Метод графических зарядов

Методика расчета классической электростатики

Метод зарядов-изображений (также известный как метод изображений и метод зеркальных зарядов ) является основным инструментом решения задач в электростатике . Название происходит от замены определенных элементов в исходной схеме фиктивными зарядами, что воспроизводит граничные условия задачи (см. граничные условия Дирихле или граничные условия Неймана ).

Обоснованность метода зарядов-изображений основывается на следствии теоремы единственности , которая гласит, что электрический потенциал в объеме V определяется однозначно, если заданы как плотность заряда во всей области, так и значение электрического потенциала на всех границах. В качестве альтернативы применение этого следствия к дифференциальной форме закона Гаусса показывает, что в объеме V, окруженном проводниками и содержащем заданную плотность заряда ρ , электрическое поле определяется однозначно, если задан полный заряд на каждом проводнике. Обладая знаниями либо об электрическом потенциале, либо об электрическом поле и соответствующих граничных условиях, мы можем поменять рассматриваемое нами распределение зарядов на распределение с конфигурацией, которую легче анализировать, при условии, что оно удовлетворяет уравнению Пуассона в интересующей области и принимает правильные значения на границах. ^[1]

Отражение в проводящей плоскости

Поле положительного заряда над плоской проводящей поверхностью, найденное методом изображений.

Метод изображений для электрического дипольного момента в проводящей плоскости

Точечные обвинения

Простейшим примером метода зарядов изображения является точечный заряд с зарядом q , расположенный над бесконечной заземленной (т.е.: ) проводящей пластиной в плоскости xy . Чтобы упростить эту задачу, мы можем заменить пластину эквипотенциала зарядом − q , расположенным в . Такое расположение будет создавать то же самое электрическое поле в любой точке, для которой (т.е. над проводящей пластиной), и удовлетворяет граничному условию, что потенциал вдоль пластины должен быть равен нулю. Эта ситуация эквивалентна исходной установке, и поэтому сила, действующая на реальный заряд, теперь может быть рассчитана с помощью закона Кулона между двумя точечными зарядами. ^[2] ${\displaystyle (0,0,a)}$ ${\displaystyle V=0}$ ${\displaystyle (0,0,-a)}$ ${\displaystyle z>0}$

Потенциал в любой точке пространства, обусловленный этими двумя точечными зарядами + q в точке + a и − q в точке − a на оси z , задается в цилиндрических координатах как

${\displaystyle V\left(\rho ,\varphi ,z\right)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {q}{\sqrt {\rho ^{2}+\left(z-a\right)^{2}}}}+{\frac {-q}{\sqrt {\rho ^{2}+\left(z+a\right)^{2}}}}\right)\,}$

Поверхностная плотность заряда на заземленной плоскости, таким образом, определяется выражением

${\displaystyle \sigma =-\varepsilon _{0}\left.{\frac {\partial V}{\partial z}}\right|_{z=0}={\frac {-qa}{2\pi \left(\rho ^{2}+a^{2}\right)^{3/2}}}}$

Кроме того, полный заряд, индуцированный на проводящей плоскости, будет интегралом плотности заряда по всей плоскости, поэтому:

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{t}&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }\sigma \left(\rho \right)\,\rho \,d\rho \,d\theta \\[6pt]&={\frac {-qa}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{\infty }{\frac {\rho \,d\rho }{\left(\rho ^{2}+a^{2}\right)^{3/2}}}\\[6pt]&=-q\end{aligned}}}$

Полный заряд, индуцированный на плоскости, оказывается просто − q . Это также можно увидеть из закона Гаусса , учитывая, что поле диполя уменьшается пропорционально кубу расстояния на больших расстояниях, и, следовательно, полный поток поля через бесконечно большую сферу исчезает.

Поскольку электрические поля удовлетворяют принципу суперпозиции , проводящую плоскость под несколькими точечными зарядами можно заменить зеркальными отображениями каждого из зарядов по отдельности, без необходимости в каких-либо других модификациях.

Электрические дипольные моменты

Изображение электрического дипольного момента p в точке над бесконечной заземленной проводящей плоскостью в плоскости xy представляет собой дипольный момент в точке с равной величиной и направлением, повернутым азимутально на π. То есть дипольный момент с декартовыми компонентами будет иметь в изображении дипольный момент . Диполь испытывает силу в направлении z , заданную как ${\displaystyle (0,0,a)}$ ${\displaystyle (0,0,-a)}$ ${\displaystyle (p\sin \theta \cos \phi ,p\sin \theta \sin \phi ,p\cos \theta )}$ ${\displaystyle (-p\sin \theta \cos \phi ,-p\sin \theta \sin \phi ,p\cos \theta )}$

