Подмножество

Множество, все элементы которого принадлежат другому множеству

Диаграмма Эйлера, показывающая, что
A является подмножеством B (обозначается ) и, наоборот, B является надмножеством A (обозначается ). ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle B\supseteq A}$

В математике множество A является подмножеством множества B , если все элементы A также являются элементами B ; тогда B является надмножеством A. Возможно, что A и B будут равны; если они не равны, то A является собственным подмножеством B. Отношение , при котором одно множество является подмножеством другого , называется включением (или иногда включением ). A является подмножеством B , может также быть выражено как B включает (или содержит) A или A включено (или содержится) в B. K - подмножество является подмножеством с k элементами.

При количественном определении представляется как ^[1] ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle \forall x\left(x\in A\Rightarrow x\in B\right).}$

Доказать это утверждение можно , применив метод доказательства, известный как аргумент элемента ^[2] : ${\displaystyle A\subseteq B}$

Пусть даны множества A и B. Чтобы доказать, что ${\displaystyle A\subseteq B,}$

1. предположим , что a — это определенный, но произвольно выбранный элемент A
2. покажите , что a является элементом B.

Обоснованность этого метода можно рассматривать как следствие универсального обобщения : метод показывает для произвольно выбранного элемента c . Универсальное обобщение тогда подразумевает, что эквивалентно тому , что указано выше. ${\displaystyle (c\in A)\Rightarrow (c\in B)}$ ${\displaystyle \forall x\left(x\in A\Rightarrow x\in B\right),}$ ${\displaystyle A\subseteq B,}$

Определение

Если A и B — множества и каждый элемент A является также элементом B , то:

• A — это подмножество B , обозначаемое как , или, что эквивалентно, ${\displaystyle A\subseteq B}$
• B — это надмножество A , обозначаемое как ${\displaystyle B\supseteq A.}$

Если A является подмножеством B , но A не равно B (т.е. существует по крайней мере один элемент B , который не является элементом A ), то:

• A — это собственное (или строгое ) подмножество B , обозначаемое как , или , что эквивалентно, ${\displaystyle A\subsetneq B}$
• B — это собственное (или строгое ) надмножество A , обозначаемое как ${\displaystyle B\supsetneq A.}$

Пустое множество , записанное как или , не имеет элементов и, следовательно, является подмножеством любого множества X . ${\displaystyle \{\}}$ ${\displaystyle \varnothing ,}$

Основные свойства

${\displaystyle A\subseteq B}$и подразумевает ${\displaystyle B\subseteq C}$ ${\displaystyle A\subseteq C.}$

• Рефлексивность : для любого множества[ ^3] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\subseteq A}$
• Транзитивность : Еслии, то ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle B\subseteq C}$ ${\displaystyle A\subseteq C}$
• Антисимметрия : Еслии, то. ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle B\subseteq A}$ ${\displaystyle A=B}$

Правильное подмножество

• Иррефлексивность : Для любого множестваявляетсяложным. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\subsetneq A}$
• Транзитивность : Еслии, то ${\displaystyle A\subsetneq B}$ ${\displaystyle B\subsetneq C}$ ${\displaystyle A\subsetneq C}$
• Асимметрия : ЕслитоЛожь. ${\displaystyle A\subsetneq B}$ ${\displaystyle B\subsetneq A}$

символы ⊂ и ⊃

Некоторые авторы используют символы и для обозначения подмножества и супермножества соответственно; то есть с тем же значением, что и вместо символов и ^[4] Например, для этих авторов верно для каждого множества A, что ( рефлексивное отношение ). ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle \supset }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \supseteq .}$ ${\displaystyle A\subset A.}$

Другие авторы предпочитают использовать символы и для обозначения собственного (также называемого строгим) подмножества и собственного надмножества соответственно; то есть, с тем же значением, что и вместо символов и ^[5] Такое использование делает и аналогичными символам неравенства и Например, если то x может быть или не быть равным y , но если то x определенно не равно y , и меньше y ( иррефлексивное отношение ). Аналогично, используя соглашение, что есть собственное подмножество, если то A может быть или не быть равным B , но если то A определенно не равно B . ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle \supset }$ ${\displaystyle \subsetneq }$ ${\displaystyle \supsetneq .}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle <.}$ ${\displaystyle x\leq y,}$ ${\displaystyle x<y,}$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle A\subseteq B,}$ ${\displaystyle A\subset B,}$

Примеры подмножеств

Правильные многоугольники образуют подмножество многоугольников.

• Множество A = {1, 2} является собственным подмножеством B = {1, 2, 3}, поэтому оба выражения и истинны. ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle A\subsetneq B}$
• Множество D = {1, 2, 3} является подмножеством (но не собственным подмножеством) E = {1, 2, 3}, поэтому является истинным и не является истинным (ложным). ${\displaystyle D\subseteq E}$ ${\displaystyle D\subsetneq E}$
• Множество { x : x — простое число, большее 10} является собственным подмножеством { x : x — нечетное число, большее 10}.
• Множество натуральных чисел является собственным подмножеством множества рациональных чисел ; аналогично, множество точек отрезка прямой является собственным подмножеством множества точек прямой . Это два примера, в которых и подмножество, и всё множество бесконечны, и подмножество имеет ту же мощность (понятие, которое соответствует размеру, то есть числу элементов, конечного множества), что и целое; такие случаи могут противоречить изначальной интуиции.
• Множество рациональных чисел является собственным подмножеством множества действительных чисел . В этом примере оба множества бесконечны, но последнее множество имеет большую мощность (или мощность ), чем первое множество.

