Слово « вероятность» использовалось по-разному с тех пор, как оно было впервые применено к математическому изучению азартных игр . Измеряет ли вероятность реальную, физическую тенденцию какого-либо события, или это мера того, насколько сильно человек верит, что это произойдет, или она опирается на оба этих элемента? Отвечая на такие вопросы, математики интерпретируют вероятностные значения теории вероятностей .
Есть две широкие категории [1] [2] вероятностных интерпретаций , которые можно назвать «физическими» и «доказательными» вероятностями. Физические вероятности, которые также называются объективными или частотными вероятностями , связаны со случайными физическими системами, такими как колеса рулетки, игральные кости и радиоактивные атомы. В таких системах событие определенного типа (например, выпадение шестерки на кубике) имеет тенденцию происходить с постоянной частотой или «относительной частотой» в течение длительного периода испытаний. Физические вероятности либо объясняют, либо используются для объяснения этих стабильных частот. Двумя основными видами теории физической вероятности являются частотные теории (например, теории Венна, [3], Райхенбаха [4] и фон Мизеса) [5] и теории склонностей (например, теории Поппера, Миллера, Гиера и Фетцера). [6]
Доказательная вероятность, также называемая байесовской вероятностью , может быть присвоена любому утверждению, даже если не задействован случайный процесс, как способ представления его субъективной правдоподобности или степени, в которой утверждение подтверждается имеющимися доказательствами. В большинстве случаев доказательные вероятности считаются степенями уверенности, определяемыми с точки зрения склонности к игре с определенными коэффициентами. Четырьмя основными доказательными интерпретациями являются классическая интерпретация (например, Лапласа) [7] , субъективная интерпретация ( де Финетти [8] и Сэвидж), [9] эпистемическая или индуктивная интерпретация ( Рэмси , [10] Кокс ) [11] и логическая интерпретация ( Кейнс [12] и Карнап ). [13] Существуют также доказательные интерпретации вероятностных охватывающих групп, которые часто называют «интерсубъективными» (предложенные Джиллисом [14] и Роуботтомом). [6]
Некоторые интерпретации вероятности связаны с подходами к статистическим выводам , включая теории оценки и проверки гипотез . Физическую интерпретацию, например, принимают последователи «частотных» статистических методов, такие как Рональд Фишер [ сомнительно – обсудить ] , Ежи Нейман и Эгон Пирсон . Статистики противоположной байесовской школы обычно принимают частотную интерпретацию, когда она имеет смысл (хотя и не как определение), но в отношении физических вероятностей согласия меньше. Байесианцы считают расчет доказательных вероятностей одновременно обоснованным и необходимым в статистике. Однако эта статья фокусируется на интерпретации вероятности, а не на теориях статистического вывода.
Терминология этой темы довольно запутанна, отчасти потому, что вероятности изучаются в самых разных научных областях. Слово «частотник» особенно сложное. Для философов это относится к конкретной теории физической вероятности, от которой более или менее отказались. С другой стороны, для ученых « частотная вероятность » — это просто другое название физической (или объективной) вероятности. Сторонники байесовского вывода рассматривают « частотную статистику » как подход к статистическому выводу, основанный на частотной интерпретации вероятности, обычно полагающийся на закон больших чисел и характеризующийся так называемой «проверкой значимости нулевой гипотезы» (NHST). Кроме того, слово «объективный», применительно к вероятности, иногда означает именно то, что здесь означает «физический», но также используется в отношении доказательных вероятностей, которые фиксируются рациональными ограничениями, такими как логические и эпистемические вероятности.
Все согласны с тем, что статистика каким-то образом зависит от вероятности. Но что касается того, что такое вероятность и как она связана со статистикой, редко случались столь полные разногласия и разрыв связи со времен Вавилонской башни. Несомненно, большая часть разногласий носит чисто терминологический характер и исчезла бы при достаточно тщательном анализе.
