Изменение переменных

Математический метод упрощения

В математике замена переменных — это базовый метод, используемый для упрощения задач, в котором исходные переменные заменяются функциями других переменных. Цель состоит в том, что при выражении в новых переменных задача может стать проще или эквивалентной более понятной задаче.

Замена переменных — это операция, которая связана с подстановкой . Однако это разные операции, как можно увидеть при рассмотрении дифференциации ( цепное правило ) или интегрирования ( интегрирование путем подстановки ).

Очень простой пример полезной замены переменной можно увидеть в задаче нахождения корней многочлена шестой степени:

${\displaystyle x^{6}-9x^{3}+8=0.}$

Полиномиальные уравнения шестой степени, как правило, невозможно решить в терминах радикалов (см. теорему Абеля–Руффини ). Однако это конкретное уравнение можно записать

${\displaystyle (x^{3})^{2}-9(x^{3})+8=0}$

(это простой случай полиномиального разложения ). Таким образом, уравнение можно упростить, определив новую переменную . Подстановка x в полином дает ${\displaystyle u=x^{3}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{u}}}$

${\displaystyle u^{2}-9u+8=0,}$

что представляет собой просто квадратное уравнение с двумя решениями:

${\displaystyle u=1\quad {\text{and}}\quad u=8.}$

Решения в терминах исходной переменной получаются путем подстановки x ³ обратно вместо u , что дает

${\displaystyle x^{3}=1\quad {\text{and}}\quad x^{3}=8.}$

Тогда, предполагая, что интересуют только действительные решения, решения исходного уравнения будут такими:

${\displaystyle x=(1)^{1/3}=1\quad {\text{and}}\quad x=(8)^{1/3}=2.}$

Простой пример

Рассмотрим систему уравнений

${\displaystyle xy+x+y=71}$

${\displaystyle x^{2}y+xy^{2}=880}$

где и — положительные целые числа с . (Источник: 1991 AIME ) ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x>y}$

Решить это обычно не очень сложно, но может быть немного утомительно. Однако мы можем переписать второе уравнение как . Выполнение подстановок и сводит систему к . Решение этого дает и . Обратная подстановка первой упорядоченной пары дает нам , что дает решение Обратная подстановка второй упорядоченной пары дает нам , что не дает решений. Следовательно, решение, которое решает систему, — . ${\displaystyle xy(x+y)=880}$ ${\displaystyle s=x+y}$ ${\displaystyle t=xy}$ ${\displaystyle s+t=71,st=880}$ ${\displaystyle (s,t)=(16,55)}$ ${\displaystyle (s,t)=(55,16)}$ ${\displaystyle x+y=16,xy=55,x>y}$ ${\displaystyle (x,y)=(11,5).}$ ${\displaystyle x+y=55,xy=16,x>y}$ ${\displaystyle (x,y)=(11,5)}$

Официальное представление

Пусть , будут гладкими многообразиями и пусть будет - диффеоморфизмом между ними, то есть: является раз непрерывно дифференцируемым, биективным отображением из в с раз непрерывно дифференцируемым обратным из в . Здесь может быть любое натуральное число (или ноль), ( гладкое ) или ( аналитическое ). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \Phi :A\rightarrow B}$ ${\displaystyle C^{r}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \omega }$

Карта называется регулярным преобразованием координат или регулярной заменой переменных , где регулярное относится к -ности . Обычно для обозначения замены переменной переменной записывают значение в для каждого вхождения . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle C^{r}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle x=\Phi (y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

Другие примеры

Преобразование координат

Некоторые системы можно решить проще, перейдя к полярным координатам . Рассмотрим, например, уравнение

${\displaystyle U(x,y):=(x^{2}+y^{2}){\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}}}=0.}$

Это может быть функция потенциальной энергии для некоторой физической проблемы. Если вы не видите решения немедленно, вы можете попробовать замену

${\displaystyle \displaystyle (x,y)=\Phi (r,\theta )}$предоставлено ${\displaystyle \displaystyle \Phi (r,\theta )=(r\cos(\theta ),r\sin(\theta )).}$

Обратите внимание, что если выполняется за пределами интервала длины, например, , отображение больше не является биективным. Следовательно, должно быть ограничено, например , . Обратите внимание, как исключается, поскольку не является биективным в начале координат ( может принимать любое значение, точка будет отображена в (0, 0)). Затем, заменяя все вхождения исходных переменных новыми выражениями , предписанными и используя тождество , мы получаем ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle (0,\infty ]\times [0,2\pi )}$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}$

${\displaystyle V(r,\theta )=r^{2}{\sqrt {1-{\frac {r^{2}\cos ^{2}\theta }{r^{2}}}}}=r^{2}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}=r^{2}\left|\sin \theta \right|.}$

