Бездисперсионное уравнение

Бездисперсионные (или квазиклассические) пределы интегрируемых частных дифференциальных уравнений (PDE) возникают в различных задачах математики и физики и интенсивно изучались в недавней литературе (см., например, ссылки ниже). Они обычно возникают при рассмотрении медленно модулированных длинных волн интегрируемой дисперсионной системы PDE.

Примеры

Бездисперсионное уравнение КП

Бездисперсионное уравнение Кадомцева–Петвиашвили (dKPE), также известное (с точностью до несущественной линейной замены переменных) как уравнение Хохлова–Заболотской , имеет вид

${\displaystyle (u_{t}+uu_{x})_{x}+u_{yy}=0,\qquad (1)}$

Это возникает из-за замены

${\displaystyle [L_{1},L_{2}]=0.\qquad (2)}$

из следующей пары 1-параметрических семейств векторных полей

${\displaystyle L_{1}=\partial _{y}+\lambda \partial _{x}-u_{x}\partial _{\lambda },\qquad (3a)}$

${\displaystyle L_{2}=\partial _{t}+(\lambda ^{2}+u)\partial _{x}+(-\lambda u_{x}+u_{y})\partial _{\lambda },\qquad (3b)}$

где - спектральный параметр. dKPE - это -бездисперсионный предел знаменитого уравнения Кадомцева-Петвиашвили , возникающий при рассмотрении длинных волн этой системы. dKPE, как и многие другие (2+1)-мерные интегрируемые бездисперсионные системы, допускает (3+1)-мерное обобщение. ^[1] ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle x}$

Уравнения моментов Бенни

Бездисперсионная система КП тесно связана с иерархией моментов Бенни , каждый из которых представляет собой бездисперсионную интегрируемую систему:

${\displaystyle A_{t_{2}}^{n}+A_{x}^{n+1}+nA^{n-1}A_{x}^{0}=0.}$

Они возникают как условие согласованности между

${\displaystyle \lambda =p+\sum _{n=0}^{\infty }A^{n}/p^{n+1},}$

и две простейшие эволюции в иерархии:

${\displaystyle p_{t_{2}}+pp_{x}+A_{x}^{0}=0,}$

${\displaystyle p_{t_{3}}+p^{2}p_{x}+(pA^{0}+A^{1})_{x}=0,}$

dKP восстанавливается при настройке

${\displaystyle u=A^{0},}$

и устранение других моментов, а также выявление и . ${\displaystyle y=t_{2}}$ ${\displaystyle t=t_{3}}$

Если задать , так чтобы счетное число моментов выражалось через всего две функции, то получаются классические уравнения мелкой воды : ${\displaystyle A^{n}=hv^{n}}$ ${\displaystyle A^{n}}$

${\displaystyle h_{y}+(hv)_{x}=0,}$

${\displaystyle v_{y}+vv_{x}+h_{x}=0.}$

Они также могут быть получены из рассмотрения медленно модулированных решений волнового поезда нелинейного уравнения Шредингера . Такие «редукции», выражающие моменты в терминах конечного числа зависимых переменных, описываются уравнением Гиббонса-Царева .

Бездисперсионное уравнение Кортевега–де Фриза.

Бездисперсионное уравнение Кортевега – де Фриза (dKdVE) имеет вид

${\displaystyle u_{t_{3}}=uu_{x}.\qquad (4)}$

Это бездисперсионный или квазиклассический предел уравнения Кортевега–де Фриза . Он удовлетворяется -независимыми решениями системы dKP. Он также может быть получен из -потока иерархии Бенни при задании ${\displaystyle t_{2}}$ ${\displaystyle t_{3}}$

${\displaystyle \lambda ^{2}=p^{2}+2A^{0}.}$

Бездисперсионное уравнение Новикова–Веселова.

