Акустический импеданс

Противодействие, которое система оказывает акустическому давлению

Акустический импеданс и удельный акустический импеданс являются мерами сопротивления, которое система оказывает акустическому потоку, возникающему в результате акустического давления , приложенного к системе. Единицей акустического сопротивления в системе СИ является паскаль-секунда на кубический метр (обозначение Па·с/м ³ ), или в системе МКС луч на квадратный метр (Райл/м ² ), а удельного акустического сопротивления — паскаль . -секунда на метр (Па·с/м), или в системе МКС райл (Rayl). ^[1] Существует близкая аналогия с электрическим импедансом , который измеряет сопротивление, которое система оказывает электрическому току , возникающему в результате приложенного к системе напряжения .

Математические определения

Акустический импеданс

Для линейной, не зависящей от времени системы, взаимосвязь между акустическим давлением, приложенным к системе, и результирующим акустическим объемным расходом через поверхность, перпендикулярную направлению этого давления в точке приложения, определяется выражением: ^{[ нужна ссылка ]}

${\displaystyle p(t)=[R*Q](t),}$

или эквивалентно

${\displaystyle Q(t)=[G*p](t),}$

где

• р – акустическое давление;
• Q – акустический объемный расход;
• ${\displaystyle *}$— оператор свертки ;
• R — акустическое сопротивление во временной области ;
• G = R ⁻¹ — акустическая проводимость во временной области ( R ⁻¹ — свертка, обратная R ).

Акустический импеданс , обозначаемый Z , представляет собой преобразование Лапласа или преобразование Фурье , или аналитическое представление акустического сопротивления во временной области : ^[1]

${\displaystyle Z(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[R](s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{{\mathcal {L}}[Q](s)}},}$

${\displaystyle Z(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[R](\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{{\mathcal {F}}[Q](\omega )}},}$

${\displaystyle Z(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}R_{\mathrm {a} }(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(Q^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

где

• ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$– оператор преобразования Лапласа;
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$– оператор преобразования Фурье;
• индекс «а» — оператор аналитического представления;
• Q ⁻¹ является сверткой, обратной Q .

Акустическое сопротивление , обозначаемое R , и акустическое реактивное сопротивление , обозначаемое X , представляют собой действительную и мнимую часть акустического импеданса соответственно: ^{[ нужна ссылка ]}

${\displaystyle Z(s)=R(s)+iX(s),}$

${\displaystyle Z(\omega )=R(\omega )+iX(\omega ),}$

${\displaystyle Z(t)=R(t)+iX(t),}$

где

• я — мнимая единица ;
• в Z ( s ), R ( s ) не является преобразованием Лапласа акустического сопротивления во временной области R ( t ), Z ( s ) есть;
• в Z ( ω ), R ( ω ) не является преобразованием Фурье акустического сопротивления во временной области R ( t ), Z ( ω );
• в Z ( t ), R ( t ) — акустическое сопротивление во временной области, а X ( t ) — преобразование Гильберта акустического сопротивления во временной области R ( t ), согласно определению аналитического представления.

Индуктивное акустическое реактивное сопротивление , обозначаемое X _L , и емкостное акустическое реактивное сопротивление , обозначаемое X _C , являются положительной и отрицательной частью акустического реактивного сопротивления соответственно: ^{[ нужна ссылка ]}

${\displaystyle X(s)=X_{L}(s)-X_{C}(s),}$

${\displaystyle X(\omega )=X_{L}(\omega )-X_{C}(\omega ),}$

${\displaystyle X(t)=X_{L}(t)-X_{C}(t).}$

Акустическая проводимость , обозначаемая Y , представляет собой преобразование Лапласа, или преобразование Фурье, или аналитическое представление акустической проводимости во временной области : ^[1]

${\displaystyle Y(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[G](s)={\frac {1}{Z(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}[Q](s)}{{\mathcal {L}}[p](s)}},}$

${\displaystyle Y(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[G](\omega )={\frac {1}{Z(\omega )}}={\frac {{\mathcal {F}}[Q](\omega )}{{\mathcal {F}}[p](\omega )}},}$

${\displaystyle Y(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}G_{\mathrm {a} }(t)=Z^{-1}(t)={\frac {1}{2}}\!\left[Q_{\mathrm {a} }*\left(p^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

где

• Z ⁻¹ — свертка, обратная Z ;
• p ⁻¹ — это свертка, обратная к p .