Теперь решения можно легко найти: , так или . Применение обратного к показывает, что это эквивалентно пока . Действительно, мы видим, что для функция обращается в нуль, за исключением начала координат. ${\displaystyle \sin(\theta )=0}$ ${\displaystyle \theta =0}$ ${\displaystyle \theta =\pi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle x\not =0}$ ${\displaystyle y=0}$

Обратите внимание, что если бы мы допустили , начало координат также было бы решением, хотя это не решение исходной задачи. Здесь биективность имеет решающее значение. Функция всегда положительна (для ), отсюда и абсолютные значения. ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$

Дифференциация

Правило цепочки используется для упрощения сложной дифференциации. Например, рассмотрим задачу вычисления производной

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x^{2}).}$

Пусть с Тогда: ${\displaystyle y=\sin u}$ ${\displaystyle u=x^{2}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sin(x^{2})&={\frac {dy}{dx}}\\[6pt]&={\frac {dy}{du}}{\frac {du}{dx}}&&{\text{This part is the chain rule.}}\\[6pt]&=\left({\frac {d}{du}}\sin u\right)\left({\frac {d}{dx}}x^{2}\right)\\[6pt]&=(\cos u)(2x)\\&=\left(\cos(x^{2})\right)(2x)\\&=2x\cos(x^{2})\end{aligned}}}$

Интеграция

Сложные интегралы часто можно вычислить, заменив переменные; это возможно благодаря правилу подстановки и аналогично использованию правила цепочки выше. Сложные интегралы также можно решить, упростив интеграл с помощью замены переменных, заданной соответствующей матрицей Якоби и определителем . ^[1] Использование определителя Якоби и соответствующей замены переменной, которую он дает, является основой систем координат, таких как полярные, цилиндрические и сферические системы координат.

Формула замены переменных в терминах меры Лебега

Следующая теорема позволяет нам связать интегралы по мере Лебега с эквивалентным интегралом по мере обратного хода при параметризации G. ^[2] Доказательство основано на приближениях жорданового содержания.

Предположим, что является открытым подмножеством и является диффеоморфизмом. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle G:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C^{1}}$

• Если — измеримая по Лебегу функция на , то измерима по Лебегу на . Если или , то . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G(\Omega )}$ ${\displaystyle f\circ G}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle f\geq 0}$ ${\displaystyle f\in L^{1}(G(\Omega ),m),}$ ${\displaystyle \int _{G(\Omega )}f(x)dx=\int _{\Omega }f\circ G(x)|{\text{det}}D_{x}G|dx}$
• Если и измеримо по Лебегу, то измеримо по Лебегу, тогда . ${\displaystyle E\subset \Omega }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle G(E)}$ ${\displaystyle m(G(E))=\int _{E}|{\text{det}}D_{x}G|dx}$

В качестве следствия этой теоремы мы можем вычислить производные Радона–Никодима как мер обратного хода, так и мер прямого хода при . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle T}$

Формула измерения и преобразования

Мера отката в терминах преобразования определяется как . Формула замены переменных для мер отката имеет вид ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{*}\mu :=\mu (T(A))}$

${\displaystyle \int _{T(\Omega )}gd\mu =\int _{\Omega }g\circ TdT^{*}\mu }$.

Формула измерения и преобразования продвинутой функции

Мера продвижения вперед в терминах преобразования определяется как . Формула замены переменных для мер продвижения вперед имеет вид ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T_{*}\mu :=\mu (T^{-1}(A))}$

${\displaystyle \int _{\Omega }g\circ Td\mu =\int _{T(\Omega )}gdT_{*}\mu }$.

Как следствие формулы замены переменных для меры Лебега, имеем, что

• Производная Радона-Никодима от обратного хода по мере Лебега: ${\displaystyle {\frac {dT^{*}m}{dm}}(x)=|{\text{det}}D_{x}T|}$
• Производная Радона-Никодима прямого перехода относительно меры Лебега: ${\displaystyle {\frac {dT_{*}m}{dm}}(x)=|{\text{det}}D_{x}T^{-1}|}$

Из чего мы можем получить

• Формула замены переменных для меры отката: ${\displaystyle \int _{T(\Omega )}gdm=\int _{\Omega }g\circ TdT^{*}m=\int _{\Omega }g\circ T|{\text{det}}D_{x}T|dm(x)}$
• Формула замены переменных для измерения продвижения вперед: ${\displaystyle \int _{\Omega }gdm=\int _{T(\Omega )}g\circ T^{-1}dT_{*}m=\int _{T(\Omega )}g\circ T^{-1}|{\text{det}}D_{x}T^{-1}|dm(x)}$

Дифференциальные уравнения

Изменения переменных для дифференциации и интегрирования изучаются на элементарном курсе исчисления , и эти шаги редко выполняются полностью.

