Интеграция диска , также известная в интегральном исчислении как метод диска , представляет собой метод вычисления объема тела вращения твердого материала при интегрировании вдоль оси, «параллельной» оси вращения . Этот метод моделирует полученную трехмерную форму как стопку бесконечного числа дисков различного радиуса и бесконечно малой толщины. Также возможно использовать те же принципы с кольцами вместо дисков (« метод шайбы ») для получения полых тел вращения. Это отличается от интегрирования оболочки , которое интегрирует вдоль оси, перпендикулярной оси вращения.
Если функция вращения является функцией x , то следующий интеграл представляет объем тела вращения:
где R ( x ) — расстояние между функцией и осью вращения. Это работает только если ось вращения горизонтальна (пример: y = 3 или какая-то другая константа).
Если функция вращения является функцией y , то следующий интеграл даст объем тела вращения:
где R ( y ) — расстояние между функцией и осью вращения. Это работает только если ось вращения вертикальна (пример: x = 4 или какая-то другая константа).
Чтобы получить полое тело вращения («метод шайбы»), процедура будет заключаться в том, чтобы взять объем внутреннего тела вращения и вычесть его из объема внешнего тела вращения. Это можно вычислить в виде одного интеграла, аналогичного следующему:
где R O ( x ) — функция, которая находится дальше всего от оси вращения, а R I ( x ) — функция, которая находится ближе всего к оси вращения. Например, на следующем рисунке показано вращение вдоль оси x красного «листа», заключенного между квадратно-корневой и квадратичной кривыми:
Объем этого тела равен:
Следует проявлять осторожность и оценивать не квадрат разности двух функций, а разность квадратов двух функций.
(Эта формула работает только для вращений вокруг оси x .)
Чтобы повернуть вокруг любой горизонтальной оси, просто вычтите из этой оси из каждой формулы. Если h — значение горизонтальной оси, то объем равен
Например, чтобы повернуть область между y = −2 x + x 2 и y = x вдоль оси y = 4 , нужно проинтегрировать следующим образом:
Границы интегрирования — это нули первого уравнения за вычетом второго. Обратите внимание, что при интегрировании по оси, отличной от x , график функции, которая находится дальше всего от оси вращения, может быть не таким очевидным. В предыдущем примере, даже несмотря на то, что график y = x относительно оси x находится выше, чем график y = −2 x + x 2 , относительно оси вращения функция y = x является внутренней функцией: ее график ближе к y = 4 или уравнению оси вращения в примере.
Эту же идею можно применить как к оси y , так и к любой другой вертикальной оси. Нужно просто решить каждое уравнение относительно x, прежде чем вставлять их в формулу интегрирования.