Изоспин

В ядерной физике и физике элементарных частиц изоспин ( I ) — это квантовое число , связанное с содержанием верхних и нижних кварков в частице. Изоспин также известен как изобарический спин или изотопический спин . Симметрия изоспина — это подмножество симметрии аромата, которая в более широком смысле наблюдается во взаимодействиях барионов и мезонов .

Название концепции содержит термин спин , поскольку его квантово-механическое описание математически похоже на описание углового момента (в частности, способом его связывания ; например, пара протон-нейтрон может быть связана либо в состоянии полного изоспина 1, либо в одном из 0 ^[1] ). Но в отличие от углового момента, это безразмерная величина и на самом деле не является каким-либо типом спина .

До того, как была введена концепция кварков, частицы, которые в равной степени подвергаются сильному взаимодействию, но имеют разные заряды (например, протоны и нейтроны), считались разными состояниями одной и той же частицы, но имеющими значения изоспина, связанные с числом зарядовых состояний. ^[2] Тщательное изучение симметрии изоспина в конечном итоге привело непосредственно к открытию и пониманию кварков и к разработке теории Янга–Миллса . Симметрия изоспина остается важной концепцией в физике элементарных частиц.

Изоспиновая инвариантность

В хорошем приближении протон и нейтрон имеют одинаковую массу: их можно интерпретировать как два состояния одной и той же частицы. ^[2]^{: 141} Эти состояния имеют разные значения для внутренней изоспиновой координаты. Математические свойства этой координаты полностью аналогичны собственному спиновому угловому моменту. Компонента оператора, , для этой координаты имеет собственные значения + ⁠ ${\hat {T}}_{3}$ 1/2⁠ и − ⁠1/2⁠ ; он связан с оператором заряда, : который имеет собственные значения для протона и ноль для нейтрона. ^[2]^{: 144} Для системы из n нуклонов оператор заряда зависит от массового числа A: Изобары , ядра с одинаковым массовым числом, такие как ⁴⁰ K и ⁴⁰ Ar, отличаются только значением собственного значения. По этой причине изоспин также называют «изобарическим спином». ${\hat {Q}}$ ${\hat {Q}}=e({\hat {T}}_{3}+{\frac {1}{2}})$ $e$ ${\hat {Q}}=e({\hat {T}}_{3}+{\frac {1}{2}}A)$ ${\hat {T}}_{3}$

Внутренняя структура этих нуклонов управляется сильным взаимодействием , но гамильтониан сильного взаимодействия инвариантен относительно изоспина. Как следствие, ядерные силы не зависят от заряда. Такие свойства, как стабильность дейтерия, можно предсказать на основе анализа изоспина. ^[2]^{: 149} Однако эта инвариантность не является точной, и модель кварков дает более точные результаты.

Отношение к гиперзаряду

Оператор заряда может быть выражен через проекцию изоспина и гиперзаряда , : Это известно как формула Гелл-Манна–Нисидзимы . Гиперзаряд является центром расщепления для изоспинового мультиплета: ^[2]^{: 187} Это соотношение имеет аналог в слабом взаимодействии , где T — слабый изоспин . $T_{3}$ $Y$ $Q={\frac {1}{2}}Y+T_{3},\ \ \ \ T_{3}=T,T-1,...,-T.$ ${\frac {1}{2}}Y={\frac {1}{2}}(Q_{\textrm {min}}+Q_{\textrm {max}}).$

Содержание кварка и изоспин

В современной формулировке изоспин ( $I$ ) определяется как векторная величина, в которой верхние и нижние кварки имеют значение $I$ = ⁠1/2⁠ , где 3-й компонент ( $I$ ₃ ) равен + ⁠1/2⁠ для верхних кварков, и − ⁠1/2⁠ для нижних кварков, в то время как все остальные кварки имеют $I$ = 0. Следовательно, для адронов в целом, ^[3] где $n$ _u и $n$ _d — числа верхних и нижних кварков соответственно,

I_{3}={\frac {1}{2}}(n_{u}-n_{d}).

