Интеграция диска

Метод интегрирования для расчета объема

Интеграция диска , также известная в интегральном исчислении как метод диска , представляет собой метод вычисления объема тела вращения твердого материала при интегрировании вдоль оси, «параллельной» оси вращения . Этот метод моделирует полученную трехмерную форму как стопку бесконечного числа дисков различного радиуса и бесконечно малой толщины. Также возможно использовать те же принципы с кольцами вместо дисков (« метод шайбы ») для получения полых тел вращения. Это отличается от интегрирования оболочки , которое интегрирует вдоль оси, перпендикулярной оси вращения.

Определение

Функциях

Если функция вращения является функцией x , то следующий интеграл представляет объем тела вращения:

${\displaystyle \pi \int _{a}^{b}R(x)^{2}\,dx}$

где R ( x ) — расстояние между функцией и осью вращения. Это работает только если ось вращения горизонтальна (пример: y = 3 или какая-то другая константа).

Функцияу

Если функция, подлежащая вращению, является функцией y , то следующий интеграл даст объем тела вращения:

${\displaystyle \pi \int _{c}^{d}R(y)^{2}\,dy}$

где R ( y ) — расстояние между функцией и осью вращения. Это работает только если ось вращения вертикальна (пример: x = 4 или какая-то другая константа).

Метод мойки

Чтобы получить полое тело вращения («метод шайбы»), процедура будет заключаться в том, чтобы взять объем внутреннего тела вращения и вычесть его из объема внешнего тела вращения. Это можно вычислить в виде одного интеграла, аналогичного следующему:

${\displaystyle \pi \int _{a}^{b}\left(R_{\mathrm {O} }(x)^{2}-R_{\mathrm {I} }(x)^{2}\right)\,dx}$

где R _O ( x ) — функция, которая находится дальше всего от оси вращения, а R _I ( x ) — функция, которая находится ближе всего к оси вращения. Например, на следующем рисунке показано вращение вдоль оси x красного «листа», заключенного между квадратно-корневой и квадратичной кривыми:

Вращение вокруг оси x

Объем этого тела равен:

${\displaystyle \pi \int _{0}^{1}\left(\left({\sqrt {x}}\right)^{2}-\left(x^{2}\right)^{2}\right)\,dx\,.}$

Следует проявлять осторожность и оценивать не квадрат разности двух функций, а разность квадратов двух функций.

${\displaystyle R_{\mathrm {O} }(x)^{2}-R_{\mathrm {I} }(x)^{2}\neq \left(R_{\mathrm {O} }(x)-R_{\mathrm {I} }(x)\right)^{2}}$

(Эта формула работает только для вращений вокруг оси x .)

Чтобы вращаться вокруг любой горизонтальной оси, просто вычтите из этой оси из каждой формулы. Если h — значение горизонтальной оси, то объем равен

${\displaystyle \pi \int _{a}^{b}\left(\left(h-R_{\mathrm {O} }(x)\right)^{2}-\left(h-R_{\mathrm {I} }(x)\right)^{2}\right)\,dx\,.}$

Например, чтобы повернуть область между y = −2 x + x ² и y = x вдоль оси y = 4 , нужно проинтегрировать следующим образом:

${\displaystyle \pi \int _{0}^{3}\left(\left(4-\left(-2x+x^{2}\right)\right)^{2}-(4-x)^{2}\right)\,dx\,.}$

Границы интегрирования — это нули первого уравнения за вычетом второго. Обратите внимание, что при интегрировании по оси, отличной от x , график функции, которая находится дальше всего от оси вращения, может быть не таким очевидным. В предыдущем примере, даже несмотря на то, что график y = x относительно оси x находится выше, чем график y = −2 x + x ² , относительно оси вращения функция y = x является внутренней функцией: ее график ближе к y = 4 или уравнению оси вращения в примере.

Эту же идею можно применить как к оси y , так и к любой другой вертикальной оси. Нужно просто решить каждое уравнение относительно x, прежде чем вставлять их в формулу интегрирования.

Смотрите также

• Твердая часть революции
• Интеграция оболочки

Ссылки

• «Объемы тел вращения». CliffsNotes.com . Получено 8 июля 2014 г. .
• Вайсштейн, Эрик В. «Метод дисков». MathWorld .
• Фрэнк Айрес , Эллиот Мендельсон . Очерки Шаума : исчисление . McGraw-Hill Professional 2008, ISBN 978-0-07-150861-2 . стр. 244–248 ( электронная копия , стр. 244, в Google Books . Получено 12 июля 2013 г.)