Идеальное число

В теории чисел идеальное число — это целое алгебраическое число , которое представляет идеал в кольце целых чисел числового поля ; идея была развита Эрнстом Куммером и привела к определению идеалов колец Ричардом Дедекиндом . Идеал в кольце целых чисел поля алгебраических чисел является главным , если он состоит из кратных одному элементу кольца, и неглавным в противном случае. По теореме о главном идеале любой неглавный идеал становится главным при расширении до идеала поля классов Гильберта . Это означает, что существует элемент кольца целых чисел поля класса Гильберта, представляющий собой идеальное число, такой, что исходный неглавный идеал равен совокупности всех кратных этого идеального числа элементами этого кольца целых чисел , которые лежат в кольце целых чисел исходного поля.

Пример

Например, пусть будет корнем , тогда кольцо целых чисел поля равно , что означает, что все с и целые числа образуют кольцо целых чисел. Примером неглавного идеала в этом кольце является множество всех, где и – целые числа; куб этого идеала является главным, и фактически группа классов циклическая третьего порядка. Соответствующее поле класса получается путем присоединения элемента, удовлетворяющего , с получением . Идеальное число для неглавного идеала равно . Поскольку это удовлетворяет уравнению, оно является целым алгебраическим числом. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y^{2}+y+6=0}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (y)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [y]}$ ${\displaystyle a+b\cdot y}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 2a+y\cdot b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w^{3}-w-1=0}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (y)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (y,w)}$ ${\displaystyle 2a+y\cdot b}$ ${\displaystyle \iota =(-8-16y-18w+12w^{2}+10yw+yw^{2})/23}$ ${\displaystyle \iota ^{6}-2\iota ^{5}+13\iota ^{4}-15\iota ^{3}+16\iota ^{2}+28\iota +8=0}$

Все элементы кольца целых чисел поля класса, которые при умножении на дают результат в, имеют вид , где ${\displaystyle \iota }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [y]}$ ${\displaystyle a\cdot \alpha +y\cdot \beta }$

${\displaystyle \alpha =(-7+9y-33w-24w^{2}+3yw-2yw^{2})/23}$

и

${\displaystyle \beta =(-27-8y-9w+6w^{2}-18yw-11yw^{2})/23.}$

Коэффициенты α и β также являются целыми алгебраическими числами, удовлетворяющими условию

${\displaystyle \alpha ^{6}+7\alpha ^{5}+8\alpha ^{4}-15\alpha ^{3}+26\alpha ^{2}-8\alpha +8=0}$

и

${\displaystyle \beta ^{6}+4\beta ^{5}+35\beta ^{4}+112\beta ^{3}+162\beta ^{2}+108\beta +27=0}$

соответственно. Умножение на идеальное число дает , что является неглавным идеалом. ${\displaystyle a\cdot \alpha +b\cdot \beta }$ ${\displaystyle \iota }$ ${\displaystyle 2a+b\cdot y}$

История

Куммер впервые опубликовал о неудаче уникальной факторизации в круговых полях в 1844 году в малоизвестном журнале; он был перепечатан в 1847 году в журнале Лиувилля . В последующих работах в 1846 и 1847 годах он опубликовал свою основную теорему — уникальную факторизацию на простые (действительные и идеальные) простые числа.

Широко распространено мнение, что к своим «идеальным комплексным числам » Куммер пришел благодаря интересу к Великой теореме Ферма ; часто рассказывают даже историю о том, что Куммер, как и Ламе , считал, что доказал Великую теорему Ферма, пока Лежен Дирихле не сказал ему, что его аргумент основан на уникальной факторизации; но эта история была впервые рассказана Куртом Хензелем в 1910 году, и факты указывают на то, что она, вероятно, возникла из-за путаницы одного из источников Хенселя. Гарольд Эдвардс говорит, что мнение о том, что Куммера главным образом интересовала Великая теорема Ферма, «безусловно ошибочно» (Эдвардс 1977, стр. 79). Использование Куммером буквы λ для обозначения простого числа, α для обозначения корня λ-й степени из единицы, а также его исследование факторизации простого числа в «комплексные числа, состоящие из корней из единицы», — все это вытекает непосредственно из статьи Якоби , которая занимается высшими законами взаимности . Мемуары Куммера 1844 года были посвящены празднованию юбилея Кенигсбергского университета и были задуманы как дань уважения Якоби. Хотя Куммер изучал Великую теорему Ферма в 1830-х годах и, вероятно, осознавал, что его теория будет иметь последствия для ее изучения, более вероятно, что предмет интереса Якоби (и Гаусса ) — высшие законы взаимности — имел для него большее значение. Куммер назвал свое собственное частичное доказательство Великой теоремы Ферма для правильных простых чисел «скорее курьезом теории чисел, чем главным вопросом», а высший закон взаимности (который он сформулировал как гипотезу) как «главный предмет и вершину теории чисел». современная теория чисел». С другой стороны, это последнее заявление было сделано, когда Куммер все еще был воодушевлен успехом своей работы по взаимности и когда его работа над Великой теоремой Ферма выдыхалась, поэтому его, возможно, можно воспринимать с некоторым скептицизмом. ${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {\lambda }}}$ ${\displaystyle \lambda }$

Распространение идей Куммера на общий случай было независимо осуществлено Кронекером и Дедекиндом в течение следующих сорока лет. Прямое обобщение столкнулось с огромными трудностями и в конечном итоге привело Дедекинда к созданию теории модулей и идеалов . Кронекер справился с трудностями, разработав теорию форм (обобщение квадратичных форм ) и теорию делителей . Вклад Дедекинда станет основой теории колец и абстрактной алгебры , а вклад Кронекера станет основным инструментом в алгебраической геометрии .

Рекомендации

• Николя Бурбаки , Элементы истории математики. Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк, 1999 г.
• Гарольд М. Эдвардс , Великая теорема Ферма. Генетическое введение в теорию чисел. Тексты для аспирантов по математике, том. 50, Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк, 1977.
• К.Г. Якоби, Über die complexen Primzahlen, входит в теорию отдыха 5ten, 8ten и 12ten Potenzen zu betrachten sind, Monatsber. дер. Акад. Висс. Берлин (1839) 89-91.
• Э. Э. Куммер, De numeris complexis, qui radicibus unitatis et numeris integris Realibus Constant, Gratulationschrift der Univ. Бреслау цур Юбельфайер дер Унив. Кенигсберг, 1844 г.; перепечатано в журнале Jour. де Мат. 12 (1847) 185-212.
• EE Kummer, Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen в их Primfactoren, Jour. для математики. (Крель) 35 (1847) 327–367.
• Джон Стиллвелл , введение в теорию алгебраических целых чисел Ричарда Дедекинда. Кембриджская математическая библиотека, издательство Кембриджского университета, Великобритания, 1996.

Внешние ссылки

• Идеальные числа. Доказательство того, что теория идеальных чисел сохраняет уникальную факторизацию круговых целых чисел, в блоге Великой теоремы Ферма.