Изоморфизм категорий

Связь категорий в теории категорий

В теории категорий две категории C и D изоморфны , если существуют функторы F  : C → D и G  : D → C , взаимно обратные друг другу, т. е. FG = 1 _D (тождественный функтор на D ) и GF = 1. _С.​ ^[1] Это означает, что и объекты , и морфизмы C и D находятся во взаимно однозначном соответствии друг другу. Две изоморфные категории обладают всеми свойствами, которые определяются исключительно с точки зрения теории категорий; для всех практических целей они идентичны и различаются только обозначениями своих объектов и морфизмов.

Изоморфизм категорий — очень сильное условие, которое на практике редко выполняется. Гораздо более важным является понятие эквивалентности категорий ; грубо говоря, для эквивалентности категорий мы не требуем, чтобы они были равны , а только естественно изоморфны , а также естественно изоморфны . ${\displaystyle FG}$ ${\displaystyle 1_{D}}$ ${\displaystyle 1_{D}}$ ${\displaystyle GF}$ ${\displaystyle 1_{C}}$

Характеристики

Как и для любого понятия изоморфизма , мы имеем следующие общие свойства, формально аналогичные отношению эквивалентности :

• любая категория C изоморфна сама себе
• если C изоморфен D , то D изоморфен C
• если C изоморфен D и D изоморфен E , то C изоморфен E.

Функтор F  : C → D дает изоморфизм категорий тогда и только тогда, когда он биективен на объектах и ​​на множествах морфизмов . ^[1] Этот критерий может быть удобен, поскольку позволяет избежать необходимости построения обратного функтора G .

Примеры

• Рассмотрим конечную группу G , поле k и групповую алгебру kG . Категория k -линейных групповых представлений группы G изоморфна категории левых модулей над kG . Изоморфизм можно описать следующим образом: дано групповое представление ρ: G → GL( V ), где V — векторное пространство над k , GL( V ) — группа его k -линейных автоморфизмов , а ρ — групповой гомоморфизм. , мы превращаем V в левый модуль kG , определяя для каждого v в V и каждого элемента Σ a _g g в kG . $${\displaystyle \left(\sum _{g\in G}a_{g}g\right)v=\sum _{g\in G}a_{g}\rho (g)(v)}$$
  И наоборот, если задан левый модуль kG M , то M является векторным пространством k , а умножение на элемент g из G дает k -линейный автоморфизм M (поскольку g обратим в kG ), который описывает групповой гомоморфизм G → GL. ( М ). (Еще есть несколько вещей, которые нужно проверить: оба эти присваивания являются функторами, т. е. их можно применять к отображениям между представлениями групп, соответственно модулями kG , и они обратны друг другу как для объектов, так и для морфизмов). См. также Теорию представлений конечных групп § Представления, модули и алгебру свертки .
• Каждое кольцо можно рассматривать как предаддитивную категорию с одним объектом. Категория функторов всех аддитивных функторов из этой категории в категорию абелевых групп изоморфна категории левых модулей над кольцом.
• Другой изоморфизм категорий возникает в теории булевых алгебр : категория булевых алгебр изоморфна категории булевых колец . Учитывая булеву алгебру B , мы превращаем B в булево кольцо, используя симметричную разность как сложение и операцию встречи как умножение. И наоборот, для булевого кольца R мы определяем операцию соединения как a b = a + b + ab , а операцию встречи как умножение. Опять же, оба этих присваивания можно расширить до морфизмов, чтобы получить функторы, и эти функторы обратны друг другу. ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle \lor }$
• Если C — категория с начальным объектом s, то категория среза ( s ↓ C ) изоморфна C. Двойственным образом , если t является терминальным объектом в C , категория функтора ( C ↓ t ) изоморфна C. Аналогично, если 1 — категория с одним объектом и только его тождественным морфизмом (фактически, 1 — терминальная категория ), а C — любая категория, то функторная категория C ¹ с объектными функторами c : 1 → C , выбирающими объект c ∈Ob( C ) и стрелки естественных преобразований f : c → d между этими функторами, выбирающие морфизм f : c → d в C , снова изоморфны C .

Смотрите также

• Эквивалентность категорий

Рекомендации

1. Мак Лейн, Сондерс (1998). Категории для работающего математика . Тексты для аспирантов по математике. Том. 5 (2-е изд.). Спрингер-Верлаг. п. 14. ISBN 0-387-98403-8. МР  1712872.