Борелевская мера

Мера, определенная на всех открытых множествах топологического пространства.

В математике , особенно в теории меры , борелевская мера в топологическом пространстве — это мера , которая определена на всех открытых множествах (и, следовательно, на всех борелевских множествах ). ^[1] Некоторые авторы требуют дополнительных ограничений на эту меру, как описано ниже.

Формальное определение

Пусть – локально компактное хаусдорфово пространство , и пусть – наименьшая σ-алгебра , содержащая открытые множества ; это известно как σ-алгебра борелевских множеств . Борелевской мерой называется любая мера , определенная на σ-алгебре борелевских множеств. ^[2] Некоторые авторы дополнительно требуют, чтобы это было локально конечно , что означает, что для каждого компакта . Если борелевская мера одновременно является внутренней и внешней регулярной , она называется регулярной борелевской мерой . Если одновременно является внутренней регулярной, внешней регулярной и локально конечной , она называется мерой Радона . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (C)<\infty }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

На реальной линии

Вещественная линия со своей обычной топологией представляет собой локально компактное хаусдорфово пространство; следовательно, мы можем определить на нем борелевскую меру. В этом случае – наименьшая σ-алгебра, содержащая открытые интервалы . Хотя существует множество борелевских мер , выбор борелевской меры, которая присваивается каждому полуоткрытому интервалу, иногда называется «борелевской мерой на » . Эта мера оказывается ограничением на борелевскую σ-алгебру меры Лебега , которая является полной мерой и определена на σ-алгебре Лебега. σ-алгебра Лебега на самом деле является пополнением борелевской σ-алгебры, а это означает, что это наименьшая σ-алгебра, которая содержит все борелевские множества и может быть снабжена полной мерой . Кроме того, борелевская мера и мера Лебега совпадают на борелевских множествах (т.е. для любого измеримого по Борелю множества, где – описанная выше борелевская мера). Эта идея распространяется на конечномерные пространства ( теорема Крамера – Уолда ниже), но, вообще говоря, не справедлива для бесконечномерных пространств. Бесконечномерных мер Лебега не существует. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu ((a,b])=b-a}$ ${\displaystyle (a,b]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda (E)=\mu (E)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Продуктовые пространства

Если X и Y — вторично-счетные топологические пространства Хаусдорфа , то множество борелевских подмножеств их произведения совпадает с произведением множеств борелевских подмножеств X и Y. ^[3] То есть функтор Бореля ${\displaystyle B(X\times Y)}$ ${\displaystyle B(X)\times B(Y)}$

${\displaystyle \mathbf {Bor} \colon \mathbf {Top} _{\mathrm {2CHaus} }\to \mathbf {Meas} }$

из категории хаусдорфовых пространств со второй счетностью в категорию измеримых пространств сохраняет конечные произведения .

Приложения

Интеграл Лебега – Стилтьеса

Интеграл Лебега–Стилтьеса — это обычный интеграл Лебега относительно меры, известной как мера Лебега–Стилтьеса, которая может быть связана с любой функцией ограниченной вариации на действительной прямой. Мера Лебега–Стилтьеса является регулярной борелевской мерой , и наоборот, каждая регулярная борелевская мера на действительной прямой относится к такому типу. ^[4]

Преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа конечной борелевской меры µ на ​​вещественной прямой можно определить с помощью интеграла Лебега ^[5]

${\displaystyle ({\mathcal {L}}\mu )(s)=\int _{[0,\infty )}e^{-st}\,d\mu (t).}$

Важный частный случай — это случай, когда µ — вероятностная мера или, точнее, дельта-функция Дирака. В операционном исчислении преобразование Лапласа меры часто рассматривается так, как если бы мера возникла из функции распределения f . В этом случае, чтобы избежать возможной путаницы, часто пишут

${\displaystyle ({\mathcal {L}}f)(s)=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt}$

где нижний предел 0 ⁻ является сокращенным обозначением для

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \downarrow 0}\int _{-\varepsilon }^{\infty }.}$

Этот предел подчеркивает, что любая точечная масса, расположенная в точке 0, полностью захватывается преобразованием Лапласа. Хотя для интеграла Лебега нет необходимости принимать такой предел, он появляется более естественно в связи с преобразованием Лапласа – Стилтьеса .

