Свободная логика — это логика с меньшим количеством экзистенциальных предпосылок, чем классическая логика. Свободная логика может допускать термины , которые не обозначают никаких объектов. Свободная логика может также допускать модели, которые имеют пустой домен . Свободная логика с последним свойством является инклюзивной логикой .
В классической логике есть теоремы, которые явно предполагают, что в области дискурса есть что-то . Рассмотрим следующие классически верные теоремы.
Действительная схема в теории равенства , которая демонстрирует ту же особенность [ необходимо разъяснение ] :
Неформально, если F есть '=y', G есть 'является Пегасом', и мы заменяем 'Пегас' вместо y, то (4) по-видимому позволяет нам вывести из 'все идентичное с Пегасом есть Пегас', что что-то идентично с Пегасом. Проблема возникает из-за замены необозначающих констант на переменные: на самом деле, мы не можем сделать этого в стандартных формулировках логики первого порядка , поскольку необозначающих констант нет. Классически, ∃x(x=y) выводится из аксиомы открытого равенства y=y посредством конкретизации (т. е. (3) выше).
В свободной логике (1) заменяется на
Аналогичные изменения вносятся в другие теоремы, имеющие экзистенциальное значение (например, экзистенциальное обобщение становится .
Аксиоматизации свободной логики даны Теодором Хайльперином (1957), [5] Яакко Хинтиккой (1959), [6] Карелом Ламбертом (1967), [7] и Ричардом Л. Мендельсоном (1989). [8]
Карел Ламберт писал в 1967 году: [7] «На самом деле, можно рассматривать свободную логику... буквально как теорию о единичном существовании, в том смысле, что она устанавливает определенные минимальные условия для этого понятия». Вопрос, который касался остальной части его статьи, состоял в описании теории и в выяснении, дает ли она необходимые и достаточные условия для утверждений о существовании.
Ламберт отмечает иронию в том, что Уиллард Ван Орман Куайн так яростно защищал форму логики, которая вмещает только его знаменитое изречение «Быть — значит быть значением переменной», когда логика дополняется расселовскими предположениями теории описаний . Он критикует этот подход, потому что он вкладывает слишком много идеологии в логику, которая должна быть философски нейтральной. Скорее, он указывает, что свободная логика не только обеспечивает критерий Куайна — она даже доказывает его! Однако это делается грубой силой, поскольку он берет в качестве аксиом и , что аккуратно формализует изречение Куайна. Таким образом, утверждает Ламберт, чтобы отвергнуть его конструкцию свободной логики, вам нужно отвергнуть философию Куайна, что требует некоторых аргументов и также означает, что любая логика, которую вы развиваете, всегда сопровождается условием, что вы должны отвергнуть Куайна, чтобы принять логику. Аналогично, если вы отвергаете Куайна, вы должны отвергнуть свободную логику. Это составляет вклад, который свободная логика вносит в онтологию.
Однако смысл свободной логики в том, чтобы иметь формализм, который не подразумевает никакой конкретной онтологии, а просто делает интерпретацию Куайна как формально возможной, так и простой. Преимущество этого в том, что формализация теорий сингулярного существования в свободной логике выявляет их следствия для легкого анализа. Ламберт берет пример теории, предложенной Уэсли С. Салмоном и Джорджем Нахкникяном [9], которая заключается в том, что существовать — значит быть самотождественным.
