Золотая спираль

Самоподобная кривая, связанная с золотым сечением

Золотые спирали самоподобны . Форма бесконечно повторяется при увеличении.

В геометрии золотая спираль — это логарифмическая спираль , коэффициент роста которой равен φ , золотому сечению . ^[1] То есть золотая спираль становится шире (или дальше от своего начала) в φ раз на каждую четверть оборота.

Приближения золотой спирали

Приблизительные и настоящие золотые спирали: зеленая спираль состоит из четвертей круга, касающихся внутренней части каждого квадрата, а красная спираль представляет собой золотую спираль, особый тип логарифмической спирали . Перекрывающиеся части отображаются желтым цветом . Длина стороны большего квадрата до следующего меньшего квадрата находится в золотом сечении . Для квадрата со стороной 1 следующий меньший квадрат имеет ширину 1/φ . Следующая ширина — 1/φ² , затем 1/φ³ и так далее.

Есть несколько сопоставимых спиралей, которые приближаются к золотой спирали, но не совсем равны ей. ^[2]

Например, золотую спираль можно аппроксимировать, начав с прямоугольника , для которого соотношение ее длины и ширины является золотым сечением. Затем этот прямоугольник можно разделить на квадрат и аналогичный ему прямоугольник, а затем этот прямоугольник можно разделить таким же образом. Продолжив этот процесс произвольное количество шагов, результатом будет почти полное разбиение прямоугольника на квадраты. Углы этих квадратов можно соединить четвертькругами . Результат, хотя и не является истинной логарифмической спиралью , очень похож на золотую спираль. ^[2]

Другое приближение — спираль Фибоначчи , которая устроена несколько иначе. Спираль Фибоначчи начинается с прямоугольника, разделенного на 2 квадрата. На каждом этапе к прямоугольнику добавляется квадрат длиной с самую длинную сторону прямоугольника. Поскольку соотношение между последовательными числами Фибоначчи приближается к золотому сечению по мере того, как числа Фибоначчи приближаются к бесконечности, эта спираль становится более похожей на предыдущее приближение, чем больше добавляется квадратов, как показано на изображении.

Спирали в природе

Иногда ошибочно утверждают, что спиральные галактики и оболочки наутилусов расширяются по образцу золотой спирали и, следовательно, связаны как с φ , так и с рядом Фибоначчи. ^[3] На самом деле, многие раковины моллюсков , включая раковины наутилусов, демонстрируют логарифмический спиральный рост, но под разными углами , обычно заметно отличающимися от углов золотой спирали. ^{[4] [5] [6]} Хотя спиральные галактики часто моделируются как логарифмические спирали, спирали Архимеда или гиперболические спирали , их углы наклона меняются в зависимости от расстояния от центра галактики, в отличие от логарифмических спиралей (для которых этот угол не меняется). , а также в отличие от других математических спиралей, используемых для их моделирования. ^[7] Филлотаксис , образец роста растений, в некоторых случаях связан с золотым сечением, поскольку он включает в себя последовательные листья или лепестки, разделенные золотым углом . Хотя иногда это может быть связано со спиральными формами, например, в головках семян подсолнечника , ^[8] они более тесно связаны со спиралями Ферма, чем с логарифмическими спиралями. ^[9]

Математика

Спираль Фибоначчи аппроксимирует золотую спираль, используя дуги четверти круга, вписанные в квадраты, полученные из последовательности Фибоначчи .

Золотая спираль с начальным радиусом 1 является местом расположения точек полярных координат, удовлетворяющих ${\displaystyle (r,\theta )}$

$${\displaystyle r=\varphi ^{2\theta /\pi },}$$

${\displaystyle \varphi }$

Полярное уравнение для золотой спирали такое же, как и для других логарифмических спиралей , но с особым значением коэффициента роста b : ^[10]

$${\displaystyle r=ae^{b\theta }}$$

$${\displaystyle \theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),}$$

eнатуральных логарифмовabθпрямой угол

$${\displaystyle e^{b\theta _{\mathrm {right} }}=\varphi .}$$

Следовательно, b определяется выражением

$${\displaystyle b={\ln {\varphi } \over \theta _{\mathrm {right} }}.}$$

Спираль Лукаса приближается к золотой спирали, когда ее члены большие, но не когда они малы. Включено 10 терминов от 2 до 76.