В любой комбинации кварков 3-й компонент вектора изоспина ( $I$ ₃ ) может быть либо выровнен между парой кварков, либо смотреть в противоположном направлении, давая различные возможные значения для полного изоспина для любой комбинации ароматов кварков. Адроны с одинаковым содержанием кварков, но разным полным изоспином можно различить экспериментально, подтверждая, что аромат на самом деле является векторной величиной, а не скаляром (вверх против вниз просто являются проекцией на квантово-механической оси $z$ пространства ароматов).

Например, странный кварк может быть объединен с верхним и нижним кварками, чтобы сформировать барион , но есть два разных способа, которыми значения изоспина могут быть объединены — либо добавление (из-за выравнивания по ароматам), либо отмена (из-за нахождения в противоположных направлениях ароматов). Состояние изоспина-1 (
Σ⁰
) и состояние изоспина-0 (
Λ⁰
) имеют различные экспериментально обнаруженные массы и периоды полураспада.

Изоспин и симметрия

Изоспин рассматривается как симметрия сильного взаимодействия под действием группы Ли SU(2) , причем два состояния являются верхним и нижним ароматами. В квантовой механике , когда гамильтониан имеет симметрию, эта симметрия проявляется через набор состояний, которые имеют одинаковую энергию (состояния описываются как вырожденные ). Проще говоря, оператор энергии для сильного взаимодействия дает тот же результат, когда верхний кварк и в остальном идентичный нижний кварк меняются местами.

Как и в случае с обычным спином, оператор изоспина I является векторным : он имеет три компонента I _x , I _y , I _z , которые являются координатами в том же 3-мерном векторном пространстве, где действует 3- представление. Обратите внимание, что это векторное пространство не имеет ничего общего с физическим пространством, за исключением похожего математического формализма. Изоспин описывается двумя квантовыми числами : $I$ – полный изоспин, и $I$ ₃ – собственное значение проекции I _z , для которой состояния аромата являются собственными состояниями . Другими словами, каждое состояние $I$ _{3 определяет определенное состояние аромата}мультиплета . Третья координата ( $z$ ), к которой относится нижний индекс "3", выбрана из-за соглашений об обозначениях, которые связывают базы в 2- и 3- представительных пространствах. А именно, для спина- ⁠1/2⁠ случае компоненты I равны матрицам Паули, деленным на 2, и поэтому I _z = ⁠1/2⁠ $τ$ ₃ , где

\tau _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.

Хотя формы этих матриц изоморфны формам спина, эти матрицы Паули действуют только в гильбертовом пространстве изоспина, а не спина, и поэтому их принято обозначать как τ, а не σ, чтобы избежать путаницы.

Хотя изоспиновая симметрия на самом деле очень слабо нарушена, симметрия SU(3) нарушена сильнее из-за гораздо большей массы странного кварка по сравнению с верхним и нижним. Открытие очарования , дна и верха может привести к дальнейшему расширению до симметрии аромата SU(6) , которая сохранялась бы, если бы все шесть кварков были идентичны. Однако гораздо большие массы очарованного, дна и верха кварков означают, что симметрия аромата SU(6) очень сильно нарушена по своей природе (по крайней мере, при низких энергиях), и предположение об этой симметрии приводит к качественно и количественно неверным предсказаниям. В современных приложениях, таких как решеточная КХД , изоспиновая симметрия часто рассматривается как точная для трех легких кварков (uds), в то время как три тяжелых кварка (cbt) должны рассматриваться отдельно.

Номенклатура адронов

Номенклатура адронов основана на изоспине. ^[4]

Частицы полного изоспина ⁠3/2⁠ называются дельта-барионами и могут быть получены путем комбинации любых трех верхних или нижних кварков (но только верхних или нижних кварков).
Частицы с полным изоспином 1 могут состоять из двух верхних кварков, двух нижних кварков или по одному из каждого:
- некоторые мезоны – далее дифференцируются по общему спину на пионы (общий спин 0) и ро-мезоны (общий спин 1)
- с дополнительным кварком высшего вкуса – сигма-барионами
Частицы полного изоспина ⁠1/2⁠ можно изготовить из:
- один верхний или нижний кварк вместе с дополнительным кварком более высокого аромата – странным ( каоны ), очаровательным ( D-мезон ) или нижним ( B-мезон )
- один верхний или нижний кварк вместе с двумя дополнительными кварками более высокого аромата – кси-барион
- верхний кварк, нижний кварк и либо верхний, либо нижний кварк – нуклоны . Обратите внимание, что три одинаковых кварка были бы запрещены принципом исключения Паули из -за требования антисимметричной волновой функции
Частицы с полным изоспином 0 могут быть получены из
- нейтральная пара кварк-антикварк: или ^{[примечание 1]} – эта-мезоны $\mathrm {u{\bar {u}}}$ $\mathrm {d{\bar {d}}}$
- один верхний кварк и один нижний кварк, с дополнительным кварком более высокого аромата – лямбда-барионы
- все, что не включает в себя ни верхние, ни нижние кварки

