Закон Юрина

Капиллярный подъем или опускание в трубке.

Закон Юрина , или капиллярный подъем , является простейшим анализом капиллярного действия — индуцированного движения жидкостей в малых каналах ^[1] — и гласит, что максимальная высота жидкости в капиллярной трубке обратно пропорциональна диаметру трубки . Капиллярное действие является одним из наиболее распространенных механических эффектов жидкости, исследуемых в области микрофлюидики . Закон Юрина назван в честь Джеймса Юрина , который открыл его между 1718 и 1719 годами. ^[2] Его количественный закон предполагает, что максимальная высота жидкости в капиллярной трубке обратно пропорциональна диаметру трубки. Разница в высоте между окружающей средой трубки и ее внутренней частью, а также форма мениска вызваны капиллярным действием . Математическое выражение этого закона можно вывести непосредственно из гидростатических принципов и уравнения Юнга-Лапласа . Закон Жюрина позволяет измерить поверхностное натяжение жидкости и может быть использован для определения длины капилляра . ^[3]

Формулировка

Закон выражается как ^{[ необходима ссылка ]}

${\displaystyle \qquad h={\frac {2\gamma \cos \theta }{\rho gr_{0}}}}$,

где

• h — высота жидкости;
• ${\displaystyle \gamma }$поверхностное натяжение ;
• θ — угол контакта жидкости со стенкой трубки;
• ρ — плотность массы (масса на единицу объема);
• r ₀ — радиус трубки;
• g — ускорение свободного падения .

Он справедлив только в том случае, если трубка цилиндрическая и имеет радиус ( r ₀ ) меньший длины капилляра ( ). В терминах длины капилляра закон можно записать как ${\displaystyle \lambda _{\rm {c}}^{2}=\gamma /(\rho g)}$

${\displaystyle \lambda _{\rm {c}}^{2}={\frac {hr_{0}}{2\cos \theta }}}$.

Примеры

График зависимости высоты уровня воды в капиллярной трубке от диаметра.

Для заполненной водой стеклянной трубки в воздухе при стандартных условиях температуры и давления , γ = 0,0728 Н/м при 20 °C, ρ = 1000 кг/м ³ и g = 9,81 м/с ² . Поскольку вода распространяется по чистому стеклу, эффективный равновесный угол контакта приблизительно равен нулю. ^[4] Для этих значений высота столба воды равна

${\displaystyle h\approx {{1.48\times 10^{-5}} \over r_{0}}\ {\mbox{m}}.}$

Таким образом, для стеклянной трубки радиусом 2 м (6,6 фута) в лабораторных условиях, указанных выше, вода поднимется на незаметные 0,007 мм (0,00028 дюйма). Однако для трубки радиусом 2 см (0,79 дюйма) вода поднимется на 0,7 мм (0,028 дюйма), а для трубки радиусом 0,2 мм (0,0079 дюйма) вода поднимется на 70 мм (2,8 дюйма).

Капиллярное действие используется многими растениями для извлечения воды из почвы. Для высоких деревьев (больше ~10 м (32 фута)) также важны другие процессы, такие как осмотическое давление и отрицательное давление . ^[5]

История

В XV веке Леонардо да Винчи был одним из первых, кто предположил, что горные потоки могут возникать в результате подъема воды через небольшие капиллярные трещины. ^{[3] [6]}

Позднее, в XVII веке, начинают появляться теории о происхождении капиллярного действия. Жак Роо ошибочно предположил, что подъем жидкости в капилляре может быть обусловлен подавлением воздуха внутри и созданием вакуума. Астроном Джеминиано Монтанари был одним из первых, кто сравнил капиллярное действие с циркуляцией сока в растениях. Кроме того, эксперименты Джованни Альфонсо Борелли в 1670 году определили, что высота подъема обратно пропорциональна радиусу трубки.

Фрэнсис Хауксби в 1713 году опроверг теорию Рохо с помощью серии экспериментов по капиллярному действию, явлению, которое наблюдалось как в воздухе, так и в вакууме. Хауксби также продемонстрировал, что подъем жидкости возникал в различных геометриях (не только в круглых сечениях), а также в различных жидкостях и материалах трубок, и показал, что нет никакой зависимости от толщины стенок трубок. Исаак Ньютон сообщил об экспериментах Хаускби в своей работе Opticks, но без указания авторства. ^{[3] [6]}

Английский физиолог Джеймс Юрин в 1718 году ^[2] наконец подтвердил эксперименты Борелли, и закон был назван в его честь. ^{[3] [6]}

Вывод

Схема, показывающая соответствующие переменные для задачи при положительной высоте.