Акустическая проводимость , обозначаемая G , и акустическая восприимчивость , обозначаемая B , представляют собой действительную и мнимую часть акустической проводимости соответственно: ^{[ нужна ссылка ]}

${\displaystyle Y(s)=G(s)+iB(s),}$

${\displaystyle Y(\omega )=G(\omega )+iB(\omega ),}$

${\displaystyle Y(t)=G(t)+iB(t),}$

где

• в Y ( s ), G ( s ) не является преобразованием Лапласа акустической проводимости во временной области G ( t ), Y ( s ) есть;
• в Y ( ω ), G ( ω ) не является преобразованием Фурье акустической проводимости во временной области G ( t ), Y ( ω ) является;
• в Y ( t ), G ( t ) — акустическая проводимость во временной области, а B ( t ) — преобразование Гильберта акустической проводимости во временной области G ( t ), согласно определению аналитического представления.

Акустическое сопротивление представляет собой передачу энергии акустической волны. Давление и движение находятся в фазе, поэтому работа совершается в среде впереди волны. Акустическое реактивное сопротивление представляет собой давление, которое не совпадает по фазе с движением и не вызывает средней передачи энергии. ^{[ нужна цитата ]} Например, в закрытую лампу, подключенную к органной трубе, в нее будет поступать воздух и давление, но они не в фазе, поэтому в нее не передается чистая энергия. Когда давление повышается, воздух входит, а когда он падает, он выходит, но среднее давление при входе воздуха такое же, как и при выходе, поэтому энергия течет вперед и назад, но без усредненной по времени энергии. передача. ^{[ нужна цитата ]} Еще одна электрическая аналогия — это конденсатор, подключенный к линии электропередачи: ток течет через конденсатор, но он не в фазе с напряжением, поэтому в него не передается чистая мощность .

Удельное акустическое сопротивление

Для линейной, не зависящей от времени системы, связь между звуковым давлением, приложенным к системе, и результирующей скоростью частицы в направлении этого давления в точке ее приложения определяется выражением

${\displaystyle p(t)=[r*v](t),}$

или эквивалентно:

${\displaystyle v(t)=[g*p](t),}$

где

• р – акустическое давление;
• v – скорость частицы;
• r – удельное акустическое сопротивление во временной области ;
• g = r ⁻¹ — удельная акустическая проводимость во временной области ( r ⁻¹ — свертка, обратная r ). ^{[ нужна цитата ]}

Удельный акустический импеданс , обозначаемый z , представляет собой преобразование Лапласа, или преобразование Фурье, или аналитическое представление удельного акустического сопротивления во временной области : ^[1]

${\displaystyle z(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[r](s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{{\mathcal {L}}[v](s)}},}$

${\displaystyle z(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[r](\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{{\mathcal {F}}[v](\omega )}},}$

${\displaystyle z(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}r_{\mathrm {a} }(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(v^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

где v ⁻¹ — свертка, обратная v .

Удельное акустическое сопротивление , обозначаемое r , и удельное акустическое реактивное сопротивление , обозначаемое x , представляют собой действительную и мнимую часть удельного акустического импеданса соответственно: ^{[ нужна ссылка ]}

${\displaystyle z(s)=r(s)+ix(s),}$

${\displaystyle z(\omega )=r(\omega )+ix(\omega ),}$

${\displaystyle z(t)=r(t)+ix(t),}$

где

• в z ( s ), r ( s ) не является преобразованием Лапласа удельного акустического сопротивления во временной области r ( t ), z ( s );
• в z ( ω ), r ( ω ) не является преобразованием Фурье удельного акустического сопротивления во временной области r ( t ), z ( ω );
• в z ( t ), r ( t ) — удельное акустическое сопротивление во временной области, а x ( t ) — преобразование Гильберта удельного акустического сопротивления во временной области r ( t ), согласно определению аналитического представления.

Удельное индуктивное акустическое сопротивление , обозначаемое x _L , и удельное емкостное акустическое реактивное сопротивление , обозначаемое x _C , являются положительной частью и отрицательной частью удельного акустического реактивного сопротивления соответственно: ^{[ нужна ссылка ]}

${\displaystyle x(s)=x_{L}(s)-x_{C}(s),}$

${\displaystyle x(\omega )=x_{L}(\omega )-x_{C}(\omega ),}$

${\displaystyle x(t)=x_{L}(t)-x_{C}(t).}$

Удельная акустическая проводимость , обозначаемая y , представляет собой преобразование Лапласа, или преобразование Фурье, или аналитическое представление удельной акустической проводимости во временной области : ^[1]

${\displaystyle y(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[g](s)={\frac {1}{z(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}[v](s)}{{\mathcal {L}}[p](s)}},}$

${\displaystyle y(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[g](\omega )={\frac {1}{z(\omega )}}={\frac {{\mathcal {F}}[v](\omega )}{{\mathcal {F}}[p](\omega )}},}$

${\displaystyle y(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}g_{\mathrm {a} }(t)=z^{-1}(t)={\frac {1}{2}}\!\left[v_{\mathrm {a} }*\left(p^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

где

• z ⁻¹ — свертка, обратная z ;
• p ⁻¹ — это свертка, обратная к p .

