stringtranslate.com

Ожидаемое значение (квантовая механика)

В квантовой механике ожидаемое значение — это вероятностное ожидаемое значение результата (измерения) эксперимента. Его можно рассматривать как среднее значение всех возможных результатов измерения, взвешенных по их правдоподобию, и как таковое оно не является наиболее вероятным значением измерения; на самом деле ожидаемое значение может иметь нулевую вероятность появления (например, измерения, которые могут давать только целые значения, могут иметь нецелое среднее значение). Это фундаментальное понятие во всех областях квантовой физики .

Оперативное определение

Рассмотрим оператор . Тогда ожидаемое значение находится в нотации Дирака с нормализованным вектором состояния.

Формализм в квантовой механике

В квантовой теории экспериментальная установка описывается наблюдаемой величиной , которая должна быть измерена, и состоянием системы. Ожидаемое значение в состоянии обозначается как .

Математически, является самосопряженным оператором в сепарабельном комплексном гильбертовом пространстве . В наиболее часто используемом случае в квантовой механике является чистым состоянием , описываемым нормализованным вектором [a] в гильбертовом пространстве. Ожидаемое значение в состоянии определяется как

Если рассматривается динамика , то либо вектор , либо оператор считаются зависящими от времени, в зависимости от того, используется ли картина Шредингера или картина Гейзенберга . Однако эволюция ожидаемого значения не зависит от этого выбора.

Если имеет полный набор собственных векторов с собственными значениями , то ( 1 ) можно выразить как [1]

Это выражение похоже на среднее арифметическое и иллюстрирует физический смысл математического формализма: Собственные значения являются возможными результатами эксперимента, [b] , а их соответствующий коэффициент является вероятностью того, что этот результат произойдет; его часто называют вероятностью перехода .

Особенно простой случай возникает, когда является проекцией , и, таким образом, имеет только собственные значения 0 и 1. Это физически соответствует типу эксперимента "да-нет". В этом случае ожидаемое значение является вероятностью того, что эксперимент даст результат "1", и его можно вычислить как

В квантовой теории оператор также может иметь недискретный спектр, например, оператор положения в квантовой механике. Этот оператор имеет полностью непрерывный спектр с собственными значениями и собственными векторами, зависящими от непрерывного параметра, . В частности, оператор действует на пространственный вектор как . [2] В этом случае вектор может быть записан как комплекснозначная функция на спектре (обычно вещественной прямой). Формально это достигается путем проецирования вектора состояния на собственные значения оператора, как в дискретном случае . Бывает, что собственные векторы оператора положения образуют полный базис для векторного пространства состояний и, следовательно, подчиняются соотношению полноты в квантовой механике:

Вышеизложенное можно использовать для вывода общего интегрального выражения для ожидаемого значения ( 4 ), вставляя тождества в векторное выражение ожидаемого значения, а затем расширяя его по позиционному базису:

Где отношение ортонормированности базисных векторов положения , сводит двойной интеграл к одинарному интегралу. Последняя строка использует модуль комплекснозначной функции для замены на , что является обычной заменой в квантово-механических интегралах.

Тогда ожидаемое значение может быть выражено, где x не ограничен, в виде формулы

Аналогичная формула справедлива для оператора импульса в системах, где он имеет непрерывный спектр.

Все приведенные выше формулы справедливы только для чистых состояний. В термодинамике и квантовой оптике , в частности , важны также смешанные состояния ; они описываются положительным оператором следового класса , статистическим оператором или матрицей плотности . Тогда ожидаемое значение можно получить как

Общая формулировка

В общем случае квантовые состояния описываются положительными нормализованными линейными функционалами на множестве наблюдаемых, математически часто принимаемом за C*-алгебру . Тогда ожидаемое значение наблюдаемой задается как

Если алгебра наблюдаемых действует неприводимо на гильбертовом пространстве , и если является нормальным функционалом , то есть непрерывным в сверхслабой топологии , то ее можно записать как с положительным оператором следового класса следа 1. Это дает формулу ( 5 ) выше. В случае чистого состояния является проекцией на единичный вектор . Тогда , что дает формулу ( 1 ) выше.

предполагается, что это самосопряженный оператор. В общем случае его спектр не будет ни полностью дискретным, ни полностью непрерывным. Тем не менее, можно записать в спектральном разложении , с проекционно-значной мерой . Для ожидаемого значения в чистом состоянии это означает , что можно рассматривать как общее обобщение формул ( 2 ) и ( 4 ) выше.

В нерелятивистских теориях конечного числа частиц (квантовая механика, в строгом смысле) рассматриваемые состояния, как правило, являются нормальными [ необходимо разъяснение ] . Однако в других областях квантовой теории используются и ненормальные состояния: они появляются, например, в виде состояний КМС в квантовой статистической механике бесконечно протяженных сред [3] и как заряженные состояния в квантовой теории поля [4] . В этих случаях математическое ожидание определяется только более общей формулой ( 6 ).

Пример в конфигурационном пространстве

В качестве примера рассмотрим квантово-механическую частицу в одном пространственном измерении в представлении конфигурационного пространства . Здесь гильбертово пространство — это , пространство квадратично-интегрируемых функций на действительной прямой. Векторы представлены функциями , называемыми волновыми функциями . Скалярное произведение задается как . Волновые функции имеют прямую интерпретацию как распределение вероятностей:

дает вероятность нахождения частицы в бесконечно малом интервале длины около некоторой точки .

В качестве наблюдаемой рассмотрим оператор положения , который действует на волновые функции следующим образом:

Ожидаемое значение или среднее значение измерений, выполненных на очень большом количестве идентичных независимых систем, будет определяться выражением

Ожидаемое значение существует только в том случае, если интеграл сходится, что не относится ко всем векторам . Это происходит потому, что оператор положения не ограничен и должен выбираться из области определения .

В общем случае ожидание любой наблюдаемой величины можно вычислить, заменив ее соответствующим оператором. Например, для вычисления среднего импульса используется оператор импульса в конфигурационном пространстве , . Явно его ожидание равно

Не все операторы в целом обеспечивают измеримое значение. Оператор, который имеет чистое действительное математическое ожидание, называется наблюдаемым , и его значение может быть непосредственно измерено в эксперименте.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ В этой статье всегда предполагается норма 1. Для ненормализованных векторов необходимо заменить на во всех формулах.
  2. ^ Здесь предполагается, что собственные значения невырождены.

Ссылки

  1. ^ Вероятность, ожидаемое значение и неопределенность
  2. ^ Коэн-Таннуджи, Клод, 1933- (июнь 2020 г.). Квантовая механика. Том 2. Диу, Бернар, Лалоэ, Франк, 1940-, Хемли, Сьюзан Рид, Островски, Николь, 1943-, Островский, Д.Б. Вайнхайм. ISBN 978-3-527-82272-0. OCLC  1159410161.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link) CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
  3. ^ Браттели, Ола ; Робинсон, Дерек В. (1987). Операторные алгебры и квантовая статистическая механика 1. Springer. ISBN 978-3-540-17093-8. 2-е издание.
  4. ^ Хааг, Рудольф (1996). Локальная квантовая физика . Springer. стр. Глава IV. ISBN 3-540-61451-6.

Дальнейшее чтение

Математическое ожидание, в частности представленное в разделе «Формализм в квантовой механике», рассматривается в большинстве элементарных учебников по квантовой механике.

Для обсуждения концептуальных аспектов см.: