Электронная структура полосы

В физике твердого тела электронная зонная структура (или просто зонная структура ) твердого тела описывает диапазон уровней энергии , которые электроны могут иметь внутри него, а также диапазоны энергии, которые они могут не иметь (называемые запрещенными зонами ) .

Теория зон выводит эти зоны и запрещенные зоны, исследуя разрешенные квантово-механические волновые функции для электрона в большой периодической решетке атомов или молекул. Теория зон успешно использовалась для объяснения многих физических свойств твердых тел, таких как электрическое сопротивление и оптическое поглощение , и формирует основу понимания всех твердотельных устройств (транзисторов, солнечных элементов и т. д.).

Почему возникают полосы и запрещенные зоны

Анимация образования зон и того, как электроны заполняют их в металле и изоляторе

Образование электронных зон и запрещенных зон можно проиллюстрировать двумя дополнительными моделями для электронов в твердых телах. ^[1]^{: 161} Первая из них — это модель почти свободных электронов , в которой предполагается, что электроны движутся почти свободно внутри материала. В этой модели электронные состояния напоминают плоские волны свободных электронов и лишь слегка возмущаются кристаллической решеткой. Эта модель объясняет происхождение электронного дисперсионного соотношения, но объяснение запрещенных зон в этой модели является тонким. ^[2]^{: 121}

Вторая модель начинается с противоположного предела, в котором электроны тесно связаны с отдельными атомами. Электроны одного изолированного атома занимают атомные орбитали с дискретными уровнями энергии . Если два атома сближаются достаточно близко, так что их атомные орбитали перекрываются, электроны могут туннелировать между атомами. Это туннелирование разделяет ( гибридизирует ) атомные орбитали на молекулярные орбитали с различными энергиями. ^[2]^{: 117–122}

Аналогично, если большое количество $N$ одинаковых атомов объединяются, образуя твердое тело, например кристаллическую решетку , атомные орбитали атомов перекрываются с близлежащими орбиталями. ^[3] Каждый дискретный уровень энергии разделяется на $N$ уровней, каждый с различной энергией. Поскольку количество атомов в макроскопическом куске твердого тела является очень большим числом ( $N$ ≈ 10 ²² ), количество орбиталей, которые гибридизируются друг с другом, очень велико. По этой причине соседние уровни очень близко расположены по энергии (порядка10−22 эВ ), ^[4]^[5]^[^6] и могут рассматриваться как образующие континуум, энергетическую зону.

Такое образование полос в основном характерно для внешних электронов ( валентных электронов ) в атоме, которые участвуют в химической связи и электропроводности . Внутренние электронные орбитали не перекрываются в значительной степени, поэтому их полосы очень узкие.

Зоны запрещения по сути являются остаточными диапазонами энергии, не охваченными ни одной зоной, в результате конечной ширины энергетических зон. Зоны имеют разную ширину, которая зависит от степени перекрытия атомных орбиталей , из которых они возникают. Две соседние зоны могут быть просто недостаточно широкими, чтобы полностью охватить диапазон энергии. Например, зоны, связанные с основными орбиталями (такими как 1s-электроны ), чрезвычайно узкие из-за небольшого перекрытия между соседними атомами. В результате между основными зонами, как правило, имеются большие зоны запрещения. Более высокие зоны включают сравнительно большие орбитали с большим перекрытием, становясь все шире при более высоких энергиях, так что при более высоких энергиях нет запрещенных зон.

Основные понятия

Предположения и ограничения теории зонной структуры

Зонная теория — это лишь приближение к квантовому состоянию твердого тела, которое применяется к твердым телам, состоящим из множества идентичных атомов или молекул, связанных вместе. Вот предположения, необходимые для того, чтобы зонная теория была верна:

Система бесконечного размера : Чтобы полосы были непрерывными, кусок материала должен состоять из большого числа атомов. Поскольку макроскопический кусок материала содержит порядка 1022 атомов ^, это не является серьезным ограничением; теория зон применима даже к транзисторам микроскопического размера в интегральных схемах . С модификациями концепция зонной структуры может быть также распространена на системы, которые являются «большими» только по некоторым измерениям, например, двумерные электронные системы .
Однородная система : полосовая структура является внутренним свойством материала, которое предполагает, что материал однороден. На практике это означает, что химический состав материала должен быть однородным по всей детали.
Невзаимодействие : Зонная структура описывает «отдельные электронные состояния». Существование этих состояний предполагает, что электроны движутся в статическом потенциале без динамического взаимодействия с колебаниями решетки , другими электронами, фотонами и т. д.

Вышеуказанные предположения нарушаются в ряде важных практических ситуаций, и использование зонной структуры требует тщательного контроля ограничений зонной теории:

Неоднородности и интерфейсы: вблизи поверхностей, соединений и других неоднородностей нарушается объемная зонная структура. Существуют не только локальные мелкомасштабные нарушения (например, поверхностные состояния или состояния легирующих примесей внутри запрещенной зоны), но и локальные дисбалансы зарядов. Эти дисбалансы зарядов имеют электростатические эффекты, которые глубоко проникают в полупроводники, изоляторы и вакуум (см. легирование , изгиб зон ).
В том же духе большинство электронных эффектов ( емкость , электропроводность , экранирование электрического поля ) связаны с физикой электронов, проходящих через поверхности и/или вблизи интерфейсов. Полное описание этих эффектов в картине зонной структуры требует по крайней мере элементарной модели электрон-электронных взаимодействий (см. пространственный заряд , изгиб зон ).
Малые системы: Для систем, которые малы по всем измерениям (например, малая молекула или квантовая точка ), нет непрерывной зонной структуры. Переход между малыми и большими измерениями — это область мезоскопической физики .
Сильно коррелированные материалы (например, изоляторы Мотта ) просто не могут быть поняты в терминах одноэлектронных состояний. Электронные зонные структуры этих материалов плохо определены (или, по крайней мере, не определены однозначно) и могут не предоставлять полезной информации об их физическом состоянии.

Кристаллическая симметрия и волновые векторы

Рис 2. Зонная структура для Si , Ge , GaAs и InAs, полученная с помощью модели сильной связи. Обратите внимание, что Si и Ge являются материалами с непрямой запрещенной зоной, тогда как GaAs и InAs — с прямой.

Расчеты зонной структуры используют периодическую природу кристаллической решетки, эксплуатируя ее симметрию. Одноэлектронное уравнение Шредингера решается для электрона в решеточно-периодическом потенциале, давая электроны Блоха как решения , где $k$ называется волновым вектором. Для каждого значения $k$ существует несколько решений уравнения Шредингера, обозначенных $n$ , индексом зоны, который просто нумерует энергетические зоны. Каждый из этих энергетических уровней плавно эволюционирует с изменениями $k$ , образуя плавную зону состояний. Для каждой зоны мы можем определить функцию $E$ $n$ $($ $k$ $)$ , которая является дисперсионным соотношением для электронов в этой зоне. $\psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} ),$

Волновой вектор принимает любое значение внутри зоны Бриллюэна , которая является многогранником в пространстве волновых векторов ( обратной решетки ), которое связано с решеткой кристалла. Волновые векторы за пределами зоны Бриллюэна просто соответствуют состояниям, которые физически идентичны состояниям внутри зоны Бриллюэна. Особые высокосимметричные точки/линии в зоне Бриллюэна обозначаются как Γ, Δ, Λ, Σ (см. рис. 1).

Сложно визуализировать форму зоны как функцию волнового вектора, так как это потребовало бы построения графика в четырехмерном пространстве, $E$ против $k x$ , $k y$ , $k z$ . В научной литературе часто встречаются графики зонной структуры , которые показывают значения $E n (k)$ для значений $k$ вдоль прямых линий, соединяющих точки симметрии, часто обозначаемых как Δ, Λ, Σ или [100], [111] и [110] соответственно. ^[7]^{[8] Другой метод визуализации зонной структуры заключается в построении}изоповерхности постоянной энергии в пространстве волновых векторов, показывающей все состояния с энергией, равной определенному значению. Изоповерхность состояний с энергией, равной уровню Ферми, известна как поверхность Ферми .

Энергетические запрещенные зоны можно классифицировать с помощью волновых векторов состояний, окружающих запрещенную зону:

Прямая запрещенная зона : состояние с самой низкой энергией выше запрещенной зоны имеет такое же значение $k$ , как и состояние с самой высокой энергией ниже запрещенной зоны.
Непрямая запрещенная зона : ближайшие состояния выше и ниже запрещенной зоны имеют разное значение $k$ .

Асимметрия: зонные структуры в некристаллических твердых телах

Хотя электронные зонные структуры обычно связаны с кристаллическими материалами, квазикристаллические и аморфные твердые тела также могут иметь запрещенные зоны. Их несколько сложнее изучать теоретически, поскольку они не обладают простой симметрией кристалла, и обычно невозможно определить точное дисперсионное соотношение. В результате практически все существующие теоретические работы по электронной зонной структуре твердых тел были сосредоточены на кристаллических материалах.

Плотность состояний

Функция плотности состояний $g (E)$ определяется как число электронных состояний на единицу объема, на единицу энергии, для энергий электронов вблизи $E.$

Функция плотности состояний важна для расчетов эффектов, основанных на теории зон. В Золотом правиле Ферми , расчете скорости оптического поглощения , она дает как число возбудимых электронов, так и число конечных состояний для электрона. Она появляется в расчетах электропроводности , где она дает число подвижных состояний, и в расчетах скоростей рассеяния электронов, где она дает число конечных состояний после рассеяния. ^{[ необходима цитата ]}

Для энергий внутри запрещенной зоны $g (E) = 0$ .

Заполнение полос

При термодинамическом равновесии вероятность заполнения состояния энергии $E$ электроном определяется распределением Ферми–Дирака , термодинамическим распределением, учитывающим принцип исключения Паули : где: $f(E)={\frac {1}{1+e^{{(E-\mu )}/{k_{\text{B}}T}}}}$

$k B T$ — произведение постоянной Больцмана и температуры , а
$µ$ — полный химический потенциал электронов, или уровень Ферми (в физике полупроводников эта величина чаще обозначается $E F$ ). Уровень Ферми твердого тела напрямую связан с напряжением на этом теле, измеряемым вольтметром. Традиционно на графиках зонной структуры уровень Ферми принимается за ноль энергии (произвольный выбор).

Плотность электронов в материале — это просто интеграл распределения Ферми–Дирака, умноженный на плотность состояний: $N/V=\int _{-\infty }^{\infty }g(E)f(E)\,dE$

Хотя существует бесконечное число зон и, следовательно, бесконечное число состояний, существует только конечное число электронов, которые можно разместить в этих зонах. Предпочтительное значение для числа электронов является следствием электростатики: даже если поверхность материала может быть заряжена, внутренняя часть материала предпочитает быть нейтральной по заряду. Условие нейтральности заряда означает, что $N / V$ должно соответствовать плотности протонов в материале. Чтобы это произошло, материал электростатически подстраивается, сдвигая свою зонную структуру вверх или вниз по энергии (тем самым сдвигая $g (E)$ ), пока он не окажется в правильном равновесии относительно уровня Ферми.

Названия зон вблизи уровня Ферми (зона проводимости, валентная зона)

Твердое тело имеет бесконечное число разрешенных зон, так же как атом имеет бесконечно много энергетических уровней. Однако большинство зон просто имеют слишком высокую энергию и обычно игнорируются при обычных обстоятельствах. ^[9] И наоборот, существуют очень низкоэнергетические зоны, связанные с основными орбиталями (такие как 1s-электроны ). Эти низкоэнергетические основные зоны s также обычно игнорируются, поскольку они остаются заполненными электронами все время и, следовательно, инертны. ^[10] Аналогично, материалы имеют несколько запрещенных зон по всей своей зонной структуре.

Наиболее важные полосы и запрещенные зоны — те, которые имеют отношение к электронике и оптоэлектронике — это те, у которых энергия близка к уровню Ферми. Полосы и запрещенные зоны близ уровня Ферми имеют специальные названия в зависимости от материала:

В полупроводнике или зонном изоляторе уровень Ферми окружен запрещенной зоной, называемой запрещенной зоной (чтобы отличать ее от других запрещенных зон в зонной структуре). Ближайшая зона выше запрещенной зоны называется зоной проводимости , а ближайшая зона ниже запрещенной зоны называется валентной зоной . Название «валентная зона» было придумано по аналогии с химией, поскольку в полупроводниках (и изоляторах) валентная зона построена из валентных орбиталей .
В металле или полуметалле уровень Ферми находится внутри одной или нескольких разрешенных зон. В полуметаллах зоны обычно называют «зоной проводимости» или «валентной зоной» в зависимости от того, является ли перенос заряда более электронным или дырочным, по аналогии с полупроводниками. Во многих металлах, однако, зоны не являются ни электронными, ни дырочными, и часто называются просто «валентной зоной», поскольку они состоят из валентных орбиталей. ^[11] Запрещенные зоны в зонной структуре металла не важны для физики низких энергий, поскольку они слишком далеки от уровня Ферми.

Теория в кристаллах

Анзац — это частный случай электронных волн в периодической кристаллической решетке, использующий теорему Блоха , как она рассматривается в общем виде в динамической теории дифракции . Каждый кристалл представляет собой периодическую структуру, которую можно охарактеризовать решеткой Бравэ , и для каждой решетки Бравэ мы можем определить обратную решетку , которая инкапсулирует периодичность в наборе из трех векторов обратной решетки $(b 1, b 2, b 3)$ . Теперь любой периодический потенциал $V (r)$ , который имеет ту же периодичность, что и прямая решетка, можно разложить в ряд Фурье, единственными неисчезающими компонентами которого являются те, которые связаны с векторами обратной решетки. Таким образом, разложение можно записать как: где $K$ $=$ $m$ $1$ $b$ $1$ $+$ $m$ $2$ $b$ $2$ $+$ $m$ $3$ $b$ $3$ для любого набора целых чисел $($ $m$ $1$ $,$ $m$ $2$ $,$ $m$ $3$ $)$ . $V(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {K} }{V_{\mathbf {K} }e^{i\mathbf {K} \cdot \mathbf {r} }}$

На основе этой теории можно попытаться предсказать зонную структуру конкретного материала, однако большинство методов расчета электронной структуры ab initio не способны предсказать наблюдаемую ширину запрещенной зоны.

Приближение почти свободных электронов

В приближении почти свободных электронов взаимодействия между электронами полностью игнорируются. Это приближение позволяет использовать теорему Блоха , которая гласит, что электроны в периодическом потенциале имеют волновые функции и энергии, которые являются периодическими по волновому вектору с точностью до постоянного сдвига фаз между соседними векторами обратной решетки . Последствия периодичности математически описываются теоремой Блоха, которая гласит, что волновые функции собственного состояния имеют вид , где функция Блоха является периодической по кристаллической решетке, то есть, $\Psi _{n,\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n}(\mathbf {r} )$ $u_{n}(\mathbf {r} )$ $u_{n}(\mathbf {r} )=u_{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} ).$

Здесь индекс $n$ относится к $n-й$ энергетической полосе, волновой вектор $k$ связан с направлением движения электрона, $r$ — положение в кристалле, а $R$ — местоположение атомного узла. ^[12]^{: 179}

Модель NFE особенно хорошо работает в таких материалах, как металлы, где расстояния между соседними атомами малы. В таких материалах перекрытие атомных орбиталей и потенциалов на соседних атомах относительно велико. В этом случае волновая функция электрона может быть аппроксимирована (модифицированной) плоской волной. Зонная структура металла, например алюминия, даже приближается к приближению пустой решетки .

Модель с плотным переплетом

Противоположная крайность приближения почти свободных электронов предполагает, что электроны в кристалле ведут себя во многом как совокупность составляющих их атомов. Эта модель сильной связи предполагает, что решение уравнения Шредингера для одного электрона, не зависящего от времени , хорошо аппроксимируется линейной комбинацией атомных орбиталей . ^[12]^{: 245–248} , где коэффициенты выбираются так, чтобы дать наилучшее приближенное решение этой формы. Индекс $n$ относится к уровню энергии атома, а $R$ относится к атомному месту. Более точный подход, использующий эту идею, использует функции Ванье , определяемые следующим образом: ^[12]^{: Ур. 42, стр. 267}^[13] , в котором есть периодическая часть теоремы Блоха, а интеграл берется по зоне Бриллюэна . Здесь индекс $n$ относится к $n$ -й энергетической зоне в кристалле. Функции Ванье локализованы вблизи атомных мест, как атомные орбитали, но, будучи определенными в терминах функций Блоха, они точно связаны с решениями, основанными на потенциале кристалла. Функции Ванье на различных атомных позициях $R$ ортогональны. Функции Ванье можно использовать для формирования решения Шредингера для $n$ -й энергетической зоны в виде: $\Psi$ $\psi _{n}(\mathbf {r} )$ $\Psi (\mathbf {r} )=\sum _{n,\mathbf {R} }b_{n,\mathbf {R} }\psi _{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} ),$ $b_{n,\mathbf {R} }$ $a_{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )={\frac {V_{C}}{(2\pi )^{3}}}\int _{\text{BZ}}d\mathbf {k} e^{-i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {R} -\mathbf {r} )}u_{n\mathbf {k} };$ $u_{n\mathbf {k} }$ $\Psi _{n,\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {R} }e^{-i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {R} -\mathbf {r} )}a_{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} ).$

Модель TB хорошо работает в материалах с ограниченным перекрытием между атомными орбиталями и потенциалами на соседних атомах. Зонные структуры таких материалов, как Si , GaAs , SiO2 _и алмаз , например, хорошо описываются TB-гамильтонианами на основе атомных sp3 ^- орбиталей. В переходных металлах смешанная модель TB-NFE используется для описания широкой зоны проводимости NFE и узких встроенных d-зон TB. Радиальные функции атомной орбитальной части функций Ванье проще всего вычислить с помощью псевдопотенциальных методов. Расчеты зонной структуры NFE, TB или комбинированные NFE-TB ^[14] , иногда расширенные с помощью приближений волновой функции на основе псевдопотенциальных методов, часто используются в качестве экономичной отправной точки для дальнейших расчетов.

Модель ККР

Метод KKR, также называемый «теорией многократного рассеяния» или методом функций Грина, находит стационарные значения матрицы обратного перехода T, а не гамильтониана. Вариационная реализация была предложена Коррингой , Коном и Ростокером и часто упоминается как метод Корринги–Кона–Ростокера . ^[15]^[16] Наиболее важными особенностями формулировки функции KKR или Грина являются: (1) она разделяет два аспекта проблемы: структуру (положения атомов) от рассеяния (химическая идентичность атомов); и (2) функции Грина обеспечивают естественный подход к локализованному описанию электронных свойств, которые могут быть адаптированы к сплавам и другим неупорядоченным системам. Простейшая форма этого приближения центрирует неперекрывающиеся сферы (называемые маффин-тинами ) на атомных позициях. В этих областях потенциал, испытываемый электроном, аппроксимируется как сферически симметричный относительно данного ядра. В оставшейся междоузлии экранированный потенциал аппроксимируется как константа. Непрерывность потенциала между атомно-центрированными сферами и междоузлием усиливается.

Теория функционала плотности

В современной литературе по физике подавляющее большинство электронных структур и зонных диаграмм рассчитываются с использованием теории функционала плотности (DFT), которая является не моделью, а теорией, т. е. микроскопической первопринципной теорией физики конденсированного состояния , которая пытается справиться с электрон-электронной проблемой многих тел посредством введения обменно-корреляционного члена в функционал электронной плотности . Во многих случаях оказывается, что зоны, рассчитанные с помощью DFT, согласуются с экспериментально измеренными зонами, например, с помощью фотоэмиссионной спектроскопии с угловым разрешением (ARPES). В частности, форма зоны обычно хорошо воспроизводится с помощью DFT. Но существуют также систематические ошибки в зонах DFT по сравнению с результатами эксперимента. В частности, DFT, по-видимому, систематически занижает примерно на 30-40% ширину запрещенной зоны в диэлектриках и полупроводниках. ^[17]

Обычно считается, что DFT — это теория, предсказывающая только свойства основного состояния системы (например, полную энергию , атомную структуру и т. д.), и что свойства возбужденного состояния не могут быть определены с помощью DFT. Это заблуждение. В принципе, DFT может определить любое свойство (основное состояние или возбужденное состояние) системы, если задан функционал, который отображает плотность основного состояния в это свойство. В этом суть теоремы Хоэнберга–Кона. ^[18] На практике, однако, не существует известного функционала, который отображает плотность основного состояния в энергии возбуждения электронов в материале. Таким образом, то, что в литературе цитируется как зонный график DFT, является представлением энергий Кона–Шэма DFT , т. е. энергий фиктивной невзаимодействующей системы, системы Кона–Шэма, которая вообще не имеет физической интерпретации. Электронную структуру Кона-Шэма не следует путать с реальной, квазичастичной электронной структурой системы, и не существует теоремы Купманса, справедливой для энергий Кона-Шэма, как это имеет место для энергий Хартри-Фока, которую можно действительно рассматривать как приближение для энергий квазичастиц. Следовательно, в принципе, DFT на основе Кона-Шэма не является зонной теорией, т. е. не является теорией, подходящей для расчета зон и зонных диаграмм. В принципе, зависящая от времени DFT может использоваться для расчета истинной зонной структуры, хотя на практике это часто бывает затруднительно. Популярным подходом является использование гибридных функционалов , которые включают часть точного обмена Хартри-Фока; это дает существенное улучшение предсказанных запрещенных зон полупроводников, но менее надежно для металлов и материалов с широкой запрещенной зоной. ^[19]

Методы функций Грина иab initioприближение GW

Для расчета полос, включающих эффекты взаимодействия электронов с электронами и многочастичные эффекты , можно прибегнуть к так называемым методам функции Грина . Действительно, знание функции Грина системы обеспечивает как основные (полную энергию), так и возбужденные наблюдаемые состояния системы. Полюса функции Грина являются энергиями квазичастиц, полосами твердого тела. Функцию Грина можно вычислить, решив уравнение Дайсона , как только будет известна собственная энергия системы. Для реальных систем, таких как твердые тела, собственная энергия является очень сложной величиной, и обычно для решения проблемы требуются приближения. Одним из таких приближений является приближение GW , названное так из математической формы, которую собственная энергия принимает как произведение Σ = GW функции Грина G и динамически экранированного взаимодействия W. Этот подход более уместен при решении задачи расчета зонных диаграмм (а также величин за ее пределами, таких как спектральная функция) и также может быть сформулирован полностью ab initio способом. Приближение GW, по-видимому, позволяет получить значения ширины запрещенной зоны изоляторов и полупроводников в соответствии с экспериментом и, следовательно, исправить систематическую недооценку DFT.

Динамическая теория среднего поля

Хотя приближение почти свободных электронов способно описать многие свойства структур электронных зон, одним из следствий этой теории является то, что она предсказывает одинаковое количество электронов в каждой элементарной ячейке. Если число электронов нечетно, мы могли бы ожидать, что в каждой элементарной ячейке есть неспаренный электрон, и, таким образом, валентная зона не полностью занята, что делает материал проводником. Однако такие материалы, как CoO , которые имеют нечетное количество электронов на элементарную ячейку, являются изоляторами, что напрямую противоречит этому результату. Этот тип материала известен как изолятор Мотта и требует включения подробных электрон-электронных взаимодействий (рассматриваемых только как усредненный эффект на кристаллический потенциал в зонной теории) для объяснения расхождения. Модель Хаббарда является приближенной теорией, которая может включать эти взаимодействия. Ее можно рассматривать непертурбативно в рамках так называемой динамической теории среднего поля , которая пытается преодолеть разрыв между приближением почти свободных электронов и атомным пределом. Однако формально в этом случае состояния не являются невзаимодействующими, и концепция зонной структуры неадекватна для описания этих случаев.

Другие

Расчет зонных структур является важной темой в теоретической физике твердого тела . Помимо моделей, упомянутых выше, существуют и другие модели:

Приближение пустой решетки : «зонная структура» области свободного пространства, разделенной на решетку.
Теория возмущений k·p — это метод, позволяющий приблизительно описать зонную структуру с помощью всего нескольких параметров. Этот метод обычно используется для полупроводников , а параметры в модели часто определяются экспериментально.
Модель Кронига–Пенни , одномерная модель прямоугольного колодца, полезная для иллюстрации формирования полос. Несмотря на простоту, она предсказывает множество важных явлений, но не является количественной.
модель Хаббарда

Зонная структура была обобщена до волновых векторов, которые являются комплексными числами , что привело к так называемой комплексной зонной структуре , которая представляет интерес на поверхностях и интерфейсах.

Каждая модель описывает некоторые типы твердых тел очень хорошо, а другие плохо. Модель почти свободных электронов хорошо подходит для металлов, но плохо для неметаллов. Модель сильной связи чрезвычайно точна для ионных изоляторов, таких как соли галогенидов металлов (например, NaCl ).

Диаграммы полос

Чтобы понять, как структура зон изменяется относительно уровня Ферми в реальном пространстве, график структуры зон часто сначала упрощается в виде диаграммы зон . На диаграмме зон вертикальная ось представляет энергию, а горизонтальная ось представляет реальное пространство. Горизонтальные линии представляют уровни энергии, а блоки представляют энергетические зоны. Когда горизонтальные линии на этих диаграммах наклонены, то энергия уровня или зоны изменяется с расстоянием. Диаграммно это отображает наличие электрического поля внутри кристаллической системы. Диаграммы зон полезны для соотнесения общих свойств структуры зон различных материалов друг с другом при размещении их в контакте друг с другом.

Смотрите также

Инженерия запрещенной зоны – процесс изменения зонной структуры материала.
Феликс Блох – пионер теории зонной структуры
Алан Херрис Уилсон – пионер теории зонной структуры