Еще один пример на диаграмме Эйлера :

• 
  A является собственным подмножеством B.
• 
  C является подмножеством, но не является собственным подмножеством B.

Мощность набора

Множество всех подмножеств называется его множеством мощности и обозначается . ^[6] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$

Отношение включения является частичным порядком на множестве , определяемом . Мы также можем частично упорядочить с помощью обратного включения множества, определив ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ ${\displaystyle A\leq B\iff A\subseteq B}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ ${\displaystyle A\leq B{\text{ if and only if }}B\subseteq A.}$

Для множества мощности множества S частичный порядок включения — это (с точностью до изоморфизма порядка ) декартово произведение ( мощности S ) копий частичного порядка на , для которого Это можно проиллюстрировать , перечислив и связав с каждым подмножеством (т. е. каждым элементом ) k -кортеж , i - я координата которого равна 1, тогда и только тогда, когда является членом T . ${\displaystyle \operatorname {\mathcal {P}} (S)}$ ${\displaystyle k=|S|}$ ${\displaystyle \{0,1\}}$ ${\displaystyle 0<1.}$ ${\displaystyle S=\left\{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{k}\right\},}$ ${\displaystyle T\subseteq S}$ ${\displaystyle 2^{S}}$ ${\displaystyle \{0,1\}^{k},}$ ${\displaystyle s_{i}}$

Множество всех -подмножеств обозначается как , по аналогии с обозначением для биномиальных коэффициентов , которые подсчитывают количество -подмножеств -элементного множества. В теории множеств обозначение также распространено, особенно когда является трансфинитным кардинальным числом . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\tbinom {A}{k}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [A]^{k}}$ ${\displaystyle k}$

Другие свойства включения

• Множество A является подмножеством B тогда и только тогда, когда их пересечение равно A. Формально :

${\displaystyle A\subseteq B{\text{ if and only if }}A\cap B=A.}$

• Множество A является подмножеством B тогда и только тогда, когда их объединение равно B. Формально :

${\displaystyle A\subseteq B{\text{ if and only if }}A\cup B=B.}$

• Конечное множество A является подмножеством B тогда и только тогда, когда мощность их пересечения равна мощности A. Формально:

${\displaystyle A\subseteq B{\text{ if and only if }}|A\cap B|=|A|.}$

• Отношение подмножества определяет частичный порядок множеств. Фактически, подмножества данного множества образуют булеву алгебру относительно отношения подмножества, в которой соединение и встреча задаются пересечением и объединением , а само отношение подмножества является отношением булевого включения .
• Включение — это канонический частичный порядок , в том смысле, что каждое частично упорядоченное множество изоморфно некоторому набору множеств , упорядоченных включением. Порядковые числа — простой пример: если каждое порядковое число n отождествляется с множеством всех порядковых чисел, меньших или равных n , то тогда и только тогда, когда ${\displaystyle (X,\preceq )}$ ${\displaystyle [n]}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle [a]\subseteq [b].}$

Смотрите также

• Выпуклое подмножество  — в геометрии множество, пересечение которого с каждой прямой представляет собой один отрезок прямой.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Порядок включения  – Частичный порядок, который возникает как отношение включения подмножества в некоторой коллекции объектов.
• Мереология  – изучение частей и целых, которые они образуют
• Регион  – Связное открытое подмножество топологического пространства.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Задача о сумме подмножеств  – Задача на решение в информатике
• Субсумптивное сдерживание  – система элементов, которые подчинены друг другу
• Подпространство  – математическое множество с некоторой добавленной структурой.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Полное подмножество  – Подмножество T топологического векторного пространства X, где линейная оболочка T является плотным подмножеством X.

Ссылки

1. Розен, Кеннет Х. (2012). Дискретная математика и ее приложения (7-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. стр. 119. ISBN 978-0-07-338309-5.
2. Эпп, Сусанна С. (2011). Дискретная математика с приложениями (четвертое издание). стр. 337. ISBN 978-0-495-39132-6.
3. Столл, Роберт Р. Теория множеств и логика . Сан-Франциско, Калифорния: Dover Publications. ISBN 978-0-486-63829-4.
4. Рудин, Уолтер (1987), Действительный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill , стр. 6, ISBN 978-0-07-054234-1, МР  0924157
5. Подмножества и правильные подмножества (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 2013-01-23 , извлечено 2012-09-07
6. Weisstein, Eric W. "Subset". mathworld.wolfram.com . Получено 2020-08-23 .

Библиография

• Джех, Томас (2002). Теория множеств . Спрингер-Верлаг. ISBN 3-540-44085-2.

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с Подмножествами на Wikimedia Commons
• Вайсштейн, Эрик В. «Подмножество». MathWorld .