^ Волновая функция аромата должна иметь форму для комбинации изоспина-0, как получается $c_{1}(\mathrm {u{\bar {u}}+d{\bar {d}}} )+c_{2}(\mathrm {s{\bar {s}}} )$ ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(\mathrm {u{\bar {u}}-d{\bar {d}}} )$ $I=1$

История

Происхождение изоспина

В 1932 году Вернер Гейзенберг ^[5] ввел новую (безымянную) концепцию для объяснения связывания протона и недавно открытого тогда нейтрона (символ n). Его модель напоминала модель связи для молекулы иона водорода, H ₂⁺ : один электрон был общим для двух протонов. Теория Гейзенберга имела несколько проблем, наиболее заметной из которых было то, что она неверно предсказывала исключительно сильную энергию связи He ⁺² , альфа-частиц . Однако ее равноправное отношение к протону и нейтрону приобрело значение, когда несколько экспериментальных исследований показали, что эти частицы должны связываться почти одинаково. ^[6]^{: 39} В ответ Юджин Вигнер использовал концепцию Гейзенберга в своей статье 1937 года, где он ввел термин «изотопный спин», чтобы указать, как эта концепция похожа на спин по поведению. ^[7]

Зоопарк частиц

Эти соображения также оказались полезными при анализе мезон -нуклонных взаимодействий после открытия пионов в 1947 году. Три пиона (
π⁺
,
π⁰
,
π⁻
) можно было бы отнести к триплету изоспина с $I = 1$ и $I 3 = +1, 0 или -1$ . Предположив, что изоспин сохраняется ядерными взаимодействиями, новые мезоны было бы легче приспособить к ядерной теории.

По мере обнаружения новых частиц их стали относить к изоспиновым мультиплетам в соответствии с числом наблюдаемых различных зарядовых состояний: 2 дублета $I = ⁠ 1 / 2 ⁠$ K -мезонов (
К⁻
,
К⁰
), (
К⁺
,
К⁰
), триплет $I = 1$ сигма-барионов (
Σ⁺
,
Σ⁰
,
Σ⁻
), синглет $I = 0$ лямбда-барион (
Λ⁰
), квартет $I = ⁠ 3 / 2 ⁠$ Дельта-барионы (
Δ⁺⁺
,
Δ⁺
,
Δ⁰
,
Δ⁻
), и так далее.

Сила изоспиновой симметрии и связанных с ней методов исходит из наблюдения, что семейства частиц с похожими массами, как правило, соответствуют инвариантным подпространствам, связанным с неприводимыми представлениями алгебры Ли SU(2). В этом контексте инвариантное подпространство охватывается базисными векторами, которые соответствуют частицам в семействе. Под действием алгебры Ли SU(2), которая генерирует вращения в изоспиновом пространстве, элементы, соответствующие определенным состояниям частиц или суперпозициям состояний, могут вращаться друг в друга, но никогда не могут покинуть пространство (поскольку подпространство фактически инвариантно). Это отражает присутствующую симметрию. Тот факт, что унитарные матрицы будут коммутировать с гамильтонианом, означает, что вычисляемые физические величины не изменяются даже при унитарном преобразовании. В случае изоспина этот механизм используется для отражения того факта, что математика сильного взаимодействия ведет себя одинаково, если протон и нейтрон меняются местами (в современной формулировке верхний и нижний кварки).

