Игра с нулевой суммой — это математическое представление в теории игр и экономической теории ситуации, в которой участвуют два конкурирующих субъекта, где результатом является преимущество для одной стороны и эквивалентный проигрыш для другой. [1] Другими словами, выигрыш игрока один эквивалентен проигрышу игрока два, в результате чего чистое улучшение выгоды от игры равно нулю. [2]
Если суммировать общие выигрыши участников и вычесть общие проигрыши, то они в сумме дадут ноль. Таким образом, разрезание торта , когда взятие более значительного куска уменьшает количество торта, доступного для других, настолько же, насколько увеличивает количество, доступное для этого берущего, является игрой с нулевой суммой, если все участники одинаково ценят каждую часть торта . Другие примеры игр с нулевой суммой в повседневной жизни включают такие игры, как покер , шахматы , спорт и бридж, где один человек выигрывает, а другой проигрывает, что приводит к нулевой чистой выгоде для каждого игрока. [3] На рынках и финансовых инструментах фьючерсные контракты и опционы также являются играми с нулевой суммой. [4]
Напротив, ненулевая сумма описывает ситуацию, в которой совокупные прибыли и потери взаимодействующих сторон могут быть меньше или больше нуля. Игра с нулевой суммой также называется строго конкурентной игрой, в то время как игры с ненулевой суммой могут быть как конкурентными, так и неконкурентными. Игры с нулевой суммой чаще всего решаются с помощью теоремы о минимаксе , которая тесно связана с двойственностью линейного программирования [ 5] или с равновесием Нэша . Дилемма заключенного — классическая игра с ненулевой суммой. [6]
Свойство нулевой суммы (если один выигрывает, другой проигрывает) означает, что любой результат ситуации нулевой суммы является оптимальным по Парето . В общем случае любая игра, в которой все стратегии являются оптимальными по Парето, называется конфликтной игрой. [7] [8]
Игры с нулевой суммой являются конкретным примером игр с постоянной суммой, где сумма каждого результата всегда равна нулю. [9] Такие игры являются распределительными, а не интегративными; пирог не может быть увеличен путем хороших переговоров.
В ситуации, когда выигрыш (или проигрыш) одного принимающего решения не обязательно приводит к проигрышу (или выигрышу) других принимающих решения, они называются играми с ненулевой суммой. [10] Таким образом, страна с избытком бананов, торгующая с другой страной за ее избыток яблок, где обе страны получают выгоду от сделки, находится в ситуации с ненулевой суммой. Другие игры с ненулевой суммой — это игры, в которых сумма выигрышей и проигрышей игроков иногда больше или меньше того, с чего они начинали.
Идея оптимального по Парето выигрыша в игре с нулевой суммой порождает обобщенный стандарт относительной эгоистичной рациональности, стандарт наказания противника, где оба игрока всегда стремятся минимизировать выигрыш противника по выгодной для себя цене, а не предпочесть большее меньшему. Стандарт наказания противника может использоваться как в играх с нулевой суммой (например, военная игра, шахматы), так и в играх с ненулевой суммой (например, игры с выбором пула). [11] У игрока в игре есть достаточно простое желание максимизировать прибыль для себя, а противник хочет ее минимизировать. [12]
Для двухпользовательских конечных игр с нулевой суммой различные концепции теоретико-игровых решений равновесия Нэша , минимакса и максимина дают одно и то же решение. Если игрокам разрешено играть в смешанную стратегию , игра всегда имеет равновесие.
Матрица выплат игры — удобное представление. Рассмотрим эти ситуации в качестве примера, игру с нулевой суммой для двух игроков, изображенную справа или выше.
Порядок игры следующий: первый игрок (красный) втайне выбирает одно из двух действий 1 или 2; второй игрок (синий), не зная о выборе первого игрока, втайне выбирает одно из трех действий A, B или C. Затем выбор раскрывается, и общее количество очков каждого игрока изменяется в соответствии с выигрышем за этот выбор.