${\displaystyle F=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {3p^{2}}{16a^{4}}}\left(1+\cos ^{2}\theta \right)}$

и крутящий момент в плоскости, перпендикулярной диполю и проводящей плоскости,

${\displaystyle \tau =-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {p^{2}}{16a^{3}}}\sin 2\theta }$

Отражение в диэлектрическом плоском интерфейсе

Подобно проводящей плоскости, можно рассмотреть случай плоского интерфейса между двумя различными диэлектрическими средами. Если точечный заряд поместить в диэлектрик с диэлектрической проницаемостью , то интерфейс (с диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ) создаст связанный поляризационный заряд. Можно показать, что результирующее электрическое поле внутри диэлектрика, содержащего частицу, изменяется таким образом, что его можно описать зарядом изображения внутри другого диэлектрика. Однако внутри другого диэлектрика заряд изображения отсутствует. ^[3] ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \epsilon _{1}}$ ${\displaystyle \epsilon _{2}}$

В отличие от случая металла, заряд изображения не является в точности противоположным реальному заряду: . Он может даже не иметь тот же знак, если заряд помещен внутрь более прочного диэлектрического материала (заряды отталкиваются от областей с более низкой диэлектрической проницаемостью). Это видно из формулы. ${\displaystyle q'}$ ${\textstyle q'={\frac {\varepsilon _{1}-\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}}}q}$

Отражение в проводящей сфере

Диаграмма, иллюстрирующая метод изображения для уравнения Лапласа для сферы радиусом R. Зеленая точка — это заряд q, лежащий внутри сферы на расстоянии p от начала координат, красная точка — это изображение этой точки, имеющей заряд − qR / p , лежащее вне сферы на расстоянии R ² / p от начала координат. Потенциал, создаваемый двумя зарядами, равен нулю на поверхности сферы.

Линии поля вне заземленной сферы для заряда, размещенного вне сферы.

Для нескольких поверхностей требуется бесконечная серия точечных зарядов-изображений.

Точечные обвинения

Метод изображений может быть применен и к сфере. ^[4] Фактически, случай зарядов изображения на плоскости является частным случаем случая изображений для сферы. Обращаясь к рисунку, мы хотим найти потенциал внутри заземленной сферы радиуса R с центром в начале координат из-за точечного заряда внутри сферы в позиции (Для противоположного случая, потенциала снаружи сферы из-за заряда снаружи сферы, метод применяется аналогичным образом). На рисунке это представлено зеленой точкой. Пусть q будет точечным зарядом этой точки. Изображение этого заряда относительно заземленной сферы показано красным цветом. Он имеет заряд q ′ = − qR / p и лежит на линии, соединяющей центр сферы и внутренний заряд в позиции вектора . Можно видеть, что потенциал в точке, заданной радиусом-вектором из-за обоих зарядов, определяется суммой потенциалов: ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \left(R^{2}/p^{2}\right)\mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

${\displaystyle 4\pi \varepsilon _{0}V(\mathbf {r} )={\frac {q}{|\mathbf {r} _{1}|}}+{\frac {(-qR/p)}{|\mathbf {r} _{2}|}}={\frac {q}{\sqrt {r^{2}+p^{2}-2\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} }}}+{\frac {(-qR/p)}{\sqrt {r^{2}+{\frac {R^{4}}{p^{2}}}-{\frac {2R^{2}}{p^{2}}}\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} }}}}$

Умножение на самое правое выражение дает:

${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {q}{\sqrt {r^{2}+p^{2}-2\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} }}}-{\frac {q}{\sqrt {{\frac {r^{2}p^{2}}{R^{2}}}+R^{2}-2\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} }}}\right]}$

и можно видеть, что на поверхности сферы (т.е. когда r = R ) потенциал исчезает. Потенциал внутри сферы, таким образом, задается приведенным выше выражением для потенциала двух зарядов. Этот потенциал не будет действителен вне сферы, поскольку заряд изображения на самом деле не существует, а скорее «заменяет» поверхностные плотности заряда, индуцированные на сфере внутренним зарядом при . Потенциал снаружи заземленной сферы будет определяться только распределением заряда вне сферы и не будет зависеть от распределения заряда внутри сферы. Если для простоты (без потери общности) предположить, что внутренний заряд лежит на оси z, то индуцированная плотность заряда будет просто функцией полярного угла θ и будет определяться как: ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle \sigma (\theta )=\varepsilon _{0}\left.{\frac {\partial V}{\partial r}}\right|_{r=R}={\frac {-q\left(R^{2}-p^{2}\right)}{4\pi R\left(R^{2}+p^{2}-2pR\cos \theta \right)^{3/2}}}}$