Бездисперсионное уравнение Новикова-Веселова чаще всего записывается в виде следующего уравнения для действительной функции : ${\displaystyle v=v(x_{1},x_{2},t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\partial _{t}v=\partial _{z}(vw)+\partial _{\bar {z}}(v{\bar {w}}),\\&\partial _{\bar {z}}w=-3\partial _{z}v,\end{aligned}}}$

где используются следующие стандартные обозначения комплексного анализа: , . Функция здесь является вспомогательной функцией, определяемой однозначно с точностью до голоморфного слагаемого. ${\displaystyle \partial _{z}={\frac {1}{2}}(\partial _{x_{1}}-i\partial _{x_{2}})}$ ${\displaystyle \partial _{\bar {z}}={\frac {1}{2}}(\partial _{x_{1}}+i\partial _{x_{2}})}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle v}$

Многомерные интегрируемые бездисперсионные системы

См ^{. [1]} для систем с контактными парами Лакса, и, например, ^{[2] [3]} и ссылки в них для других систем.

Смотрите также

• Интегрируемые системы
• Нелинейное уравнение Шредингера
• Нелинейные системы
• Уравнение Дэви–Стюартсона
• Дисперсионное уравнение в частных производных
• Уравнение Кадомцева–Петвиашвили
• Уравнение Кортевега–де Фриза

Ссылки

Цитаты

1. Sergyeyev, A. (2018). "Новые интегрируемые (3 + 1)-мерные системы и контактная геометрия". Письма в математическую физику . 108 (2): 359–376. arXiv : 1401.2122 . Bibcode :2018LMaPh.108..359S. doi :10.1007/s11005-017-1013-4. S2CID  119159629.
2. Calderbank, David MJ; Kruglikov, Борис (2021). «Интегрируемость через геометрию: бездисперсионные дифференциальные уравнения в трех и четырех измерениях». Communications in Mathematical Physics . 382 (3): 1811–1841. arXiv : 1612.02753 . doi :10.1007/s00220-020-03913-y. MR  4232780.
3. Кругликов, Борис; Морозов, Олег (2015). «Интегрируемые бездисперсионные уравнения в частных производных в 4D, их псевдогруппы симметрии и деформации». Письма в математическую физику . 105 (12): 1703–1723. arXiv : 1410.7104 . Bibcode :2015LMaPh.105.1703K. doi :10.1007/s11005-015-0800-z. S2CID  119326497.

Библиография

• Кодама Й., Гиббонс Дж. «Интегрируемость бездисперсионной иерархии Кимберлийского процесса», Nonlinear World 1, (1990).
• Захаров В.Е. "Бездисперсионный предел интегрируемых систем в 2+1 измерениях", Сингулярные пределы дисперсионных волн, серия НАТО ASI, том 320, 165-174, (1994).
• Takasaki, Kanehisa; Takebe, Takashi (1995). "Integrable Hierarchies and Dispersionless Limit". Обзоры по математической физике . 07 (5): 743–808. arXiv : hep-th/9405096 . Bibcode :1995RvMaP...7..743T. doi :10.1142/S0129055X9500030X. S2CID  17351327.
• Конопельченко, Б.Г. (2007). «Квазиклассическое обобщенное представление Вейерштрасса и бездисперсионное уравнение DS». Журнал физики A: Математическое и теоретическое . 40 (46): F995–F1004. arXiv : 0709.4148 . doi :10.1088/1751-8113/40/46/F03. S2CID  18451590.
• Конопельченко, Б.Г.; Моро, А. (2004). «Интегрируемые уравнения в нелинейной геометрической оптике». Исследования по прикладной математике . 113 (4): 325–352. arXiv : nlin/0403051 . Bibcode :2004nlin......3051K. doi :10.1111/j.0022-2526.2004.01536.x. S2CID  17611812.
• Dunajski, Maciej (2008). "Интерполирующая бездисперсионная интегрируемая система". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 41 (31): 315202. arXiv : 0804.1234 . Bibcode :2008JPhA...41E5202D. doi :10.1088/1751-8113/41/31/315202. S2CID  15695718.
• Дунайски М. «Солитоны, инстантоны и твисторы», Oxford University Press, 2010.

Внешние ссылки

• Ishimori_system в вики дисперсионных уравнений
• Такебе Т. «Лекции по бездисперсионным интегрируемым иерархиям», 2014 г.