Пример: дельта-барионы

Например, частицы, известные как дельта-барионы – барионы со спином ⁠3/2⁠ – были сгруппированы вместе, потому что все они имеют почти одинаковую массу (приблизительно1232 МэВ/ с2 ) ^и взаимодействуют примерно одинаково.

Их можно было бы рассматривать как одну и ту же частицу, с разницей в заряде, обусловленной тем, что частица находится в разных состояниях. Изоспин был введен для того, чтобы быть переменной, которая определяет эту разницу состояний. В аналоге спина проекция изоспина (обозначаемая $I 3$ ) связана с каждым заряженным состоянием; поскольку было четыре дельты, требовалось четыре проекции. Как и спин, проекции изоспина были сделаны изменяющимися с шагом 1. Следовательно, для того, чтобы иметь четыре шага приращения 1, значение изоспина ⁠3/2⁠ требуется (с учетом проекций $I 3 = + ⁠ 3 / 2 ⁠, + ⁠ 1 / 2 ⁠, - ⁠ 1 / 2 ⁠, - ⁠ 3 / 2 ⁠$ ). Таким образом, все Дельты, как было сказано, имеют изоспин $I = ⁠ 3 / 2 ⁠$ , и каждый отдельный заряд имел разный $I 3$ (например,
Δ⁺⁺
был связан с $I 3 = + ⁠ 3 / 2 ⁠$ ).

В картине изоспина четыре дельта и два нуклона считались просто разными состояниями двух частиц. Теперь считается, что дельта-барионы состоят из смеси трех верхних и нижних кварков – ууу (
Δ⁺⁺
), ууд (
Δ⁺
), удд (
Δ⁰
), и ддд (
Δ⁻
); разница в заряде представляет собой разницу в зарядах верхних и нижних кварков (+ ⁠2/3⁠ е и − ⁠1/3⁠ e соответственно); однако их также можно рассматривать как возбужденные состояния нуклонов.

Изоспиновая калиброванная симметрия

Были предприняты попытки перевести изоспин из глобальной в локальную симметрию. В 1954 году Чэнь Нин Ян и Роберт Миллс предположили, что понятие протонов и нейтронов, которые непрерывно вращаются друг в друга изоспином, должно быть разрешено изменять от точки к точке. Чтобы описать это, направление протона и нейтрона в изоспиновом пространстве должно быть определено в каждой точке, что дает локальную основу для изоспина. Калибровочная связь затем описывала бы, как преобразовать изоспин вдоль пути между двумя точками.

Эта теория Янга–Миллса описывает взаимодействующие векторные бозоны, такие как фотон электромагнетизма. В отличие от фотона, калибровочная теория SU(2) содержала бы самовзаимодействующие калибровочные бозоны. Условие калибровочной инвариантности предполагает, что они имеют нулевую массу, как и в электромагнетизме.

Игнорируя проблему безмассовости, как это сделали Янг и Миллс, теория делает твердое предсказание: векторная частица должна универсально связываться со всеми частицами данного изоспина . Связь с нуклоном будет такой же, как связь с каонами . Связь с пионами будет такой же, как самосвязь векторных бозонов с самими собой.

Когда Янг и Миллс предложили теорию, не было кандидата на векторный бозон. Дж. Дж. Сакурай в 1960 году предсказал, что должен быть массивный векторный бозон, который связан с изоспином, и предсказал, что он будет демонстрировать универсальные связи. Ро-мезоны были открыты вскоре после этого и быстро идентифицированы как векторные бозоны Сакурай. Связи ро с нуклонами и друг с другом были проверены как универсальные, насколько это мог измерить эксперимент. Тот факт, что диагональный изоспиновый ток содержит часть электромагнитного тока, привел к предсказанию смешивания ро-фотонов и концепции доминирования векторных мезонов , идеи, которые привели к успешным теоретическим картинам рассеяния фотонов на ядре в масштабе ГэВ.

Введение кварков

Комбинации трех u, d или s-кварков, образующие барионы со спином -3 ⁄ 2, образуют барионный *декуплет* .

