Сопряженные переменные

Переменные, являющиеся дуальными преобразованиями Фурье

Сопряженные переменные — это пары переменных, математически определенных таким образом, что они становятся дуальными преобразованиями Фурье , ^{[1] [2]} или, в более общем смысле, связаны через дуальность Понтрягина . Отношения дуальности естественным образом приводят к соотношению неопределенности — в физике называемому принципом неопределенности Гейзенберга — между ними. В математических терминах сопряженные переменные являются частью симплектического базиса , а соотношение неопределенности соответствует симплектической форме . Кроме того, сопряженные переменные связаны теоремой Нётер , которая гласит, что если законы физики инвариантны относительно изменения одной из сопряженных переменных, то другая сопряженная переменная не будет меняться со временем (т. е. будет сохраняться). Сопряженные переменные в термодинамике широко используются.

Примеры

Существует много типов сопряженных переменных, в зависимости от типа работы, которую выполняет (или которой подвергается) определенная система. Примеры канонически сопряженных переменных включают в себя следующее:

• Время и частота : чем дольше длится музыкальная нота, тем точнее мы знаем ее частоту, но она охватывает большую продолжительность и, таким образом, является более распределенным событием или «мгновением» во времени. И наоборот, очень короткая музыкальная нота становится просто щелчком, и поэтому более локализована во времени, но ее частоту нельзя определить очень точно. ^[3]
• Допплер и дальность : чем больше мы знаем о том, как далеко находится цель радара , тем меньше мы можем знать о точной скорости приближения или отступления, и наоборот. В этом случае двумерная функция Допплера и дальности известна как функция неоднозначности радара или диаграмма неоднозначности радара .
• Поверхностная энергия: γ  d A ( γ = поверхностное натяжение ; A = площадь поверхности).
• Упругое растяжение: F  d L ( F = упругая сила; L — длина растяжения).
• Энергия и время: единицы измерения — кг ${\displaystyle \Delta E\times \Delta t}$ ${\displaystyle m^{2}s^{-1}}$

Производные действия

В классической физике производные действия являются сопряженными переменными к величине, по которой производится дифференцирование. В квантовой механике эти же пары переменных связаны принципом неопределенности Гейзенберга .

• Энергия частицы при определенном событии равна отрицательной производной действия вдоль траектории этой частицы, заканчивающейся в этом событии, по отношению к времени события.
• Импульс частицы — это производная ее действия по ее положению .
• Угловой момент частицы является производной ее действия по ее ориентации (угловому положению).
• Массовый момент ( ) частицы равен отрицательной производной ее действия по ее скорости . ${\displaystyle \mathbf {N} =t\mathbf {p} -E\mathbf {r} }$
• Электрический потенциал (φ, напряжение ) в событии представляет собой отрицательную производную действия электромагнитного поля по отношению к плотности (свободного) электрического заряда в этом событии. ^{[ необходима ссылка ]}
• Магнитный потенциал ( А ) в событии является производной действия электромагнитного поля по отношению к плотности (свободного) электрического тока в этом событии. ^{[ необходима ссылка ]}
• Электрическое поле ( E ) в момент события является производной действия электромагнитного поля по отношению к плотности электрической поляризации в момент этого события. ^{[ необходима ссылка ]}
• Магнитная индукция ( B ) в момент события является производной действия электромагнитного поля по намагниченности в момент этого события. ^{[ необходима ссылка ]}
• Ньютоновский гравитационный потенциал в событии представляет собой отрицательную производную действия ньютоновского гравитационного поля по плотности массы в этом событии. ^{[ необходима ссылка ]}

Квантовая теория

В квантовой механике сопряженные переменные реализуются как пары наблюдаемых, операторы которых не коммутируют. В общепринятой терминологии их называют несовместимыми наблюдаемыми . Рассмотрим в качестве примера измеримые величины, заданные положением и импульсом . В квантово-механическом формализме двум наблюдаемым и соответствуют операторы и , которые обязательно удовлетворяют каноническому коммутационному соотношению : ${\displaystyle \left(x\right)}$ ${\displaystyle \left(p\right)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\widehat {x}}}$ ${\displaystyle {\widehat {p\,}}}$ $${\displaystyle [{\widehat {x}},{\widehat {p\,}}]={\widehat {x}}{\widehat {p\,}}-{\widehat {p\,}}{\widehat {x}}=i\hbar }$$

Для каждого ненулевого коммутатора двух операторов существует «принцип неопределенности», который в нашем примере может быть выражен в виде: $${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq \hbar /2}$$

В этой неточно определенной нотации и обозначают «неопределенность» в одновременной спецификации и . Более точное и статистически полное утверждение, включающее стандартное отклонение, гласит: ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \sigma }$ $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq \hbar /2}$$

В более общем случае для любых двух наблюдаемых и соответствующих операторам и обобщенный принцип неопределенности задается выражением: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\widehat {A}}}$ ${\displaystyle {\widehat {B}}}$ $${\displaystyle {\sigma _{A}}^{2}{\sigma _{B}}^{2}\geq \left({\frac {1}{2i}}\left\langle \left[{\widehat {A}},{\widehat {B}}\right]\right\rangle \right)^{2}}$$

Теперь предположим, что мы явно определили два конкретных оператора, присвоив каждому определенную математическую форму, так что пара удовлетворяет вышеупомянутому коммутационному соотношению. Важно помнить, что наш конкретный «выбор» операторов будет просто отражать одно из многих эквивалентных или изоморфных представлений общей алгебраической структуры, которая фундаментально характеризует квантовую механику. Обобщение формально обеспечивается алгеброй Ли Гейзенберга с соответствующей группой, называемой группой Гейзенберга . ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}}$ ${\displaystyle H_{3}}$

Механика жидкости

В гамильтоновой механике жидкости и квантовой гидродинамике само действие ( или потенциал скорости ) является сопряженной переменной плотности ( или плотности вероятности ).

Смотрите также

• Канонические координаты

Примечания

1. "Гейзенберг – Квантовая механика, 1925–1927: Соотношения неопределенностей". Архивировано из оригинала 2015-12-22 . Получено 2010-08-07 .
2. Hjalmars, S. (1962). «Некоторые замечания о времени и энергии как сопряженных переменных». Il Nuovo Cimento . 25 (2): 355–364. Bibcode : 1962NCim...25..355H. doi : 10.1007/BF02731451. S2CID  120008951.
3. Mann, S.; Haykin, S. (ноябрь 1995 г.). "Преобразование чирплета: физические соображения" (PDF) . IEEE Transactions on Signal Processing . 43 (11): 2745–2761. Bibcode :1995ITSP...43.2745M. doi :10.1109/78.482123.