Числовое значение b зависит от того, измеряется ли прямой угол как 90 градусов или как радианы ; а поскольку угол может быть в любом направлении, проще всего написать формулу для абсолютного значения b (т. е. b также может быть отрицательным значением этого значения): ${\displaystyle \textstyle {\frac {\pi }{2}}}$

$${\displaystyle |b|={\ln {\varphi } \over 90}\doteq 0.0053468}$$

θ

$${\displaystyle |b|={\ln {\varphi } \over \pi /2}\doteq 0.3063489}$$

θ^[11]

Альтернативная формула для логарифмической и золотой спирали: ^[12]

$${\displaystyle r=ac^{\theta }}$$

c

$${\displaystyle c=e^{b}}$$

c

$${\displaystyle c=\varphi ^{\frac {1}{90}}\doteq 1.0053611}$$

θ

$${\displaystyle c=\varphi ^{\frac {2}{\pi }}\doteq 1.358456}$$

θ^[13]

По отношению к логарифмическим спиралям золотая спираль обладает тем отличительным свойством, что для четырех коллинеарных спиральных точек A , B , C , D , принадлежащих аргументам θ , θ + π , θ + 2π , θ + 3π, точка C является проективно гармонически сопряженной B относительно A , D , т.е. перекрестное отношение ( A , D ; B , C ) имеет сингулярное значение −1. Золотая спираль — единственная логарифмическая спираль с ( A , D ; B , C ) = ( A , D ; C , B ).

Полярный склон

Определение угла уклона и сектора

В полярном уравнении логарифмической спирали :

$${\displaystyle r=ae^{b\theta }}$$

b ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle \tan \alpha =b.}$$

В золотой спирали, будучи постоянным и равным (для θ в радианах, как определено выше), угол наклона равен ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle |b|={\ln {\varphi } \over \pi /2}}$ ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle \alpha =\arctan(|b|)=\arctan \left({\ln {\varphi } \over \pi /2}\right),}$$

$${\displaystyle \alpha \doteq 17.03239113}$$

$${\displaystyle \alpha \doteq 0.2972713047}$$

^[14]

Его дополнительный угол

$${\displaystyle \beta =\pi /2-\alpha \doteq 1.273525022}$$

$${\displaystyle \beta =90-\alpha \doteq 73}$$

Смотрите также

• Число Фибоначчи
• Золотой угол
• Золотое сечение
• Золотой прямоугольник
• Список спиралей
• Логарифмическая спираль

Рекомендации

1. Чанг, Ю-сун, «Золотая спираль, архивировано 28 июля 2019 г. в Wayback Machine », Демонстрационный проект Wolfram .
2. Мэдден, Чарльз Б. (2005) [1999]. Фибо и Фи в музыке: музыкальная форма золотой пропорции. Высокое Искусство Пресс. стр. 14–16. ISBN 978-0967172767.
3. Например, эти книги: Ян К. Бойенс (2009). Химия из первых принципов. Спрингер. п. 261. ИСБН 9781402085451., Рассел Хауэлл и Джеймс Брэдли (2011). Математика глазами веры. ХарперКоллинз. п. 162. ИСБН 978-0062024473., Чарльз Сейф (2000). Ноль: Биография опасной идеи . Пингвин. п. 40. ИСБН 978-0140296471., Сандра Кинс (2008). Морская магия: соединение с энергией океана. Ллевеллин по всему миру. п. 100. ИСБН 9780738713533., Брюс Бургер (1998). Эзотерическая анатомия: тело как сознание. Североатлантические книги. п. 144. ИСБН 9781556432248.
4. Дэвид Дарлинг (2004). Универсальная книга по математике: от абракадабры до парадоксов Зенона. Джон Уайли и сыновья. п. 188. ИСБН 9780471270478.
5. Девлин, Кейт (май 2007 г.). «Миф, который не исчезнет». Архивировано из оригинала 12 ноября 2020 г. Проверено 9 декабря 2013 г.
6. Петерсон, Иварс (1 апреля 2005 г.). «Спирали морских ракушек». Новости науки . Общество науки и общественности. Архивировано из оригинала 3 октября 2012 г. Проверено 8 октября 2011 г.
7. Савченко, С.С.; Решетников, В.П. (сентябрь 2013 г.). «Изменения угла наклона спиральных галактик». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 436 (2): 1074–1083. arXiv : 1309.4308 . дои : 10.1093/mnras/stt1627 .
8. Ридли, JN (февраль 1982 г.). «Эффективность упаковки головок подсолнечника». Математические биологические науки . 58 (1): 129–139. дои : 10.1016/0025-5564(82)90056-6.
9. Фогель, Хельмут (июнь 1979 г.). «Лучший способ сделать головку подсолнуха». Математические биологические науки . 44 (3–4): 179–189. дои : 10.1016/0025-5564(79)90080-4.
10. Прия Хеменвей (2005). Божественная пропорция: Φ Фи в искусстве, природе и науке . Sterling Publishing Co., стр. 127–129. ISBN 1-4027-3522-7.
11. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A212225». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
12. Клаус Майнцер (1996). Симметрии природы: Справочник по философии природы и науки. Вальтер де Грютер. стр. 45, 199–200. ISBN 3-11-012990-6.
13. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A212224». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
14. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A335605». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.