Комбинации трех u, d или s-кварков, образующих барионы со спином 1 ⁄ 2, образуют *барионный октет.*

Открытие и последующий анализ дополнительных частиц, как мезонов , так и барионов , ясно показали, что концепция изоспиновой симметрии может быть расширена до еще большей группы симметрии, теперь называемой ароматической симметрией . Как только каоны и их свойство странности стали лучше поняты, стало ясно, что они тоже, по-видимому, являются частью расширенной симметрии, содержащей изоспин в качестве подгруппы. Более крупная симметрия была названа Мюрреем Гелл-Манном Восьмеричным Путем и была быстро признана соответствующей присоединенному представлению SU(3) . Чтобы лучше понять происхождение этой симметрии, Гелл-Ман предположил существование верхних, нижних и странных кварков , которые принадлежали бы к фундаментальному представлению ароматической симметрии SU(3).

В кварковой модели проекция изоспина ( I ₃ ) следовала из содержания кварков вверх и вниз в частицах; uud для протона и udd для нейтрона. Технически, состояния дублета нуклона рассматриваются как линейные комбинации произведений состояний дублета изоспина из 3 частиц и состояний дублета спина. То есть, волновая функция протона (спин вверх) , в терминах собственных состояний аромата кварка, описывается как ^[2]

$\vert \mathrm {p} \uparrow \rangle ={\frac {1}{3{\sqrt {2}}}}\left({\begin{array}{ccc}\vert \mathrm {duu} \rangle &\vert \mathrm {udu} \rangle &\vert \mathrm {uud} \rangle \end{array}}\right)\left({\begin{array}{ccc}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}\left\vert \downarrow \uparrow \uparrow \right\rangle \\\left\vert \uparrow \downarrow \uparrow \right\rangle \\\left\vert \uparrow \uparrow \downarrow \right\rangle \end{array}}\right)$

и (спин-вверх) нейтрон

$\vert \mathrm {n} \uparrow \rangle ={\frac {1}{3{\sqrt {2}}}}\left({\begin{array}{ccc}\vert \mathrm {udd} \rangle &\vert \mathrm {dud} \rangle &\vert \mathrm {ddu} \rangle \end{array}}\right)\left({\begin{array}{ccc}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}\left\vert \downarrow \uparrow \uparrow \right\rangle \\\left\vert \uparrow \downarrow \uparrow \right\rangle \\\left\vert \uparrow \uparrow \downarrow \right\rangle \end{array}}\right).$

Здесь — собственное состояние аромата верхнего кварка , а — собственное состояние аромата нижнего кварка , тогда как и — собственные состояния . Хотя эти суперпозиции являются технически правильным способом обозначения протона и нейтрона в терминах собственных состояний аромата и спина кварка, для краткости их часто просто называют «uud» и «udd». Вывод выше предполагает точную изоспиновую симметрию и модифицирован членами, нарушающими SU(2). $\mathrm {\vert u\rangle }$ $\mathrm {\vert d\rangle }$ $\left\vert \uparrow \right\rangle$ $\left\vert \downarrow \right\rangle$ $S_{z}$

Аналогично изоспиновая симметрия пионов определяется выражением:

${\begin{aligned}\vert \pi ^{+}\rangle &=\vert \mathrm {u{\overline {d}}} \rangle \\\vert \pi ^{0}\rangle &={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(\vert \mathrm {u{\overline {u}}} \rangle -\vert \mathrm {d{\overline {d}}} \rangle \right)\\\vert \pi ^{-}\rangle &=-\vert \mathrm {d{\overline {u}}} \rangle .\end{aligned}}$

Хотя открытие кварков привело к переосмыслению мезонов как векторного связанного состояния кварка и антикварка, иногда все еще полезно думать о них как о калибровочных бозонах скрытой локальной симметрии. ^[8]

Слабый изоспин

В 1961 году Шелдон Глэшоу предположил, что соотношение, аналогичное формуле Гелл-Манна–Нисидзимы для заряда к изоспину, также применимо к слабому взаимодействию : ^[9]^[10]^{: 152} Здесь заряд связан с проекцией слабого изоспина и слабого гиперзаряда . Изоспин и слабый изоспин связаны с одной и той же симметрией, но для разных сил. Слабый изоспин является калибровочной симметрией слабого взаимодействия , которая связывает кварковые и лептонные дублеты левосторонних частиц во всех поколениях; например, верхние и нижние кварки, верхние и нижние кварки, электроны и электронные нейтрино. Напротив, (сильный) изоспин связывает только верхние и нижние кварки, действует на обе хиральности (левую и правую) и является глобальной (не калибровочной) симметрией. ^[11] $Q=T_{3}+{\frac {1}{2}}Y_{w}.$ $Q$ $T_{3}$ $Y_{w}$

