Рост Нерона–Тейта

В теории чисел высота Нерона–Тейта ( или каноническая высота ) — это квадратичная форма на группе Морделла–Вейля рациональных точек абелева многообразия , определённая над глобальным полем . Она названа в честь Андре Нерона и Джона Тейта .

Определение и свойства

Нерон определил высоту Нерона–Тейта как сумму локальных высот. ^[1] Хотя глобальная высота Нерона–Тейта является квадратичной, составляющие ее локальные высоты не совсем квадратичны. Тейт (неопубликовано) определил ее глобально, заметив, что логарифмическая высота, связанная с симметричным обратимым пучком на абелевом многообразии, является «почти квадратичной», и использовал это, чтобы показать, что предел ${\displaystyle h_{L}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\hat {h}}_{L}(P)=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {h_{L}(NP)}{N^{2}}}}$

существует, определяет квадратичную форму на группе Морделла–Вейля рациональных точек и удовлетворяет условию

${\displaystyle {\hat {h}}_{L}(P)=h_{L}(P)+O(1),}$

где подразумеваемая константа не зависит от . ^[2] Если является антисимметричным, то есть , то аналогичный предел ${\displaystyle O(1)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle [-1]^{*}L=L^{-1}}$

${\displaystyle {\hat {h}}_{L}(P)=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {h_{L}(NP)}{N}}}$

сходится и удовлетворяет , но в этом случае является линейной функцией на группе Морделла-Вейля. Для общих обратимых пучков записывается как произведение симметричного пучка и антисимметричного пучка, а затем ${\displaystyle {\hat {h}}_{L}(P)=h_{L}(P)+O(1)}$ ${\displaystyle {\hat {h}}_{L}}$ ${\displaystyle L^{\otimes 2}=(L\otimes [-1]^{*}L)\otimes (L\otimes [-1]^{*}L^{-1})}$

${\displaystyle {\hat {h}}_{L}(P)={\frac {1}{2}}{\hat {h}}_{L\otimes [-1]^{*}L}(P)+{\frac {1}{2}}{\hat {h}}_{L\otimes [-1]^{*}L^{-1}}(P)}$

является единственной квадратичной функцией, удовлетворяющей

${\displaystyle {\hat {h}}_{L}(P)=h_{L}(P)+O(1)\quad {\mbox{and}}\quad {\hat {h}}_{L}(0)=0.}$

Высота Нерона–Тейта зависит от выбора обратимого пучка на абелевом многообразии, хотя связанная билинейная форма зависит только от образа в группе Нерона–Севери . Если абелево многообразие определено над числовым полем K , а обратимый пучок симметричен и обилен, то высота Нерона–Тейта положительно определена в том смысле, что она обращается в нуль только на элементах кручения группы Морделла–Вейля . В более общем случае, индуцирует положительно определенную квадратичную форму на действительном векторном пространстве . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A(K)}$ ${\displaystyle {\hat {h}}_{L}}$ ${\displaystyle A(K)\otimes \mathbb {R} }$

На эллиптической кривой группа Нерона–Севери имеет ранг один и имеет единственный обильный генератор, поэтому этот генератор часто используется для определения высоты Нерона–Тейта, которая обозначается без ссылки на конкретное линейное расслоение. (Однако высота, которая естественным образом появляется в формулировке гипотезы Бирча и Суиннертона-Дайера, вдвое больше этой высоты.) На абелевых многообразиях большей размерности не требуется особого выбора наименьшего обильного линейного расслоения, используемого при определении высоты Нерона–Тейта, а высота, используемая в формулировке гипотезы Бирча–Суиннертона-Дайера, является высотой Нерона–Тейта, связанной с линейной оболочкой Пуанкаре на , произведением с его двойственным . ${\displaystyle {\hat {h}}}$ ${\displaystyle A\times {\hat {A}}}$ ${\displaystyle A}$

Эллиптические и абелевы регуляторы

Билинейная форма, связанная с канонической высотой на эллиптической кривой E, имеет вид ${\displaystyle {\hat {h}}}$

${\displaystyle \langle P,Q\rangle ={\frac {1}{2}}{\bigl (}{\hat {h}}(P+Q)-{\hat {h}}(P)-{\hat {h}}(Q){\bigr )}.}$

Эллиптический регулятор E / K - это

${\displaystyle \operatorname {Reg} (E/K)=\det {\bigl (}\langle P_{i},P_{j}\rangle {\bigr )}_{1\leq i,j\leq r},}$

где P ₁ ,..., P _r — базис для группы Морделла–Вейля E ( K ) по модулю кручения (ср. определитель Грама ). Эллиптический регулятор не зависит от выбора базиса.

В более общем случае пусть A / K — абелево многообразие, пусть B ≅ Pic ⁰ ( A ) — двойственное абелево многообразие к A , и пусть P — расслоение Пуанкаре на A × B . Тогда абелев регулятор A / K определяется выбором базиса Q ₁ ,..., Q _r для группы Морделла–Вейля A ( K ) по модулю кручения и базиса η ₁ ,..., η _r для группы Морделла–Вейля B ( K ) по модулю кручения и установкой

${\displaystyle \operatorname {Reg} (A/K)=\det {\bigl (}\langle Q_{i},\eta _{j}\rangle _{P}{\bigr )}_{1\leq i,j\leq r}.}$

(Определения эллиптического и абелева регулятора не совсем согласованы, поскольку если A — эллиптическая кривая, то последняя в 2 ^r раз больше первой.)

Эллиптический и абелев регуляторы появляются в гипотезе Бирча–Суиннертона–Дайера .

