Совокупность всех прямых, проходящих через точку, называется карандашом , а их общее пересечение — вершиной карандаша . В любом аффинном пространстве (включая евклидово пространство ) набор прямых, параллельных данной прямой (имеющих одну и ту же ориентацию ), также называется карандашом , а вершина каждого пучка параллельных прямых является отдельной точкой в бесконечности ; включение этих точек приводит к созданию проективного пространства , в котором каждая пара прямых имеет пересечение.
Высоты треугольника проходят от каждой вершины и встречаются с противоположной стороной под прямым углом . Точка, где встречаются три высоты, является ортоцентром .
Биссектрисы угла — это лучи, исходящие из каждой вершины треугольника и делящие соответствующий угол пополам . Все они встречаются в центре .
Медианы соединяют каждую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы встречаются в центроиде .
Биссектрисы – это линии, выходящие из середин каждой стороны треугольника под углом 90 градусов. Три серединных перпендикуляра встречаются в центре описанной окружности .
Другие наборы линий, связанные с треугольником, также являются параллельными. Например:
Любая медиана (которая обязательно является биссектрисой площади треугольника ) совпадает с двумя другими биссектрисами площади, каждая из которых параллельна стороне. [1]
Кливер треугольника — это отрезок, который делит периметр треугольника пополам и имеет одну конечную точку в середине одной из трех сторон. Три скалывателя совпадают в центре круга Шпикера , который является вписанной окружностью медиального треугольника .
Разветвитель треугольника — это отрезок линии, имеющий одну конечную точку в одной из трех вершин треугольника и делящий периметр пополам. Три разделителя совпадают в точке Нагеля треугольника.
Любая линия, проходящая через треугольник, которая делит площадь треугольника и его периметр пополам, проходит через incenter треугольника , и каждый треугольник имеет одну, две или три такие линии. [2] Таким образом, если их три, они совпадают в центре.
Точка Тарри треугольника — это точка совпадения линий, проходящих через вершины треугольника, перпендикулярных соответствующим сторонам первого треугольника Брокара .
Точка Шиффлера треугольника - это точка совпадения линий Эйлера четырех треугольников: рассматриваемого треугольника и трех треугольников, каждый из которых имеет с ним две общие вершины и имеет центр в качестве другой вершины.
Точки Наполеона и их обобщения являются точками совпадения. Например, первая точка Наполеона — это точка совпадения трех линий, каждая из которых ведет от вершины к центру тяжести равностороннего треугольника, нарисованного на внешней стороне стороны, противоположной вершине. Обобщением этого понятия является точка Якоби .
Три линии, каждая из которых образована путем рисования внешнего равностороннего треугольника на одной из сторон данного треугольника и соединения новой вершины с противоположной вершиной исходного треугольника, совпадают в точке, называемой первым изогональным центром . В случае, когда исходный треугольник не имеет угла больше 120°, эта точка также является точкой Ферма .
Точка Аполлония — это точка совпадения трех линий, каждая из которых соединяет точку касания окружности, к которой внутренне касаются вписанные окружности треугольника , с противоположной вершиной треугольника.
Четырехугольники
Две бимедианы четырехугольника (отрезки, соединяющие середины противоположных сторон) и отрезок, соединяющий середины диагоналей, совпадают и делятся пополам точкой пересечения . [3] : стр. 125
Выпуклый четырехугольник является экскасательным тогда и только тогда, когда существует шесть совпадающих биссектрис: биссектрисы внутреннего угла при двух противоположных углах при вершине, биссектрисы внешнего угла при двух других углах при вершине и биссектрисы внешнего угла при углах, образованных продолжения противоположных сторон пересекаются.
Шестиугольники
Если последовательные стороны циклического шестиугольника — это a , b , c , d , e , f , то три основные диагонали совпадают в одной точке тогда и только тогда, когда ace = bdf . [7]
Для каждой стороны вписанного шестиугольника продлите смежные стороны до их пересечения, образуя треугольник, внешний по отношению к данной стороне. Тогда отрезки, соединяющие центры описанных окружностей противоположных треугольников, совпадают. [8]
Правильные многоугольники
Если у правильного многоугольника четное число сторон, то диагонали, соединяющие противоположные вершины, совпадают в центре многоугольника.
Следующие элементы также являются параллельными: (1) окружность с центром в центре гиперболы и проходящая через вершины гиперболы; (2) любая директриса; и (3) любая из асимптот.
Тетраэдры
В тетраэдре четыре медианы и три бимедианы совпадают в точке, называемой центроидом тетраэдра . [9]
Изодинамический тетраэдр - это тетраэдр, в котором чевианы , соединяющие вершины с центрами противоположных граней, совпадают, а изогонический тетраэдр имеет совпадающие чевианы, соединяющие вершины с точками контакта противоположных граней с вписанной сферой тетраэдра. .
Согласно теореме Руше–Капелли , система уравнений непротиворечива тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы (матрицы коэффициентов, дополненной столбцом членов-членов), и система имеет единственное решение тогда и только тогда , когда этот общий ранг равен количеству переменных. Таким образом, при двух переменных k линий на плоскости, связанных с набором k уравнений, совпадают тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов k × 2 и ранг расширенной матрицы k × 3 равны 2. В этом В этом случае только два из k уравнений являются независимыми , а точку совпадения можно найти, решая любые два взаимно независимых уравнения одновременно для двух переменных.
^ Николаос Дергиадес, «Теорема Дао о шести центрах описанной окружности, связанных с вписанным шестиугольником», Forum Geometricorum 14, 2014, 243–246. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201424index.html
^ Люнг, Кам-тим; и Суен, Сук-нам; «Векторы, матрицы и геометрия», Hong Kong University Press, 1994, стр. 53–54.