Пример: Красный выбирает действие 2, а Синий выбирает действие B. Когда выигрыш распределяется, Красный получает 20 очков, а Синий теряет 20 очков.
В этом примере игры оба игрока знают матрицу выплат и пытаются максимизировать количество своих очков. Красный может рассуждать следующим образом: «С действием 2 я могу потерять до 20 очков и могу выиграть только 20, а с действием 1 я могу потерять только 10, но могу выиграть до 30, поэтому действие 1 выглядит намного лучше». С похожими рассуждениями Синий выбрал бы действие C. Если оба игрока выполнят эти действия, Красный выиграет 20 очков. Если Синий предвидит рассуждения Красного и выбор действия 1, Синий может выбрать действие B, чтобы выиграть 10 очков. Если Красный, в свою очередь, предвидит этот трюк и пойдет на действие 2, это принесет Красный 20 очков.
Эмиль Борель и Джон фон Нейман имели фундаментальное понимание того, что вероятность дает выход из этой головоломки. Вместо того, чтобы решать, какое конкретное действие предпринять, два игрока назначают вероятности своим соответствующим действиям, а затем используют случайное устройство, которое в соответствии с этими вероятностями выбирает для них действие. Каждый игрок вычисляет вероятности таким образом, чтобы минимизировать максимально ожидаемую потерю очков независимо от стратегии противника. Это приводит к задаче линейного программирования с оптимальными стратегиями для каждого игрока. Этот метод минимакса может вычислить вероятно оптимальные стратегии для всех игр с нулевой суммой для двух игроков.
Для приведенного выше примера получается, что Красный должен выбрать действие 1 с вероятностью 4/7 и действие 2 с вероятностью 3/7 , а Синий должен назначить вероятности 0, 4/7 , и 3/7 к трем действиям A, B и C. Красный тогда победит 20/7 очков в среднем за игру.
Равновесие Нэша для игры с нулевой суммой для двух игроков можно найти, решив задачу линейного программирования . Предположим, что игра с нулевой суммой имеет матрицу выплат M , где элемент M i , j — это выплата, полученная, когда игрок, минимизирующий выигрыш, выбирает чистую стратегию i, а игрок, максимизирующий выигрыш, выбирает чистую стратегию j (т. е. игрок, пытающийся минимизировать выигрыш, выбирает строку, а игрок, пытающийся максимизировать выигрыш, выбирает столбец). Предположим, что каждый элемент M положителен. В игре будет по крайней мере одно равновесие Нэша. Равновесие Нэша можно найти (Raghavan 1994, стр. 740), решив следующую линейную программу для нахождения вектора u :
С учетом ограничений:
Первое ограничение говорит, что каждый элемент вектора u должен быть неотрицательным, а второе ограничение говорит, что каждый элемент вектора M u должен быть не менее 1. Для результирующего вектора u обратная величина суммы его элементов является значением игры. Умножение u на это значение дает вектор вероятности, давая вероятность того, что максимизирующий игрок выберет каждую возможную чистую стратегию.
Если игровая матрица не имеет всех положительных элементов, добавьте константу к каждому элементу, которая достаточно велика, чтобы сделать их все положительными. Это увеличит ценность игры на эту константу и не повлияет на равновесные смешанные стратегии для равновесия.
Равновесная смешанная стратегия для минимизирующего игрока может быть найдена путем решения двойственной задачи заданной линейной программы. В качестве альтернативы, ее можно найти, используя вышеописанную процедуру для решения модифицированной матрицы выплат, которая является транспонированием и отрицанием M (добавлением константы, чтобы она была положительной), а затем решением полученной игры.