Удельная акустическая проводимость , обозначаемая g , и удельная акустическая восприимчивость , обозначаемая b , представляют собой действительную и мнимую часть удельной акустической проводимости соответственно: ^{[ нужна ссылка ]}

${\displaystyle y(s)=g(s)+ib(s),}$

${\displaystyle y(\omega )=g(\omega )+ib(\omega ),}$

${\displaystyle y(t)=g(t)+ib(t),}$

где

• в y ( s ), g ( s ) не является преобразованием Лапласа акустической проводимости во временной области g ( t ), y ( s );
• в y ( ω ), g ( ω ) не является преобразованием Фурье акустической проводимости во временной области g ( t ), y ( ω );
• в y ( t ), g ( t ) — акустическая проводимость во временной области, а b ( t ) — преобразование Гильберта акустической проводимости во временной области g ( t ), согласно определению аналитического представления.

Удельное акустическое сопротивление z — интенсивное свойство конкретной среды (например, можно указать z воздуха или воды); с другой стороны, акустический импеданс Z является обширным свойством конкретной среды и геометрии (например, можно указать Z конкретного воздуховода, заполненного воздухом). ^{[ нужна цитата ]}

Акустический Ом

Акустический ом — это единица измерения акустического импеданса. Единицей давления в системе СИ является паскаль, а расхода — кубические метры в секунду, поэтому акустический ом равен 1 Па·с/м ³ .

Акустический ом можно применять к потоку жидкости вне области акустики. Для таких применений можно использовать гидравлическое сопротивление идентичного определения. Измерением гидравлического сопротивления будет отношение гидравлического давления к объемному гидравлическому расходу.

Отношение

Для одномерной волны, проходящей через отверстие площадью A , акустический объемный расход Q — это объем среды, проходящий через отверстие в секунду; если акустический поток перемещается на расстояние d x = v d t , то объем проходящей через него среды равен d V = A d x , поэтому: ^{[ нужна ссылка ]}

${\displaystyle Q={\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} t}}=A{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=Av.}$

Если волна одномерна, она дает

${\displaystyle Z(s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{{\mathcal {L}}[Q](s)}}={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{A{\mathcal {L}}[v](s)}}={\frac {z(s)}{A}},}$

${\displaystyle Z(\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{{\mathcal {F}}[Q](\omega )}}={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{A{\mathcal {F}}[v](\omega )}}={\frac {z(\omega )}{A}},}$

${\displaystyle Z(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(Q^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left({\frac {v^{-1}}{A}}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t)={\frac {z(t)}{A}}.}$

Характеристическое акустическое сопротивление

Характеристическое удельное акустическое сопротивление

Основополагающий закон недисперсионной линейной акустики в одном измерении дает связь между напряжением и деформацией: ^[1]

${\displaystyle p=-\rho c^{2}{\frac {\partial \delta }{\partial x}},}$

где

• p – акустическое давление в среде;
• ρ – объемная массовая плотность среды;
• c – скорость звуковых волн, распространяющихся в среде;
• δ – смещение частицы ;
• x — пространственная переменная вдоль направления распространения звуковых волн.

Это уравнение справедливо как для жидкостей, так и для твердых тел. В

• жидкости , ρc ² = K ( K означает модуль объемного сжатия );
• твердых тел , ρc ² = K + 4/3 G ( G обозначает модуль сдвига ) для продольных волн и ρc ² = G для поперечных волн . ^{[ нужна цитата ]}

Второй закон Ньютона , применяемый локально в среде, дает: ^[2]

${\displaystyle \rho {\frac {\partial ^{2}\delta }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\partial p}{\partial x}}.}$

Объединение этого уравнения с предыдущим дает одномерное волновое уравнение :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\delta }{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}\delta }{\partial x^{2}}}.}$

Самолет волны

${\displaystyle \delta (\mathbf {r} ,\,t)=\delta (x,\,t)}$

которые являются решениями этого волнового уравнения, состоят из суммы двух прогрессивных плоских волн , движущихся вдоль x с одинаковой скоростью и в противоположных направлениях : ^{[ нужна ссылка ]}

${\displaystyle \delta (\mathbf {r} ,\,t)=f(x-ct)+g(x+ct)}$

из чего можно вывести

${\displaystyle v(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {\partial \delta }{\partial t}}(\mathbf {r} ,\,t)=-c{\big [}f'(x-ct)-g'(x+ct){\big ]},}$

