Условия интегрируемости дифференциальных систем

В математике некоторые системы уравнений с частными производными полезно формулировать, с точки зрения их базовой геометрической и алгебраической структуры, в терминах системы дифференциальных форм . Идея состоит в том, чтобы воспользоваться тем, как дифференциальная форма ограничивается подмногообразием , и тем фактом, что это ограничение совместимо с внешней производной . Это один из возможных подходов к некоторым переопределенным системам , например, включая пары Лакса интегрируемых систем . Пфаффова система определяется только 1-формами , но теория включает другие типы примеров дифференциальных систем . Чтобы уточнить, пфаффова система представляет собой набор 1-форм на гладком многообразии (который устанавливается равным 0, чтобы найти решения системы).

Если задан набор дифференциальных 1-форм на -мерном многообразии , то интегральное многообразие представляет собой погруженное (не обязательно вложенное) подмногообразие, касательное пространство которого в каждой точке аннулируется (образом) каждого . ${\displaystyle \textstyle \alpha _{i},i=1,2,\dots ,k}$ ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \textstyle p\in N}$ ${\displaystyle \textstyle \alpha _{i}}$

Максимальное интегральное многообразие — это погруженное (не обязательно вложенное) подмногообразие.

${\displaystyle i:N\subset M}$

таким образом, что ядро ​​карты ограничений на формы

${\displaystyle i^{*}:\Omega _{p}^{1}(M)\rightarrow \Omega _{p}^{1}(N)}$

охватывается в каждой точке . Если вдобавок линейно независимы, то является ( )-мерным. ${\displaystyle \textstyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \textstyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n-k}$

Говорят, что система Пфаффа полностью интегрируема, если допускает слоение с помощью максимальных интегральных многообразий. (Обратите внимание, что слоение не обязательно должно быть регулярным ; т. е. листы слоения могут не быть вложенными подмногообразиями.) ${\displaystyle M}$

Условие интегрируемости — это условие, гарантирующее существование интегральных подмногообразий достаточно высокой размерности. ${\displaystyle \alpha _{i}}$

Необходимые и достаточные условия

Необходимые и достаточные условия полной интегрируемости пфаффовой системы задаются теоремой Фробениуса . Одна из версий утверждает, что если идеал, алгебраически порожденный набором α _i внутри кольца Ω( M ), дифференциально замкнут, другими словами ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

${\displaystyle d{\mathcal {I}}\subset {\mathcal {I}},}$

тогда система допускает расслоение на максимальные интегральные многообразия. (Обратное очевидно из определений.)

Пример неинтегрируемой системы

Не каждая пфаффова система полностью интегрируема в смысле Фробениуса. Например, рассмотрим следующую одну-форму на R ³ − (0,0,0) :

${\displaystyle \theta =z\,dx+x\,dy+y\,dz.}$

Если бы dθ был в идеале, порожденном θ, мы бы имели, в силу асимметрии клинового произведения

${\displaystyle \theta \wedge d\theta =0.}$

Но прямой расчет дает

${\displaystyle \theta \wedge d\theta =(x+y+z)\,dx\wedge dy\wedge dz}$

что является ненулевым кратным стандартной формы объема на R ³ . Следовательно, нет двумерных листьев, и система не является полностью интегрируемой.

С другой стороны, для кривой, определяемой

${\displaystyle x=t,\quad y=c,\qquad z=e^{-t/c},\quad t>0}$

тогда θ, определенный выше, равен 0, и, следовательно, легко проверить, что кривая является решением (т.е. интегральной кривой ) для указанной выше системы Пфаффа для любой ненулевой константы c .

Примеры применения

В римановой геометрии мы можем рассмотреть задачу нахождения ортогонального кофрейма θ ⁱ , т. е. набора 1-форм, образующих базис кокасательного пространства в каждой точке, с которой замкнуты (dθ ⁱ = 0, i  = 1, 2, ...,  n ). По лемме Пуанкаре θ ⁱ локально будет иметь вид d x ⁱ для некоторых функций x ⁱ на многообразии и, таким образом, обеспечивать изометрию открытого подмножества M с открытым подмножеством R ⁿ . Такое многообразие называется локально плоским. ${\displaystyle \langle \theta ^{i},\theta ^{j}\rangle =\delta ^{ij}}$

Эта проблема сводится к вопросу о связке кофрейма M. Предположим , что у нас есть такой замкнутый кофрейм

${\displaystyle \Theta =(\theta ^{1},\dots ,\theta ^{n}).}$

Если бы у нас был другой кофрейм , то два кофрейма были бы связаны ортогональным преобразованием ${\displaystyle \Phi =(\phi ^{1},\dots ,\phi ^{n})}$

${\displaystyle \Phi =M\Theta }$

Если связность 1-формы есть ω , то мы имеем

${\displaystyle d\Phi =\omega \wedge \Phi }$

С другой стороны,

${\displaystyle {\begin{aligned}d\Phi &=(dM)\wedge \Theta +M\wedge d\Theta \\&=(dM)\wedge \Theta \\&=(dM)M^{-1}\wedge \Phi .\end{aligned}}}$

Но является формой Маурера–Картана для ортогональной группы . Следовательно, она подчиняется структурному уравнению , и это просто кривизна M: После применения теоремы Фробениуса можно сделать вывод, что многообразие M является локально плоским тогда и только тогда, когда его кривизна равна нулю. ${\displaystyle \omega =(dM)M^{-1}}$ ${\displaystyle d\omega +\omega \wedge \omega =0,}$ ${\displaystyle \Omega =d\omega +\omega \wedge \omega =0.}$

Обобщения

Существует множество обобщений условий интегрируемости дифференциальных систем, которые не обязательно порождаются одними формами. Наиболее известными из них являются теорема Картана–Келера , которая работает только для вещественных аналитических дифференциальных систем, и теорема Картана–Кураниши о продолжении . Подробности см . в разделе «Дополнительная литература ». Теорема Ньюлендера–Ниренберга дает условия интегрируемости для почти комплексной структуры.

Дальнейшее чтение

• Брайант, Черн, Гарднер, Гольдшмидт, Гриффитс, Внешние дифференциальные системы , Публикации научно-исследовательского института математических наук, Springer-Verlag, ISBN  0-387-97411-3
• Олвер, П., Эквивалентность, инварианты и симметрия , Кембридж, ISBN 0-521-47811-1 
• Айви, Т., Ландсберг, Дж. М., Картан для начинающих: дифференциальная геометрия с помощью подвижных рамок и внешних дифференциальных систем , Американское математическое общество, ISBN 0-8218-3375-8 
• Дунайски, М., Солитоны, инстантоны и твисторы , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-857063-9