Если все решения линейной программы найдены, они составят все равновесия Нэша для игры. Наоборот, любую линейную программу можно преобразовать в игру с двумя игроками и нулевой суммой, используя замену переменных, которая приводит ее к форме приведенных выше уравнений, и, таким образом, такие игры эквивалентны линейным программам, в общем. [13]
Если избегание игры с нулевой суммой является выбором действия с некоторой вероятностью для игроков, избегание всегда является стратегией равновесия по крайней мере для одного игрока в игре с нулевой суммой. Для любой игры с нулевой суммой для двух игроков, где ничья ноль-ноль невозможна или невероятна после начала игры, например, покера, не существует стратегии равновесия Нэша, кроме как избегание игры. Даже если есть вероятная ничья ноль-ноль после начала игры с нулевой суммой, она не лучше стратегии избегания. В этом смысле интересно обнаружить, что вознаграждение по мере продвижения в вычислении оптимального выбора будет преобладать над всеми играми с нулевой суммой для двух игроков относительно начала игры или нет. [14]
Наиболее распространенным или простым примером из области социальной психологии является концепция « социальных ловушек ». В некоторых случаях преследование индивидуальных личных интересов может улучшить коллективное благополучие группы, но в других ситуациях преследование всеми сторонами личных интересов приводит к взаимно разрушительному поведению.
В обзоре Коупленда отмечается, что игра с ненулевой суммой для n игроков может быть преобразована в игру с нулевой суммой для (n+1) игроков, где игрок с номером n+1, называемый фиктивным игроком , получает отрицательную сумму выигрышей остальных n игроков (глобальный выигрыш/проигрыш). [15]
Очевидно, что между игроками в игре с нулевой суммой для трех лиц существуют разнообразные отношения, в игре с нулевой суммой для двух лиц все, что выигрывает один игрок, обязательно проигрывает другой и наоборот; поэтому всегда существует абсолютный антагонизм интересов, и это похоже на игру с тремя лицами. [16] Конкретный ход игрока в игре с нулевой суммой для трех лиц будет считаться явно выгодным для него и может принести вред обоим другим игрокам или принести пользу одному и принести вред другому противнику. [16] В частности, параллелизм интересов между двумя игроками делает сотрудничество желательным; может случиться, что у игрока есть выбор между различными политиками: войти в параллелизм интересов с другим игроком, скорректировав свое поведение, или наоборот; что он может выбрать, с каким из двух других игроков он предпочитает строить такой параллелизм и в какой степени. [16] На рисунке слева показан типичный пример игры с нулевой суммой для трех лиц. Если Игрок 1 выбирает защиту, а Игрок 2 и 3 выбирают нападение, то оба они получат по одному очку. В то же время Игрок 1 потеряет два очка, поскольку очки забирают другие игроки, и очевидно, что у Игрока 2 и 3 параллелизм интересов.
Исследования показывают, что выход бюджетных авиакомпаний на рынок Гонконга принес доход в размере 671 млн долларов США и привел к оттоку в размере 294 млн долларов США.
Поэтому при внедрении новой модели следует учитывать эффект замены, что приведет к экономической утечке и инъекции. Таким образом, внедрение новых моделей требует осторожности. Например, если количество новых авиакомпаний, вылетающих из аэропорта и прибывающих в него, одинаково, экономический вклад в принимающий город может оказаться игрой с нулевой суммой. Поскольку для Гонконга потребление иностранных туристов в Гонконге является доходом, а потребление жителей Гонконга в противоположных городах — оттоком. Кроме того, внедрение новых авиакомпаний может также оказать негативное влияние на существующие авиакомпании.
Следовательно, при внедрении новой модели авиации необходимо провести всестороннюю проверку ее осуществимости, принимая во внимание экономический приток и отток, а также эффекты смещения, вызванные моделью.
Торговлю деривативами можно считать игрой с нулевой суммой, поскольку каждый доллар, полученный одной стороной в сделке, должен быть потерян другой, следовательно, чистая передача богатства равна нулю. [18]
Опционный контракт, в котором покупатель покупает производный контракт, который предоставляет ему право купить базовый актив у продавца по указанной цене исполнения до указанной даты истечения срока действия, является примером игры с нулевой суммой. Фьючерсный контракт , в котором покупатель покупает производный контракт, чтобы купить базовый актив у продавца по указанной цене в указанную дату, также является примером игры с нулевой суммой. [19] Это происходит потому, что основополагающий принцип этих контрактов заключается в том, что они являются соглашениями между двумя сторонами, и любая прибыль, полученная одной стороной, должна быть сопоставлена с убытком, понесенным другой.
