В логике трехзначная логика ( также троичная логика , трехвалентная , троичная или трехзначная , [1] иногда сокращенно 3VL ) — это любая из нескольких многозначных логических систем, в которых есть три значения истинности , обозначающие истину , ложь и некоторые третье значение. Это контрастирует с более широко известными бивалентными логиками (такими как классическая сентенциальная или булева логика ), которые предусматривают только истину и ложь .
Эмилю Леону Посту приписывают первое введение дополнительных степеней логической истинности в его теории элементарных предложений 1921 года. [2] Концептуальная форма и основные идеи трехзначной логики были первоначально опубликованы Яном Лукасевичем и Кларенсом Ирвингом Льюисом . Затем они были переформулированы Григоре Константином Моисилом в аксиоматической алгебраической форме, а также распространены на n -значные логики в 1945 году.
Примерно в 1910 году Чарльз Сандерс Пирс определил систему многозначной логики . Он никогда не публиковал это. Фактически, он даже не пронумеровал три страницы заметок, где определял свои трехзначные операторы. [3] Пирс решительно отверг идею, что все предложения должны быть либо истинными, либо ложными; граничные предложения, пишет он, находятся «на границе между Р и не Р». [4] Однако, будучи уверенным в том, что «Триадическая логика универсальна», [5] он также записал, что «Все это очень близко к абсурду». [6] Только в 1966 году, когда Макс Фиш и Этвелл Теркетт начали публиковать то, что они заново открыли в его неопубликованных рукописях, триадические идеи Пирса стали широко известны. [7]
Как и в случае с бивалентной логикой, истинностные значения в троичной логике могут быть представлены в числовом виде с использованием различных представлений троичной системы счисления . Вот несколько наиболее распространенных примеров:
Внутри троичного компьютера троичные значения представлены троичными сигналами .
Эта статья в основном иллюстрирует систему троичной логики высказываний , использующую истинностные значения {ложь, неизвестное, истинное}, и расширяет обычные логические связки на трехвалентный контекст. Также существует троичная логика предикатов ; [ нужна цитация ] они могут иметь прочтение квантора, отличное от классической (бинарной) логики предикатов, а также могут включать альтернативные кванторы.
Булева логика допускает 2 2 = 4 унарных оператора ; добавление третьего значения в троичной логике приводит к появлению 3 3 = 27 различных операторов для одного входного значения. (Это можно прояснить, рассмотрев все возможные таблицы истинности для произвольного унарного оператора. Учитывая два возможных значения TF одного логического входа, существует четыре различных шаблона вывода TT, TF, FT, FF, возникающих в результате действия следующих унарных операторов: для каждого значения: всегда T, Identity, NOT, всегда F. Учитывая три возможных значения троичной переменной, каждый раз три возможных результата унарной операции, существует 27 различных выходных шаблонов: TTT, TTU, TTF, TUT, TUU, TUF, TFT,TFU,TFF, UTT,UTU,UTF, UUT,UUU,UUF, UFT,UFU,UFF, FTT,FTU,FTF, FUT,FUU,FUF, FFT,FFU и FFF.) Аналогично, где логическое значение логика имеет 2 2×2 = 16 различных бинарных операторов (операторов с 2 входами), возможно, троичная логика имеет 3 3×3 = 19 683 таких операторов. Там, где нетривиальные логические операторы могут быть названы ( AND , NAND , OR , NOR , XOR , XNOR ( эквивалентность ) и 4 варианта импликации или неравенства), с шестью тривиальными операторами, учитывающими только 0 или 1 входные данные, неразумно пытаться назовите все возможные тернарные операторы, кроме небольшой части. [11] Так же, как и в бивалентной логике, где не всем операторам даны имена и используются подмножества функционально полных операторов, могут существовать функционально полные множества троичных операторов.
Ниже приведен набор таблиц истинности , показывающий логические операции «сильной логики неопределенности» Стивена Коула Клини и «логики парадокса» Грэма Приста .
В этих таблицах истинности неизвестное состояние можно рассматривать как ни истинное, ни ложное в логике Клини или как истинное и ложное в логике Приста. Разница заключается в определении тавтологии. Там, где единственным назначенным значением истинности логики Клини является T, назначенными значениями истинности логики Приста являются как T, так и U. В логике Клини знание о том, представляет ли какое-либо конкретное неизвестное состояние тайно истинное или ложное в любой момент времени, недоступно. Однако некоторые логические операции могут давать однозначный результат, даже если они используют неизвестный операнд. Например, поскольку true OR true равно true , а true OR false также равно true , то true ORknown также равно true . В этом примере, поскольку любое двухвалентное состояние может лежать в основе неизвестного состояния, и любое состояние также дает один и тот же результат, истинные результаты во всех трех случаях.
Если числовые значения, например, сбалансированные троичные значения, присвоены false , неизвестному и истинному , так что false меньше неизвестного , а неизвестное меньше истинного , то A AND B AND C... = MIN(A, B, C .. .) и A OR B OR C ... = MAX(A, B, C...).
Материальное значение логики Клини можно определить как:
, и его таблица истинности равна
что отличается от логики Лукасевича (описанной ниже).