- Сэвидж, 1954, с. 2 [9]
Философия вероятности представляет проблемы главным образом в вопросах эпистемологии и непростого взаимодействия между математическими понятиями и обычным языком, используемым нематематиками. Теория вероятностей — признанная область исследования в математике. Оно берет свое начало в переписке, обсуждавшей математику азартных игр между Блезом Паскалем и Пьером де Ферма в семнадцатом веке, [15] и было формализовано и превращено в аксиоматику как отдельная ветвь математики Андреем Колмогоровым в двадцатом веке. В аксиоматической форме математические утверждения о теории вероятностей несут в философии математики ту же эпистемологическую уверенность, что и другие математические утверждения. [16] [17]
Математический анализ возник в результате наблюдений за поведением игрового оборудования, такого как игральные карты и кости , которые предназначены специально для введения случайных и уравненных элементов; с математической точки зрения они безразличны . Это не единственный способ использования вероятностных утверждений в обычном человеческом языке: когда люди говорят, что « вероятно будет дождь », они обычно не имеют в виду, что результат дождя или отсутствия дождя является случайным фактором, которому в настоящее время благоприятствуют шансы; вместо этого такие заявления, возможно, лучше понимать как обоснование их ожидания дождя с определенной степенью уверенности. Точно так же, когда пишут, что «наиболее вероятное объяснение» имени Ладлоу, штат Массачусетс , «состоит в том, что оно было названо в честь Роджера Ладлоу », здесь имеется в виду не то, что Роджеру Ладлоу благоприятствует случайный фактор, а скорее то, что это наиболее правдоподобное объяснение фактов, допускающее и другие, менее вероятные объяснения.
Томас Байес попытался создать логику , которая могла бы выдержать различную степень уверенности; как таковая, байесовская вероятность — это попытка переосмыслить представление вероятностных утверждений как выражение степени уверенности, с которой сохраняются выражаемые ими убеждения.
Хотя изначально вероятность имела несколько приземленные мотивы, ее современное влияние и использование широко распространены: от доказательной медицины до шести сигм и вплоть до вероятностно проверяемых доказательств и теории струн .
Первая попытка математической строгости в области вероятностей, которую отстаивал Пьер-Симон Лаплас , теперь известна как классическое определение . Разработанный на основе исследований азартных игр (таких как бросание кубиков ), он утверждает, что вероятность поровну распределяется между всеми возможными исходами при условии, что эти исходы можно считать одинаково вероятными. [1] (3.1)
Теория случайности состоит в том, чтобы свести все события одного и того же рода к определенному числу равновозможных случаев, то есть к таким, в существовании которых мы можем быть одинаково не уверены, и в определении числа случаев. благоприятствует событию, вероятность которого ищется. Отношение этого числа к числу всех возможных случаев является мерой этой вероятности, которая, таким образом, представляет собой просто дробь, числитель которой — число благоприятных случаев, а знаменатель — число всех возможных случаев.
- Пьер-Симон Лаплас, Философский очерк вероятностей [7]
Математически это можно представить следующим образом: если случайный эксперимент может привести к N взаимоисключающим и равновероятным результатам и если NA этих результатов приводит к возникновению события A , вероятность A определяется выражением
Классическое определение имеет два явных ограничения. [18] Во-первых, он применим только к ситуациям, в которых существует только «конечное» число возможных исходов. Но некоторые важные случайные эксперименты, такие как подбрасывание монеты до тех пор, пока на ней не выпадет орёл, приводят к бесконечному набору результатов. А во-вторых, требуется априорное определение того, что все возможные результаты одинаково вероятны, не попадая в ловушку круговых рассуждений , полагающихся на понятие вероятности. (Используя терминологию «мы можем быть в равной степени нерешительны», Лаплас предположил, согласно так называемому « принципу недостаточного основания », что все возможные исходы одинаково вероятны, если нет известной причины предполагать иное, для чего существует нет очевидного обоснования [19] [20] ).
Частотасты утверждают, что вероятность события – это его относительная частота во времени, [1] (3.4) т.е. его относительная частота возникновения после повторения процесса большое количество раз в аналогичных условиях. Это также известно как алеаторная вероятность. Предполагается, что события управляются некоторыми случайными физическими явлениями, которые либо являются явлениями, которые в принципе предсказуемы при наличии достаточной информации (см. детерминизм ); или явления, которые по существу непредсказуемы. Примеры первого типа включают бросание игральных костей или вращение рулетки ; примером второго рода является радиоактивный распад . В случае подбрасывания честной монеты специалисты по частоте говорят, что вероятность выпадения орла равна 1/2 не потому, что есть два одинаково вероятных исхода, а потому, что повторяющиеся серии большого количества испытаний демонстрируют, что эмпирическая частота сходится к пределу 1. /2, поскольку количество испытаний стремится к бесконечности.
Если обозначить через число появлений события в испытаниях, то если сказать, что .