${\displaystyle p(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}{\frac {\partial \delta }{\partial x}}(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}{\big [}f'(x-ct)+g'(x+ct){\big ]}.}$

Для прогрессивных плоских волн: ^{[ нужна ссылка ]}

${\displaystyle {\begin{cases}p(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}\,f'(x-ct)\\v(\mathbf {r} ,\,t)=-c\,f'(x-ct)\end{cases}}}$

или

${\displaystyle {\begin{cases}p(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}\,g'(x+ct)\\v(\mathbf {r} ,\,t)=c\,g'(x+ct).\end{cases}}}$

Наконец, удельный акустический импеданс z равен

${\displaystyle z(\mathbf {r} ,\,s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](\mathbf {r} ,\,s)}{{\mathcal {L}}[v](\mathbf {r} ,\,s)}}=\pm \rho c,}$

${\displaystyle z(\mathbf {r} ,\,\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\mathbf {r} ,\,\omega )}{{\mathcal {F}}[v](\mathbf {r} ,\,\omega )}}=\pm \rho c,}$

${\displaystyle z(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(v^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(\mathbf {r} ,\,t)=\pm \rho c.}$^{[ нужна цитата ]}

Абсолютное значение этого удельного акустического сопротивления часто называют характеристическим удельным акустическим сопротивлением и обозначают z ₀ : ^[1]

${\displaystyle z_{0}=\rho c.}$

Уравнения также показывают, что

${\displaystyle {\frac {p(\mathbf {r} ,\,t)}{v(\mathbf {r} ,\,t)}}=\pm \rho c=\pm z_{0}.}$

Влияние температуры

Температура влияет на скорость звука и плотность массы и, следовательно, на удельное акустическое сопротивление. ^{[ нужна цитата ]}

Характеристическое акустическое сопротивление

Для одномерной волны, проходящей через отверстие площадью A , Z = z / A , поэтому, если волна является прогрессивной плоской волной, то: ^{[ нужна ссылка ]}

${\displaystyle Z(\mathbf {r} ,\,s)=\pm {\frac {\rho c}{A}},}$

${\displaystyle Z(\mathbf {r} ,\,\omega )=\pm {\frac {\rho c}{A}},}$

${\displaystyle Z(\mathbf {r} ,\,t)=\pm {\frac {\rho c}{A}}.}$

Абсолютную величину этого акустического сопротивления часто называют характеристическим акустическим сопротивлением и обозначают Z ₀ : ^[1]

${\displaystyle Z_{0}={\frac {\rho c}{A}}.}$

а характеристическое удельное акустическое сопротивление равно

${\displaystyle {\frac {p(\mathbf {r} ,\,t)}{Q(\mathbf {r} ,\,t)}}=\pm {\frac {\rho c}{A}}=\pm Z_{0}.}$

Если отверстие площадью А является началом трубы и в трубу посылается плоская волна, то волна, проходящая через отверстие, является прогрессивной плоской волной при отсутствии отражений, и обычно отражения от другого конца трубы , открытые или закрытые, представляют собой сумму волн, бегущих от одного конца к другому. ^[3] (Если труба очень длинная, отражения могут отсутствовать из-за длительного времени, необходимого для возвращения отраженных волн, и их затухания из-за потерь на стенке трубы. ^[3] ) Такие отражения и возникающее в результате стояние волны очень важны в конструкции и эксплуатации музыкальных духовых инструментов. ^[4]

Смотрите также

• Акустическое затухание
• Землетрясение бомба
• Аналогия импеданса
• Механический импеданс

Рекомендации

1. Кинслер Л., Фрей А., Коппенс А., Сандерс Дж. (2000). Основы акустики . Хобокен: Уайли. ISBN 0-471-84789-5.
2. Аттенборо К., Постема М (2008). Карманное введение в акустику. Кингстон-апон-Халл: Университет Халла. дои : 10.5281/zenodo.7504060. ISBN 978-90-812588-2-1.
3. Россинг Т.Д., Флетчер, Нью-Хэмпшир (2004). Принципы вибрации и звука (2-е изд.). Гейдельберг: Спрингер. ISBN 978-1-4757-3822-3. ОКЛК  851835364.
4. Флетчер Н.Х., Россинг Т.Д. (1998). Физика музыкальных инструментов (2-е изд.). Гейдельберг: Спрингер. ISBN 978-0-387-21603-4. ОСЛК  883383570.

Внешние ссылки

• Волновое уравнение звука
• Что такое акустический импеданс и почему он важен?