В евклидовой геометрии экскасательный четырехугольник — это выпуклый четырехугольник , у которого продолжения всех четырех сторон касаются окружности вне четырехугольника. [1] Его также называют объяснимым четырехугольником . [2] Окружность называется вписанной окружностью , ее радиус — эксрадиусом , а центр — эксцентром ( E на рисунке). Эксцентр лежит на пересечении шести биссектрис. Это биссектрисы внутренних углов при двух противоположных вершинных углах, биссектрисы внешних углов ( дополнительные биссектрисы) при двух других вершинных углах и биссектрисы внешних углов при углах, образующихся при пересечении продолжений противоположных сторон (см. рисунок к рис. справа, где четыре из этих шести — отрезки пунктирной линии). Внекасательный четырехугольник тесно связан с тангенциальным четырехугольником (где четыре стороны касаются окружности).
Другое название вписанной окружности — вписанная окружность, [3] но это название также использовалось для окружности, касающейся одной стороны выпуклого четырехугольника и продолжения двух соседних сторон. В этом контексте все выпуклые четырехугольники имеют четыре вписанных круга, но они могут иметь максимум одну вписанную окружность. [4]
Воздушные змеи являются примерами экскасательных четырехугольников. Параллелограммы (к которым относятся квадраты , ромбы и прямоугольники ) можно считать экскасательными четырехугольниками с бесконечным эксрадиусом, поскольку они удовлетворяют характеристикам в следующем разделе, но вписанная окружность не может касаться обеих пар продолжений противоположных сторон (поскольку они параллельны ). [4] Выпуклые четырехугольники, длины сторон которых образуют арифметическую прогрессию, всегда являются экстангенциальными, поскольку они удовлетворяют приведенной ниже характеристике для длин соседних сторон.
Выпуклый четырехугольник является экскасательным тогда и только тогда, когда существует шесть совпадающих биссектрис. Это биссектрисы внутреннего угла при двух противоположных углах при вершине, биссектрисы внешнего угла при двух других углах при вершине и биссектрисы внешнего угла при углах, образующихся при пересечении продолжений противоположных сторон. [4]
Для целей расчета более полезной характеристикой является то, что выпуклый четырехугольник с последовательными сторонами a, b, c, d является экстангенциальным тогда и только тогда, когда сумма двух соседних сторон равна сумме двух других сторон. Это возможно двумя разными способами:
или
Это было доказано Якобом Штайнером в 1846 году. [5] В первом случае вписанная окружность находится вне наибольшей из вершин A или C , тогда как во втором случае она находится вне наибольшей из вершин B или D при условии, что стороны четырехугольника ABCD равны
Способ объединения этих характеристик относительно сторон заключается в том, что абсолютные значения разностей между противоположными сторонами равны для двух пар противоположных сторон, [4]
Эти уравнения тесно связаны с теоремой Пито для касательных четырехугольников , где суммы противоположных сторон равны для двух пар противоположных сторон.
Если противоположные стороны выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точках E и F , то
Импликация справа названа в честь Л. М. Уркарта (1902–1966), хотя она была доказана задолго до этого Огастесом Де Морганом в 1841 году. Дэниел Педо назвал ее самой элементарной теоремой евклидовой геометрии , поскольку она касается только прямых линий и расстояний. [6] То, что эквивалентность действительно существует, было доказано Моваффаком Хаджой, [6] который делает равенство справа еще одним необходимым и достаточным условием для того, чтобы четырехугольник был экскасательным.
Некоторые из метрических характеристик касательных четырехугольников (левый столбец в таблице) имеют очень похожие аналоги для внекасательных четырехугольников (средний и правый столбцы в таблице), как видно из таблицы ниже. [4] Таким образом, выпуклый четырехугольник имеет вписанную или вписанную окружность вне соответствующей вершины (в зависимости от столбца) тогда и только тогда, когда выполняется любое из пяти необходимых и достаточных условий, приведенных ниже.
Обозначения в этой таблице следующие: В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке P.
Внекасательный четырехугольник ABCD со сторонами a, b, c, d имеет площадь
Обратите внимание, что это та же формула, что и для площади касательного четырехугольника , и она также выводится из формулы Бретшнейдера таким же образом.
Эксрадиус экс-касательного четырехугольника с последовательными сторонами a, b, c, d определяется формулой [4]
где К – площадь четырехугольника. Для экс-касательного четырехугольника с заданными сторонами эксрадиус максимален , когда четырехугольник также является вписанным (и, следовательно, экс-бицентрическим четырехугольником). Эти формулы объясняют, почему все параллелограммы имеют бесконечный эксрадиус.
Если в экс-касательном четырехугольнике также есть описанная окружность , он называется экс-бицентрическим четырехугольником . [1] Тогда, поскольку он имеет два противоположных дополнительных угла , его площадь определяется выражением
что аналогично вписанному четырехугольнику .
Если x — расстояние между центром описанной окружности и эксцентром, то [1]
где R, r — радиус описанной окружности и эксрадиус соответственно. Это то же уравнение, что и теорема Фусса для вписанного четырехугольника. Но при решении для x мы должны выбрать другой корень квадратного уравнения для бывшего бицентрического четырехугольника по сравнению с бицентрическим. Следовательно, для экс-бицентрики имеем [1]
Из этой формулы следует, что
это означает, что описанная и внешняя окружность никогда не могут пересекаться друг с другом.