Полный заряд на сфере можно найти, проинтегрировав по всем углам:

${\displaystyle Q_{t}=\int _{0}^{\pi }d\theta \int _{0}^{2\pi }d\phi \,\,\sigma (\theta )R^{2}\sin \theta =-q}$

Обратите внимание, что обратная задача также решается этим методом. Если у нас есть заряд q в векторном положении снаружи заземленной сферы радиуса R , потенциал снаружи сферы задается суммой потенциалов заряда и его заряда изображения внутри сферы. Так же, как и в первом случае, заряд изображения будет иметь заряд − qR / p и будет расположен в векторном положении . Потенциал внутри сферы будет зависеть только от истинного распределения заряда внутри сферы. В отличие от первого случая интеграл будет иметь значение − qR / p . ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \left(R^{2}/p^{2}\right)\mathbf {p} }$

Электрические дипольные моменты

Изображение электрического точечного диполя немного сложнее. Если диполь изобразить как два больших заряда, разделенных небольшим расстоянием, то изображение диполя будет иметь не только заряды, измененные вышеуказанной процедурой, но и расстояние между ними будет изменено. Следуя вышеуказанной процедуре, обнаруживается, что диполь с дипольным моментом в векторном положении, лежащем внутри сферы радиуса R, будет иметь изображение, расположенное в векторном положении (т.е. то же самое, что и для простого заряда), и будет иметь простой заряд: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \left(R^{2}/p^{2}\right)\mathbf {p} }$

${\displaystyle q'={\frac {R\mathbf {p} \cdot \mathbf {M} }{p^{3}}}}$

и дипольный момент:

${\displaystyle \mathbf {M} '=\left({\frac {R}{p}}\right)^{3}\left[-\mathbf {M} +{\frac {2\mathbf {p} (\mathbf {p} \cdot \mathbf {M} )}{p^{2}}}\right]}$

Метод инверсии

Метод изображений для сферы приводит непосредственно к методу инверсии. ^[5] Если у нас есть гармоническая функция положения , где — сферические координаты положения, то изображение этой гармонической функции в сфере радиуса R относительно начала координат будет ${\displaystyle \Phi (r,\theta ,\phi )}$ ${\displaystyle r,\theta ,\phi }$

${\displaystyle \Phi '(r,\theta ,\phi )={\frac {R}{r}}\,\Phi {\left({\frac {R^{2}}{r}},\theta ,\phi \right)}}$

Если потенциал возникает из набора зарядов величины в положениях , то потенциал изображения будет результатом ряда зарядов величины в положениях . Из этого следует, что если потенциал возникает из плотности заряда , то потенциал изображения будет результатом плотности заряда . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle (r_{i},\theta _{i},\phi _{i})}$ ${\displaystyle Rq_{i}/r_{i}}$ ${\displaystyle (R^{2}/r_{i},\theta _{i},\phi _{i})}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \rho (r,\theta ,\phi )}$ ${\displaystyle \rho '(r,\theta ,\phi )=(R/r)\rho (R^{2}/r,\theta ,\phi )}$

Смотрите также

• преобразование Кельвина
• Закон Кулона
• Теорема о дивергенции
• Поток
• Гауссова поверхность
• Принцип отражения Шварца
• Теорема единственности для уравнения Пуассона
• Изображение антенны
• Принцип эквивалентности поверхностей

Ссылки

Примечания

1. Гриффитс, Дэвид Дж. (2013). Введение в электродинамику (4-е изд.) . Пирсон . стр. 121. ISBN 978-0-321-85656-2.
2. Джинсы 1908, стр. 186
3. Джексон 1962, стр. 111
4. Тихонов, Андрей Н.; Самарский, Александр А. (1963). Уравнения математической физики. Нью-Йорк: Dover Publications . С. 354. ISBN 0-486-66422-8.
5. Джексон 1962, стр. 35

Источники

• Джексон, Джон Д. (1962). Классическая электродинамика. John Wiley & Sons .
• Джинс, Джеймс Х. (1908). Математическая теория электричества и магнетизма. Cambridge University Press .

Дальнейшее чтение

• Фейнман, Ричард ; Лейтон, Роберт Б.; Сэндс , Мэтью (1989). Лекции Фейнмана по физике , в основном электромагнетизм и материя . Эддисон-Уэсли . ISBN 0-201-51003-0.
• Ландау, Лев Д.; Лифшиц , Евгений М.; Питаевский , Лев П. (1960). Электродинамика сплошных сред. 2-е издание . Лондон: Elsevier . ISBN 978-0-7506-2634-7.
• Перселл, Эдвард М. Беркли Курс физики, том 2: Электричество и магнетизм (2-е изд.) . McGraw-Hill .