению с другими диапазонами. Числительные 98 и 99 также могли быть выражены в обеих формах, однако «от двух до ста» могло звучать немного странно — явным доказательством этого является редкое появление этих чисел, записанных в субтрактивной форме в подлинных источниках.

Финский язык

Есть еще один язык, имеющий эту особенность (пока только в следах), однако, все еще активно используемый сегодня. Это финский язык , где (прописанные) цифры используются таким образом, если встречается цифра 8 или 9. Схема такая: ^[11]

• 1 = «yksi» (Примечание: yhd- или yht- в основном, когда нужно отклонить; например, «yhdessä» = «вместе, как одно [сущность]»)
• 2 = «какси» (также обратите внимание: кахде-, кахте- при отклонении)
• 3 = "колме"
• 4 = "нелья"

...

• 7 = "seitsemän"
• 8 = "ках(д)ексан" (осталось два [чтобы до него дойти])
• 9 = "yh(d)eksän" (один остался [чтобы он дошел])
• 10 = "кюмменен" (десять)

Приведенный выше список не является особым случаем, следовательно, он появляется и в более крупных количественных числительных, например:

• 399 = "kolmesataayhdeksänkymmentäyhdeksän"

Подчеркивание этих признаков сохраняется даже в самых кратких разговорных формах числительных:

• 1 = "гг"
• 2 = "каа"
• 3 = "ку"

...

• 7 = "сейска"
• 8 = "каси"
• 9 = "иси"
• 10 = "кимппи"

Однако это явление не оказывает никакого влияния на письменность цифр, финны используют стандартную западно-арабскую десятичную систему счисления.

Отсчет времени

В английском языке принято называть время, например, «seven to three», «to», выполняя отрицание.

Другие системы

Существуют и другие знаковые цифровые основания, такие как основание . Ярким примером этого является кодирование Бута , в котором цифра установлена ​​с помощью и , но которое использует основание . Стандартная двоичная система счисления будет использовать только цифры значения . ${\displaystyle b\neq b_{+}+b_{-}+1}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}=\lbrace {\bar {1}},0,1\rbrace }$ ${\displaystyle b_{+}=1}$ ${\displaystyle b_{-}=1}$ ${\displaystyle b=2<3=b_{+}+b_{-}+1}$ ${\displaystyle \lbrace 0,1\rbrace }$

Обратите внимание, что нестандартные знаковые цифровые представления не являются уникальными. Например:

${\displaystyle 0111_{\mathcal {D}}=4+2+1=7}$

${\displaystyle 10{\bar {1}}1_{\mathcal {D}}=8-2+1=7}$

${\displaystyle 1{\bar {1}}11_{\mathcal {D}}=8-4+2+1=7}$

${\displaystyle 100{\bar {1}}_{\mathcal {D}}=8-1=7}$

Несмежная форма ( NAF) кодирования Бута гарантирует уникальное представление для каждого целочисленного значения. Однако это применимо только к целочисленным значениям. Например, рассмотрим следующие повторяющиеся двоичные числа в NAF,

${\displaystyle {\frac {2}{3}}=0.{\overline {10}}_{\mathcal {D}}=1.{\overline {0{\bar {1}}}}_{\mathcal {D}}}$

Смотрите также

• Сбалансированный троичный
• Отрицательная база
• Избыточное двоичное представление

Примечания и ссылки

1. Дхананджай Фатак, И. Корен (1994) Гибридные системы знаковых цифр: унифицированная структура для избыточных представлений чисел с ограниченными цепями распространения переноса
2. Огюстен-Луи Коши (16 ноября 1840 г.) «Sur les moyens d'eviter les erreurs dans les Calculs numerique», Comptes rendus 11:789. Также найден в комплектах Oevres Ser. 1, том. 5, стр. 434–42.
3. Каджори, Флориан (1993) [1928-1929]. История математических обозначений . Dover Publications . стр. 57. ISBN 978-0486677668.
4. Колсон, Джон (1726). «Краткое изложение отрицательно-утвердительной арифметики, г-н Джон Колсон, член Королевского общества» Philosophical Transactions (1683-1775) . 34 : 161–173. ISSN  0260-7085. JSTOR  103469.
5. Эдуард Селлинг (1887) Eine neue Rechenmachine , стр. 15–18, Берлин
6. Рудольф Мемке (1902) «Numerisches Rechen», §4 Beschränkung in den verwendeten Ziffern, энциклопедия Кляйна , I-2, стр. 944.
7. Хиршфельд, JWP (1979). Проективные геометрии над конечными полями . Oxford University Press . стр. 8. ISBN 978-0-19-850295-1.
8. Цифры на пенджаби из Quizlet
9. Дж. Мэтью Харрингтон (2016) Синопсис древней латинской грамматики
10. "duodetriginta", Викисловарь, бесплатный словарь , 25 марта 2020 г. , получено 7 апреля 2024 г.
11. "Киелитоимистон санакирья". www.kielitoimistonsanakirja.fi . Проверено 7 апреля 2024 г.

• Дж. П. Балантин (1925) «Цифра для отрицательной единицы», American Mathematical Monthly 32:302.
• Луй Хан, Дондонг Чен, Сок-Бум Ко, Хан А. Вахид «Неспекулятивный десятичный знаковый сумматор» с кафедры электротехники и вычислительной техники, Университет Саскачевана .