Проблема момента

Моменты конечной борелевской меры µ на ​​вещественной прямой можно определить интегралом

${\displaystyle m_{n}=\int _{a}^{b}x^{n}\,d\mu (x).}$

Ибо они соответствуют проблеме моментов Гамбургера , проблеме моментов Стилтьеса и проблеме моментов Хаусдорфа соответственно. Вопрос или проблема, которую необходимо решить, заключается в том, существует ли соответствующая мера для данной совокупности таких моментов? Для проблемы моментов Хаусдорфа соответствующая мера единственна. Для остальных вариантов вообще существует бесконечное число различных мер, дающих одни и те же моменты. ${\displaystyle (a,b)=(-\infty ,\infty ),\;(0,\infty ),\;(0,1)}$

Размерность Хаусдорфа и лемма Фростмана.

Дана борелевская мера µ на ​​метрическом пространстве X такая, что µ ( X ) > 0 и µ ( B ( x , r )) ≤ r ^s выполняется для некоторой константы s > 0 и для каждого шара B ( x , r ) в X , то размерность Хаусдорфа dim _Haus ( X ) ≥ s . Частичное обращение дает лемма Фростмана : ^[6]

Лемма. Пусть A — борелевское подмножество Rn и s ^>  0. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

• H ^s ( A ) > 0, где H ^s обозначает s -мерную меру Хаусдорфа .
• Существует (беззнаковая) борелевская мера µ, такая, что µ ( A ) > 0, и такая, что

${\displaystyle \mu (B(x,r))\leq r^{s}}$

справедливо для всех x  ∈  Rn и r > ⁰  .

Теорема Крамера – Вольда

Теорема Крамера–Вольда в теории меры утверждает, что борелевская вероятностная мера однозначно определяется совокупностью ее одномерных проекций. ^[7] Он используется как метод доказательства совместных результатов сходимости. Теорема названа в честь Харальда Крамера и Германа Оле Андреаса Вольда . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$

Смотрите также

• оператор Якоби

Рекомендации

1. Д.Х. Фремлин, 2000. Теория меры. Архивировано 1 ноября 2010 г. в Wayback Machine . Торрес Фремлин.
2. Алан Дж. Вейр (1974). Общая интеграция и мера . Издательство Кембриджского университета . стр. 158–184. ISBN 0-521-29715-Х.
3. Владимир Иванович Богачев . Теория меры, том 1. Springer Science & Business Media, 15 января 2007 г.
4. Халмос, Пол Р. (1974), Теория меры , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90088-9
5. Феллер 1971, §XIII.1
6. Роджерс, Калифорния (1998). Меры Хаусдорфа . Кембриджская математическая библиотека (Третье изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. ххх+195. ISBN 0-521-62491-6.
7. К. Стромберг, 1994. Теория вероятностей для аналитиков . Чепмен и Холл.

дальнейшее чтение

• Гауссова мера — конечномерная борелевская мера.
• Феллер, Уильям (1971), Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Том. II. , Второе издание, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , MR  0270403..
• Джей Ди Прайс (1973). Основные методы функционального анализа . Библиотека Университета Хатчинсона. Хатчинсон . п. 217. ИСБН 0-09-113411-0.
• Рэнсфорд, Томас (1995). Теория потенциала в комплексной плоскости. Тексты студентов Лондонского математического общества. Том. 28. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . стр. 209–218. ISBN 0-521-46654-7. Збл  0828.31001.
• Тешль, Джеральд , Темы реального и функционального анализа (конспекты лекций)
• Лемма Винера связана

Внешние ссылки

• Борелевская мера в Математической энциклопедии