Если цена базового актива увеличивается до даты истечения срока, покупатель может исполнить/закрыть опционный/фьючерсный контракт. Выигрыш покупателя и соответствующий убыток продавца будут представлять собой разницу между ценой исполнения и стоимостью базового актива на тот момент. Следовательно, чистый перевод богатства равен нулю.
Свопы , которые предполагают обмен денежными потоками от двух разных финансовых инструментов, также считаются игрой с нулевой суммой. [20] Рассмотрим стандартный процентный своп , при котором фирма A платит фиксированную ставку и получает плавающую ставку; соответственно фирма B платит плавающую ставку и получает фиксированную ставку. Если ставки увеличиваются, то фирма A выиграет, а фирма B проиграет на разницу ставок (плавающая ставка – фиксированная ставка). Если ставки уменьшаются, то фирма A проиграет, а фирма B выиграет на разницу ставок (фиксированная ставка – плавающая ставка).
Хотя торговлю деривативами можно считать игрой с нулевой суммой, важно помнить, что это не абсолютная истина. Финансовые рынки сложны и многогранны, с широким кругом участников, занимающихся разнообразной деятельностью. Хотя некоторые сделки могут привести к простой передаче богатства от одной стороны к другой, рынок в целом не является чисто конкурентным, и многие транзакции выполняют важные экономические функции.
Фондовый рынок является прекрасным примером игры с положительной суммой, часто ошибочно называемой игрой с нулевой суммой. Это заблуждение нулевой суммы: восприятие того, что один трейдер на фондовом рынке может только увеличить стоимость своих активов, если другой трейдер уменьшит свои активы. [21]
Основная цель фондового рынка — сопоставить покупателей и продавцов, но преобладающая цена — это та, которая уравновешивает спрос и предложение. Цены на акции обычно движутся в соответствии с изменениями в будущих ожиданиях, такими как объявления о поглощениях, сюрпризы о росте прибыли или улучшенные прогнозы. [22]
Например, если компания C объявляет о сделке по приобретению компании D, и инвесторы полагают, что приобретение приведет к синергии и, следовательно, к повышению прибыльности компании C, спрос на акции компании C увеличится. В этом сценарии все существующие держатели акций компании C получат прибыль, не понеся при этом никаких соответствующих измеримых убытков для других игроков.
Более того, в долгосрочной перспективе фондовый рынок — это игра с положительной суммой. По мере экономического роста увеличивается спрос, увеличивается объем производства, растут компании и растут их оценки, что приводит к созданию стоимости и увеличению богатства на рынке.
Роберт Райт в своей книге «Нонноль: логика человеческой судьбы» выдвинул теорию о том, что общество становится все более ненулевым по мере того, как оно становится более сложным, специализированным и взаимозависимым.
В 1944 году Джон фон Нейман и Оскар Моргенштерн доказали, что любая игра с ненулевой суммой для n игроков эквивалентна игре с нулевой суммой с n + 1 игроком; ( n + 1)-й игрок представляет собой глобальную прибыль или убыток. [23]
Игры с нулевой суммой и, в частности, их решения обычно неправильно понимаются критиками теории игр , как правило, в отношении независимости и рациональности игроков, а также интерпретации функций полезности [ необходимо дополнительное объяснение ] . Кроме того, слово «игра» не подразумевает, что модель действительна только для развлекательных игр . [5]
Политику иногда называют игрой с нулевой суммой [24] [25] [26], потому что в общепринятом понимании идея тупиковой ситуации воспринимается как «игра с нулевой суммой»; однако политика и макроэкономика не являются играми с нулевой суммой, поскольку они не представляют собой консервативные системы . [ требуется ссылка ]
В психологии мышление с нулевой суммой означает восприятие данной ситуации как игры с нулевой суммой, где выигрыш одного человека равен проигрышу другого.