Частотный подход имеет свои проблемы. Конечно, невозможно провести бесконечное количество повторений случайного эксперимента, чтобы определить вероятность события. Но если выполнить только конечное число повторений процесса, в разных сериях испытаний появятся разные относительные частоты. Если эти относительные частоты должны определять вероятность, то вероятность будет немного отличаться каждый раз, когда ее измеряют. Но реальная вероятность должна быть каждый раз одинаковой. Если мы признаем тот факт, что мы можем измерить вероятность только с некоторой ошибкой измерения, мы все равно столкнемся с проблемами, поскольку ошибка измерения может быть выражена только как вероятность, та самая концепция, которую мы пытаемся определить. Это делает даже определение частоты круговым; см., например, «Какова вероятность землетрясения?» [21]
Субъективисты, также известные как байесовцы или последователи эпистемической вероятности , придают понятию вероятности субъективный статус, рассматривая ее как меру «степени веры» человека, оценивающего неопределенность конкретной ситуации. Эпистемическую или субъективную вероятность иногда называют достоверностью , в отличие от термина «шанс» , обозначающего вероятность склонности. Некоторые примеры эпистемической вероятности заключаются в том, чтобы присвоить вероятность утверждению о том, что предлагаемый закон физики верен, или определить, насколько вероятно, что подозреваемый совершил преступление, на основе представленных доказательств. Использование байесовской вероятности вызывает философские дебаты о том, может ли она способствовать обоснованию убеждений . Байесианцы указывают на работу Рэмси [10] (стр. 182) и де Финетти [8] (стр. 103) как доказательство того, что субъективные убеждения должны следовать законам вероятности , если они хотят быть последовательными. [22] Имеющиеся данные ставят под сомнение то, что у людей будут последовательные убеждения. [23] [24] Использование байесовской вероятности предполагает указание априорной вероятности . Это можно получить, рассматривая вопрос о том, больше или меньше требуемая априорная вероятность эталонной вероятности [ необходимы разъяснения ] , связанной с моделью урны или мысленным экспериментом . Проблема в том, что для данной проблемы можно применить несколько мысленных экспериментов, и выбор одного зависит от суждения: разные люди могут назначать разные априорные вероятности, известные как проблема эталонного класса . Примером может служить « проблема восхода солнца ».
Теоретики склонности рассматривают вероятность как физическую склонность, или предрасположенность, или тенденцию данного типа физической ситуации привести к результату определенного типа или к получению относительной частоты такого результата в долгосрочной перспективе. [25] Этот вид объективной вероятности иногда называют «случайностью».
Склонности или шансы — это не относительные частоты, а предполагаемые причины наблюдаемых стабильных относительных частот. Склонности используются, чтобы объяснить, почему повторение определенного типа эксперимента будет генерировать заданные типы результатов с постоянной скоростью, которые известны как склонности или шансы. Частотисты не могут использовать этот подход, поскольку относительные частоты не существуют для одиночных подбрасываний монеты, а только для больших ансамблей или коллективов (см. «Возможен единичный случай» в таблице выше). [2] Напротив, пропенситист может использовать закон больших чисел для объяснения поведения долгосрочных частот. Этот закон, являющийся следствием аксиом вероятности, гласит, что если (например) монету подбрасывать многократно много раз, то вероятность выпадения орла при каждом броске одинакова, а результаты вероятностно независимо, то относительная частота выпадения орла будет близка к вероятности выпадения орла при каждом отдельном броске. Этот закон допускает, что стабильные долгосрочные частоты являются проявлением инвариантных единичных вероятностей. Помимо объяснения появления стабильных относительных частот, идея склонности мотивирована желанием понять смысл вероятностных определений в единичном случае в квантовой механике, таких как вероятность распада конкретного атома в определенное время.
Основная задача, стоящая перед теориями склонности, состоит в том, чтобы точно сказать, что означает склонность. (И затем, конечно, чтобы показать, что определенная таким образом склонность обладает необходимыми свойствами.) В настоящее время, к сожалению, ни одно из общепризнанных объяснений склонности не приближается к решению этой задачи.
Теорию склонности вероятности предложил Чарльз Сандерс Пирс . [26] [27] [28] [29] Более поздняя теория склонности была предложена философом Карлом Поппером , который, однако, лишь слегка знаком с работами К.С. Пирса. [26] [27] Поппер отмечал, что результат физического эксперимента определяется определенным набором «генерирующих условий». Когда мы повторяем эксперимент, как говорится, мы на самом деле проводим еще один эксперимент с (более или менее) похожим набором порождающих условий. Сказать, что набор порождающих условий имеет склонность p к созданию результата E, означает, что эти точные условия, если повторять их бесконечно, будут производить последовательность результатов, в которой E происходит с предельной относительной частотой p . Тогда, по мнению Поппера, детерминированный эксперимент будет иметь склонность 0 или 1 для каждого результата, поскольку условия, порождающие условия, будут иметь одинаковый результат в каждом испытании. Другими словами, нетривиальные склонности (отличные от 0 и 1) существуют только для действительно недетерминированных экспериментов.