Ссылки

^ Повх, Богдан; Клаус, Рит; Шольц, Кристоф; Зетше, Франк (2008) [1993]. «Глава 2». Частицы и ядра . Спрингер. п. 21. ISBN 978-3-540-79367-0.
^ abcdef Greiner, W. ; Müller, B. (1994). Квантовая механика: Симметрии (2-е изд.). Springer. стр. 279. ISBN 978-3540580805.
^ Пал, Палаш Баран (29 июля 2014 г.). Вводный курс физики элементарных частиц . CRC Press. стр. 226. ISBN 978-1-4822-1698-1.
^ Амслер, К.; и др. ( Particle Data Group ) (2008). "Обзор физики элементарных частиц: схема именования адронов" (PDF) . Physics Letters B. 667 ( 1): 1–6. Bibcode : 2008PhLB..667....1A. doi : 10.1016/j.physletb.2008.07.018. hdl : 1854/LU-685594 . S2CID 227119789.
^ Гейзенберг, В. (1932). «Убер ден Бау дер Атомкерне». Zeitschrift für Physik (на немецком языке). 77 (1–2): 1–11. Бибкод : 1932ZPhy...77....1H. дои : 10.1007/BF01342433. S2CID 186218053.
^ Браун, Л. М. (1988). "Заметки об истории изоспина". В Winter, Клаус; Телегди, Валентин Л. (ред.). Festi-Val: Праздничный сборник для Вала Телегди; эссе по физике в честь его 65-летия; [симпозиум ... состоялся в ЦЕРНе, Женева, 6 июля 1987 г.] . Амстердам: North-Holland Physics Publ. ISBN 978-0-444-87099-5.
^ Вигнер, Э. (1937). «О следствиях симметрии ядерного гамильтониана в спектроскопии ядер». Physical Review . 51 (2): 106–119. Bibcode :1937PhRv...51..106W. doi :10.1103/PhysRev.51.106.
^ Бандо, М.; Куго, Т.; Уэхара, С.; Ямаваки, К.; Янагида, Т. (1985). «Является ли ρ-мезон динамическим калибровочным бозоном скрытой локальной симметрии?». Physical Review Letters . 54 (12): 1215–1218. Bibcode : 1985PhRvL..54.1215B. doi : 10.1103/PhysRevLett.54.1215. PMID 10030967.
^ Глэшоу, Шелдон Л. (1961-02-01). "Частичные симметрии слабых взаимодействий". Nuclear Physics . 22 (4): 579–588. Bibcode : 1961NucPh..22..579G. doi : 10.1016/0029-5582(61)90469-2. ISSN 0029-5582.
^ Грейнер, Вальтер; Мюллер, Берндт; Грейнер, Вальтер (1996). Калибровочная теория слабых взаимодействий (2-е изд.). Берлин Гейдельберг Нью-Йорк Барселона Будапешт Гонконг Лондон Милан Париж Санта-Клара Сингапур Токио: Springer. ISBN 978-3-540-60227-9.
^ Robson, BA (октябрь 2004 г.). «Связь между сильным и слабым изоспином». International Journal of Modern Physics E. 13 ( 5): 999–1018. Bibcode : 2004IJMPE..13..999R. doi : 10.1142/S0218301304002521. ISSN 0218-3013.

Дальнейшее чтение

Itzykson, C.; Zuber, J.-B. (1980). Квантовая теория поля . McGraw-Hill . ISBN 978-0-07-032071-0.
Гриффитс, Д. (1987). Введение в элементарные частицы . John Wiley & Sons . ISBN 978-0-471-60386-3.

Смотрите также

Фактор Чана–Патона

Внешние ссылки

i8 i Данные о структуре и распаде ядра - Изоспин нуклидов МАГАТЭ