Очень широкое использование изменений переменных очевидно при рассмотрении дифференциальных уравнений, где независимые переменные могут быть изменены с использованием цепного правила или зависимые переменные изменяются, что приводит к выполнению некоторой дифференциации. Экзотические изменения, такие как смешивание зависимых и независимых переменных в точечных и контактных преобразованиях , могут быть очень сложными, но предоставляют большую свободу.

Очень часто в задачу подставляется общая форма изменения, а параметры подбираются по ходу дела, чтобы максимально упростить задачу.

Масштабирование и смещение

Вероятно, самое простое изменение — это масштабирование и сдвиг переменных, то есть замена их новыми переменными, которые «растягиваются» и «перемещаются» на постоянные величины. Это очень распространено в практических приложениях для получения физических параметров из задач. Для производной n- ^го порядка изменение просто приводит к

${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}={\frac {y_{\text{scale}}}{x_{\text{scale}}^{n}}}{\frac {d^{n}{\hat {y}}}{d{\hat {x}}^{n}}}}$

где

${\displaystyle x={\hat {x}}x_{\text{scale}}+x_{\text{shift}}}$

${\displaystyle y={\hat {y}}y_{\text{scale}}+y_{\text{shift}}.}$

Это можно легко показать с помощью цепного правила и линейности дифференциации. Это изменение очень распространено в практических приложениях для получения физических параметров из задач, например, краевой задачи

${\displaystyle \mu {\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {dp}{dx}}\quad ;\quad u(0)=u(L)=0}$

описывает параллельный поток жидкости между плоскими твердыми стенками, разделенными расстоянием δ; μ — вязкость и градиент давления , оба константы. Масштабируя переменные, задача становится ${\displaystyle dp/dx}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}=1\quad ;\quad {\hat {u}}(0)={\hat {u}}(1)=0}$

где

${\displaystyle y={\hat {y}}L\qquad {\text{and}}\qquad u={\hat {u}}{\frac {L^{2}}{\mu }}{\frac {dp}{dx}}.}$

Масштабирование полезно по многим причинам. Оно упрощает анализ как за счет сокращения числа параметров, так и просто за счет того, что делает задачу более аккуратной. Правильное масштабирование может нормализовать переменные, то есть сделать их имеющими разумный безразмерный диапазон, например от 0 до 1. Наконец, если задача требует численного решения, то чем меньше параметров, тем меньше вычислений.

Импульс против скорости

Рассмотрим систему уравнений

${\displaystyle {\begin{aligned}m{\dot {v}}&=-{\frac {\partial H}{\partial x}}\\[5pt]m{\dot {x}}&={\frac {\partial H}{\partial v}}\end{aligned}}}$

для заданной функции . Масса может быть устранена (тривиальной) заменой . Очевидно, что это биективное отображение из в . При замене система становится ${\displaystyle H(x,v)}$ ${\displaystyle \Phi (p)=1/m\cdot p}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle v=\Phi (p)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {p}}&=-{\frac {\partial H}{\partial x}}\\[5pt]{\dot {x}}&={\frac {\partial H}{\partial p}}\end{aligned}}}$

Лагранжева механика

При наличии силового поля уравнения движения Ньютона имеют вид ${\displaystyle \varphi (t,x,v)}$

${\displaystyle m{\ddot {x}}=\varphi (t,x,v).}$

Лагранж исследовал, как изменяются эти уравнения движения при произвольной замене переменных , ${\displaystyle x=\Psi (t,y)}$ ${\displaystyle v={\frac {\partial \Psi (t,y)}{\partial t}}+{\frac {\partial \Psi (t,y)}{\partial y}}\cdot w.}$

Он обнаружил, что уравнения

${\displaystyle {\frac {\partial {L}}{\partial y}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {L}}{\partial {w}}}}$

эквивалентны уравнениям Ньютона для функции , где T — кинетическая, а V — потенциальная энергия. ${\displaystyle L=T-V}$

На самом деле, если подстановка выбрана правильно (например, с использованием симметрии и ограничений системы), эти уравнения гораздо проще решить, чем уравнения Ньютона в декартовых координатах.

Смотрите также

• Изменение переменных (PDE)
• Замена переменных для плотностей вероятности
• Свойство подстановки равенства
• Универсальная реализация

Ссылки

1. Каплан, Вилфред (1973). «Замена переменных в интегралах». Advanced Calculus (Второе изд.). Чтение: Addison-Wesley. С. 269–275.
2. Фолланд, ГБ (1999). Реальный анализ: современные методы и их применение (2-е изд.). Нью-Йорк: Wiley. С. 74–75. ISBN 0-471-31716-0. OCLC  39849337.