Ряд других философов, в том числе Дэвид Миллер и Дональд А. Гиллис , предложили теории склонностей, несколько похожие на теории Поппера.
Другие теоретики склонностей (например, Рональд Гир [30] ) вообще не дают явного определения склонностей, а скорее рассматривают склонность как определенную теоретическую роль, которую она играет в науке. Например, они утверждали, что физические величины, такие как электрический заряд, также не могут быть явно определены с точки зрения более фундаментальных вещей, а только с точки зрения того, что они делают (например, притягивают и отталкивают другие электрические заряды). Подобным же образом склонность — это то, что выполняет различные роли, которые физическая вероятность играет в науке.
Какую роль играет физическая вероятность в науке? Каковы его свойства? Одним из центральных свойств случайности является то, что, если она известна, она вынуждает рациональное убеждение принимать одно и то же числовое значение. Дэвид Льюис назвал это « Основным принципом» [ 1] (3.3 и 3.5) — термин, который в основном приняли философы. Например, предположим, что вы уверены, что определенная смещенная монета имеет склонность 0,32 выпадать орлом каждый раз, когда ее подбрасывают. Какова тогда правильная цена за игру, в которой выплачивается 1 доллар, если монета выпадет орлом, и ничего больше? Согласно Основному принципу, справедливая цена составляет 32 цента.
Широко признано, что термин «вероятность» иногда используется в контекстах, где он не имеет ничего общего с физической случайностью. Рассмотрим, например, утверждение о том, что вымирание динозавров, вероятно, было вызвано падением на Землю большого метеорита. Такие утверждения, как «Гипотеза H, вероятно, верна», интерпретируются как означающие, что (доступные в настоящее время) эмпирические данные (скажем, E) поддерживают гипотезу H в высокой степени. Эта степень поддержки H со стороны E была названа логической , или эпистемической , или индуктивной вероятностью H при условии E.
Различия между этими интерпретациями довольно малы и могут показаться несущественными. Один из основных пунктов разногласий заключается в отношении между вероятностью и убеждением. Логические вероятности понимаются (например, в «Трактате о вероятностях» Кейнса [ 12] ) как объективные логические отношения между суждениями (или предложениями) и, следовательно, никоим образом не зависящие от убеждений. Это степени (частичного) следствия или степени логического следствия , а не степени веры . (Тем не менее, они диктуют надлежащие степени веры, как обсуждается ниже.) Фрэнк П. Рэмси , с другой стороны, скептически относился к существованию таких объективных логических отношений и утверждал, что (доказательная) вероятность — это «логика частичная вера». [10] (стр. 157) Другими словами, Рэмси считал, что эпистемические вероятности просто являются степенями рационального убеждения, а не логическими отношениями, которые просто ограничивают степени рационального убеждения.
Другой вопрос разногласий касается уникальности доказательной вероятности относительно данного уровня знаний. Рудольф Карнап , например, считал, что логические принципы всегда определяют уникальную логическую вероятность любого утверждения относительно любого массива доказательств. Рэмси, напротив, считал, что, хотя степень уверенности подвержена некоторым рациональным ограничениям (таким как, помимо прочего, аксиомы вероятности), эти ограничения обычно не определяют уникальное значение. Другими словами, рациональные люди могут несколько различаться по степени своей веры, даже если все они обладают одинаковой информацией.
Альтернативное объяснение вероятности подчеркивает роль предсказания – предсказание будущих наблюдений на основе прошлых наблюдений, а не на основе ненаблюдаемых параметров. В своей современной форме он в основном придерживается байесовского направления. Это была основная функция вероятности до 20-го века [31] , но она вышла из моды по сравнению с параметрическим подходом, который моделировал явления как физическую систему, наблюдаемую с ошибкой, например, в небесной механике .
Современный прогностический подход был впервые предложен Бруно де Финетти с центральной идеей взаимозаменяемости – что будущие наблюдения должны вести себя так же, как прошлые наблюдения. [31] Эта точка зрения привлекла внимание англоязычного мира после перевода книги де Финетти в 1974 году, [31] и с тех пор пропагандируется такими статистиками, как Сеймур Гейссер .
Математика вероятностей может быть разработана на полностью аксиоматической основе, независимой от какой-либо интерпретации: подробное рассмотрение см. в статьях по теории вероятностей и аксиомам вероятности .