Ссылки

^ Саймон, Стивен Х. (2013). Основы твердого тела в Оксфорде. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-150210-1.
^ ab Girvin, Steven M.; Yang, Kun (2019). Современная физика конденсированных сред . Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-13739-4.
^ Холгейт, Шарон Энн (2009). Понимание физики твердого тела. CRC Press. С. 177–178. ISBN 978-1-4200-1232-3.
^ Холлидей, Дэвид; Резник, Роберт; Уокер, Джерл (2013). Основы физики, расширенные, 10-е изд. John Wiley and Sons. стр. 1254. ISBN 9781118230619.
^ Цай, Вэньшань; Шалаев, Владимир (2009). Оптические метаматериалы: основы и применение. Springer Science and Business Media. стр. 12. ISBN 9781441911513.
^ Ибах, Харальд; Лют, Ганс (2009). Физика твердого тела: Введение в принципы материаловедения, 4-е изд. Springer Science and Business Media. стр. 2. ISBN 9783540938040.
^ "Архив NSM - Алюминий-галлиевый арсенид (AlGaAs) - Зонная структура и концентрация носителей". www.ioffe.ru .
^ "Electronic Band Structure" (PDF) . www.springer.com . Springer. стр. 24 . Получено 10 ноября 2016 г. .
^ Высокоэнергетические полосы важны для физики электронной дифракции , где электроны могут быть инжектированы в материал при высоких энергиях, см. Stern, R.; Perry, J.; Boudreaux, D. (1969). "Low-Energy Electron-Diffraction Dispersion Surfaces and Band Structure in Three-Dimensional Mixed Laue and Bragg Reflections". Reviews of Modern Physics . 41 (2): 275. Bibcode :1969RvMP...41..275S. doi :10.1103/RevModPhys.41.275..
^ Однако низкоэнергетические полосы важны в эффекте Оже .
^ В меди, например, эффективная масса является тензором и также меняет знак в зависимости от волнового вектора, как это можно увидеть в эффекте Де Гааза–Ван Альфена ; см. https://www.phys.ufl.edu/fermisurface/
^ abc Чарльз Киттель (1996). Введение в физику твердого тела (седьмое изд.). Нью-Йорк: Wiley. ISBN 978-0-471-11181-8.
^ Дэниел Чарльз Мэттис (1994). Проблема многих тел: Энциклопедия точно решенных моделей в одном измерении. World Scientific. стр. 340. ISBN 978-981-02-1476-0.
^ Уолтер Эшли Харрисон (1989). Электронная структура и свойства твердых тел. Dover Publications. ISBN 978-0-486-66021-9.
^ Джогиндер Сингх Галсин (2001). Рассеивание примесей в металлических сплавах. Springer. Приложение C. ISBN 978-0-306-46574-1.
^ Куон Иноуэ, Казуо Отака (2004). Фотонные кристаллы. Springer. стр. 66. ISBN 978-3-540-20559-3.
^ Assadi, M. Hussein. N.; Hanaor, Dorian AH (2013-06-21). "Теоретическое исследование энергетики и магнетизма меди в полиморфах TiO _{2 ".}Журнал прикладной физики . 113 (23): 233913–233913–5. arXiv : 1304.1854 . Bibcode : 2013JAP...113w3913A. doi : 10.1063/1.4811539. ISSN 0021-8979. S2CID 94599250.
^ Hohenberg, P; Kohn, W. (ноябрь 1964). "Неоднородный электронный газ". Phys. Rev. 136 ( 3B): B864–B871. Bibcode :1964PhRv..136..864H. doi : 10.1103/PhysRev.136.B864 .
^ Paier, J.; Marsman, M.; Hummer, K.; Kresse, G.; Gerber, IC; Angyán, JG (2006). «Экранированные гибридные функционалы плотности, применяемые к твердым телам». J Chem Phys . 124 (15): 154709. Bibcode : 2006JChPh.124o4709P. doi : 10.1063/1.2187006. PMID 16674253.

Дальнейшее чтение

Эшкрофт, Нил и Н. Дэвид Мермин, Физика твердого тела , ISBN 0-03-083993-9
Харрисон, Уолтер А., Элементарная электронная структура , ISBN 981-238-708-0
Харрисон, Уолтер А.; У. А. Бенджамин Псевдопотенциалы в теории металлов , (Нью-Йорк) 1966
Мардер, Майкл П., Физика конденсированного состояния , ISBN 0-471-17779-2
Мартин, Ричард, Электронная структура: Базовая теория и практические методы , ISBN 0-521-78285-6
Миллман, Джейкоб; Арвин Габриэль, Микроэлектроника , ISBN 0-07-463736-3 , издание Tata McGraw-Hill.
Немошкаленко, В.В., и Н.В. Антонов, Вычислительные методы в физике твердого тела , ISBN 90-5699-094-2
Омар, М. Али, Элементарная физика твердого тела: принципы и приложения , ISBN 0-201-60733-6
Сингх, Джасприт, Электронные и оптоэлектронные свойства полупроводниковых структур , главы 2 и 3, ISBN 0-521-82379-X
Василеска, Драгица , Учебное пособие по методам зонной структуры (2008)