Высота столба жидкости в трубке ограничена гидростатическим давлением и поверхностным натяжением . Следующий вывод относится к жидкости, которая поднимается в трубке; для противоположного случая, когда жидкость находится ниже опорного уровня, вывод аналогичен, но разность давлений может менять знак. ^[1] ${\displaystyle h}$

Давление Лапласа

Выше границы раздела жидкости и поверхности давление равно атмосферному давлению . На границе раздела мениска из-за поверхностного натяжения возникает разность давлений , где — давление на выпуклой стороне; и известно как давление Лапласа . Если трубка имеет круглое сечение радиусом , а мениск имеет сферическую форму, радиус кривизны равен , где — угол контакта . Затем давление Лапласа рассчитывается по уравнению Юнга-Лапласа : где — поверхностное натяжение. ${\displaystyle p_{\rm {atm}}}$ ${\displaystyle \Delta p=p_{\rm {atm}}-p_{\rm {int}}}$ ${\displaystyle p_{\rm {int}}}$ ${\displaystyle \Delta p}$ ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle r=r_{0}/\cos \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle \Delta p={\frac {2\gamma }{r}},}$$ ${\displaystyle \gamma }$

Гидростатическое давление

Снаружи и вдали от трубки жидкость достигает уровня земли в контакте с атмосферой. Жидкости в сообщающихся сосудах имеют одинаковое давление на одинаковой высоте, поэтому точка внутри трубки, на том же уровне жидкости, что и снаружи, будет иметь одинаковое давление . Тем не менее, давление в этой точке следует вертикальному изменению давления, как ${\displaystyle {\rm {w}}}$ ${\displaystyle p_{\rm {w}}=p_{\rm {atm}}}$

${\displaystyle p_{\rm {w}}=p_{\rm {int}}+\rho gh,}$

где - ускорение свободного падения и плотность жидкости. Это уравнение означает, что давление в точке равно давлению на границе раздела плюс давление, обусловленное весом столба жидкости высотой . Таким образом, мы можем вычислить давление на выпуклой границе раздела ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\rm {w}}}$ ${\displaystyle h}$ $${\displaystyle p_{\rm {int}}=p_{\rm {w}}-\rho gh=p_{\rm {atm}}-\rho gh.}$$

Результат при равновесии

Гидростатический анализ показывает, что , объединяя это с расчетом давления Лапласа, мы имеем: решение возвращает закон Жюрина. ${\displaystyle \Delta p=\rho gh}$ $${\displaystyle \rho gh={\frac {2\gamma \cos \theta }{r_{0}}},}$$ ${\displaystyle h}$

Ссылки

1. Rapp, E., Bastian (13 декабря 2016 г.). Микрофлюидика: моделирование, механика и математика . Кидлингтон, Оксфорд, Великобритания. ISBN 9781455731510. OCLC  966685733.{{cite book}}: CS1 maint: местоположение отсутствует издатель ( ссылка ) CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
2. См.:
   • Джеймс Юрин (1718) «Отчет о некоторых экспериментах, показанных Королевскому обществу; с исследованием причины подъёма и взвешивания воды в капиллярных трубках», Философские труды Лондонского королевского общества , 30  : 739–747.
   • Джеймс Юрин (1719) «Отчет о некоторых новых экспериментах, касающихся действия стеклянных трубок на воду и ртуть», Философские труды Лондонского королевского общества , 30  : 1083–1096.
3. Кере, Дэвид; Брошар-Вайарт, Франсуаза; Жен, Пьер-Жиль де (2004), «Капиллярность и гравитация», Феномены капиллярности и смачивания , Спрингер, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, стр. 33–67, номер документа : 10.1007/978-0-387-21656-0_2, ISBN 9781441918338
4. "Капиллярные трубки - обзор | Темы ScienceDirect". www.sciencedirect.com . Получено 29.10.2021 .
5. Карен Райт (март 2003 г.). «Физика отрицательного давления». Discover . Архивировано из оригинала 8 января 2015 г. . Получено 31 января 2015 г. .
6. Bush, John WM (3 июня 2013 г.). "18.357 Interfacial Phenomena Fall 2010" (PDF) . MIT OpenCourseware . Получено 19 декабря 2018 г. .