Нижние границы высоты Нерона–Тейта

Существуют две фундаментальные гипотезы, которые дают нижние оценки высоты Нерона–Тейта. В первой из них поле K фиксировано, а эллиптическая кривая E / K и точка P ∈ E ( K ) изменяются, тогда как во второй, эллиптической гипотезе Лемера , кривая E / K фиксирована, а поле определения точки P изменяется.

• (Лэнг) ^[3]      для всех и всех некрученых ${\displaystyle {\hat {h}}(P)\geq c(K)\log \max {\bigl \{}\operatorname {Norm} _{K/\mathbb {Q} }\operatorname {Disc} (E/K),h(j(E)){\bigr \}}\quad }$ ${\displaystyle E/K}$ ${\displaystyle P\in E(K).}$
• (Лемер) ^[4]     для всех некрученых ${\displaystyle {\hat {h}}(P)\geq {\frac {c(E/K)}{[K(P):K]}}}$ ${\displaystyle P\in E({\bar {K}}).}$

В обеих гипотезах константы положительны и зависят только от указанных величин. (Более сильная форма гипотезы Лэнга утверждает, что зависит только от степени .) Известно, что гипотеза abc влечет гипотезу Лэнга, и что аналог гипотезы Лэнга над одномерными функциональными полями характеристики 0 безусловно верен. ^{[3] [5]} Наилучшим общим результатом по гипотезе Лемера является более слабая оценка, полученная Массером . ^[6] Когда эллиптическая кривая имеет комплексное умножение , это было улучшено Лораном до . ^[7] Существуют аналогичные гипотезы для абелевых многообразий, в которых условие некручения заменено условием, что кратные образуют плотное по Зарискому подмножество , а нижняя граница в гипотезе Лэнга заменена на , где — высота Фальтингса . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle [K:\mathbb {Q} ]}$ ${\displaystyle {\hat {h}}(P)\geq c(E/K)/[K(P):K]^{3+\varepsilon }}$ ${\displaystyle {\hat {h}}(P)\geq c(E/K)/[K(P):K]^{1+\varepsilon }}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\hat {h}}(P)\geq c(K)h(A/K)}$ ${\displaystyle h(A/K)}$ ${\displaystyle A/K}$

Обобщения

Поляризованная алгебраическая динамическая система — это тройка, состоящая из (гладкого проективного) алгебраического многообразия , эндоморфизма и линейного расслоения со свойством, что для некоторого целого числа . Соответствующая каноническая высота задается пределом Тейта ^[8] ${\displaystyle (V,\varphi ,L)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \varphi :V\to V}$ ${\displaystyle L\to V}$ ${\displaystyle \varphi ^{*}L=L^{\otimes d}}$ ${\displaystyle d>1}$

${\displaystyle {\hat {h}}_{V,\varphi ,L}(P)=\lim _{n\to \infty }{\frac {h_{V,L}(\varphi ^{(n)}(P))}{d^{n}}},}$

где — n -кратная итерация . Например, любой морфизм степени дает каноническую высоту, связанную с отношением линейного расслоения . Если определено над числовым полем и является обильным, то каноническая высота неотрицательна, и ${\displaystyle \varphi ^{(n)}=\varphi \circ \cdots \circ \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi :\mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle d>1}$ ${\displaystyle \varphi ^{*}{\mathcal {O}}(1)={\mathcal {O}}(n)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\hat {h}}_{V,\varphi ,L}(P)=0~~\Longleftrightarrow ~~P{\text{ is preperiodic for }}\varphi .}$

( является предпериодическим, если его прямая орбита содержит только конечное число различных точек.) ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P,\varphi (P),\varphi ^{2}(P),\varphi ^{3}(P),\ldots }$

Ссылки

1. Нерон, Андре (1965). «Квази-функции и высокие качества для разнообразия животных». Энн. математики. (на французском языке). 82 (2): 249–331. дои : 10.2307/1970644. JSTOR  1970644. МР  0179173.
2. Лэнг (1997) стр.72
3. Lang (1997) стр.73–74
4. Лэнг (1997) стр.243
5. Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (1988). «Каноническая высота и целые точки на эллиптических кривых». Invent. Math. 93 (2): 419–450. doi :10.1007/bf01394340. MR  0948108. S2CID  121520625. Zbl  0657.14018.
6. Masser, David W. (1989). «Подсчет точек малой высоты на эллиптических кривых». Bull. Soc. Math. France . 117 (2): 247–265. doi : 10.24033/bsmf.2120 . MR  1015810.
7. Лоран, Мишель (1983). «Minoration de la hauteur de Néron-Tate» [Нижние границы высоты Нерон-Тейт]. В Бертене, Мари-Жозе (ред.). Séminaire de theorie des nombres, Париж, 1981–82 [ Семинар по теории чисел, Париж, 1981–82 ]. Прогресс в математике (на французском языке). Биркхойзер. стр. 137–151. ISBN 0-8176-3155-0. МР  0729165.
8. Колл, Грегори С.; Сильверман, Джозеф Х. (1993). «Канонические высоты на многообразиях с морфизмами». Compositio Mathematica . 89 (2): 163–205. MR  1255693.

Общие сведения по теории канонических высот

• Бомбьери, Энрико ; Габлер, Уолтер (2006). Высоты в диофантовой геометрии . Новые математические монографии. Том 4. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-71229-3. Збл  1130.11034.
• Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000). Диофантова геометрия: Введение . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 201. ISBN 0-387-98981-1. Збл  0948.11023.
• Ланг, Серж (1997). Обзор диофантовой геометрии . Springer-Verlag . ISBN 3-540-61223-8. Збл  0869.11051.
• Дж. Х. Сильверман, Арифметика эллиптических кривых , ISBN 0-387-96203-4 

Внешние ссылки

• «Каноническая высота на эллиптической кривой». PlanetMath .