В логике Клини нет тавтологии (действительных формул), поскольку всякий раз, когда всем атомарным компонентам правильно составленной формулы присваивается значение «Неизвестно», сама формула также должна иметь значение «Неизвестно». (И единственным обозначенным значением истинности для логики Клини является «Истина».) Однако отсутствие действительных формул не означает, что в ней отсутствуют действительные аргументы и/или правила вывода. Аргумент является семантически действительным в логике Клини, если всякий раз (для любой интерпретации/модели) все его посылки истинны, вывод также должен быть истинным. ( Логика парадокса (ЛП) имеет те же таблицы истинности, что и логика Клини, но имеет два назначенных значения истинности вместо одного; это: Истина и Оба (аналог Неизвестного), так что ЛП действительно имеет тавтологию, но имеет меньше действительных правил вывода). [12]
Лукасевич Ł3 имеет те же таблицы для И, ИЛИ и НЕ, что и логика Клини, приведенная выше, но отличается определением импликации тем, что «неизвестное подразумевает неизвестное» истинно . Этот раздел следует за презентацией главы Малиновского «Справочника по истории логики» , том 8. [13]
Материальным смыслом таблицы истинности логики Лукасевича является
Фактически, используя импликацию и отрицание Лукасевича, другие обычные связки можно получить как:
Также возможно вывести несколько других полезных унарных операторов (впервые выведенных Тарским в 1921 году ) :
Они имеют следующие таблицы истинности:
M читается как «это не ложно, что...» или в (неудачной) попытке Тарского-Лукасевича аксиоматизировать модальную логику с использованием трехзначной логики, «возможно, что...» L читается «это правда, что..." или "необходимо, чтобы..." Наконец читается "неизвестно, что..." или "возможно, что..."
В Ł3 Лукасевича обозначенное значение — «Истина», а это означает, что только предложение, имеющее это значение повсюду, считается тавтологией . Например, A → A и A ↔ A являются тавтологиями в Ł3, а также в классической логике. Не все тавтологии классической логики доводятся до Ł3 «как есть». Например, закон исключенного третьего A ∨ ¬ A и закон непротиворечия ¬ ( A ∧ ¬ A ) не являются тавтологиями в Ł3. Однако, используя определенный выше оператор , можно сформулировать тавтологии, являющиеся их аналогами:
Таблица истинности материального значения R-mingle 3 (RM3) такова:
Определяющей характеристикой RM3 является отсутствие аксиомы ослабления:
что по сопряженности эквивалентно проекции произведения:
RM3 — недекартова симметричная моноидальная замкнутая категория; произведение, которое слева сопряжено с импликацией, не имеет действительных проекций и имеет U как тождество моноида. Эта логика эквивалентна «идеальной» паранепротиворечивой логике , которая также подчиняется контрапозитиву.
Логика здесь и там ( HT , также называемая логикой Сметанова SmT или логикой Гёделя G3), введенная Хейтингом в 1930 году [14] в качестве модели для изучения интуиционистской логики , представляет собой трёхзначную промежуточную логику , где третье значение истинности NF (не ложное) имеет семантику предложения, ложность которого можно доказать интуиционистски, но не имеет интуиционистского доказательства правильности.
Его можно определить либо путем добавления одной из двух эквивалентных аксиом (¬ q → p ) → ((( p → q ) → p ) → p ) или, что эквивалентно, p ∨(¬ q )∨( p → q ) к аксиомам интуиционистской логики или явных таблиц истинности для ее операций. В частности, конъюнкция и дизъюнкция такие же, как в логике Клини и Лукасевича, а отрицание другое.
HT-логика — это уникальный коатом в решетке промежуточных логик. В этом смысле ее можно рассматривать как «вторую по силе» промежуточную логику после классической логики.
Эта логика также известна как слабая форма трехзначной логики Клини.
Некоторые модульные алгебры 3VL были введены совсем недавно, мотивированные скорее схемными проблемами, чем философскими проблемами: [15]
Язык структурных запросов базы данных SQL реализует троичную логику как средство обработки сравнений с содержимым поля NULL . Изначально NULL предназначался для использования в качестве контрольного значения в SQL для представления отсутствующих данных в базе данных, т.е. предполагалось, что фактическое значение существует, но в настоящее время это значение не записано в базе данных. SQL использует общий фрагмент логики Kleene K3, ограниченный таблицами AND, OR и NOT.
В SQL промежуточное значение интерпретируется как НЕИЗВЕСТНО. Явное сравнение с NULL, в том числе с другим NULL, дает UNKNOWN. Однако от этого выбора семантики отказываются для некоторых операций над множествами, например UNION или INTERSECT, где значения NULL рассматриваются как равные друг другу. Критики утверждают, что эта несогласованность лишает SQL интуитивной семантики при обработке NULL. [17] Стандарт SQL определяет дополнительную функцию под названием F571, которая добавляет некоторые унарные операторы, среди которых соответствует IS UNKNOWNоператор Лукасевич I в этой статье. Добавление IS UNKNOWNк другим операторам трехзначной логики SQL делает трехзначную логику SQL функционально завершенной , [18] это означает, что ее логические операторы могут выражать (в комбинации) любую мыслимую трехзначную логическую функцию.
Триадическая логика универсальна.
Но диадическая логика не является абсолютно ложной.
