В математике , точнее в топологии и дифференциальной геометрии , гиперболическое 3-многообразие — это многообразие размерности 3, снабженное гиперболической метрикой , то есть римановой метрикой , все секционные кривизны которой равны −1. Обычно требуется, чтобы эта метрика была также полной : в этом случае многообразие может быть реализовано как фактор 3-мерного гиперболического пространства по дискретной группе изометрий ( группе Клейна ).
Гиперболические 3-многообразия конечного объема имеют особое значение в 3-мерной топологии , как следует из гипотезы геометризации Терстона, доказанной Перельманом. Изучение групп Клейна также является важной темой в геометрической теории групп .
Гиперболическая геометрия является наиболее богатой и наименее понятной из восьми геометрий в размерности 3 (например, для всех других геометрий несложно дать явное перечисление многообразий конечного объема с этой геометрией, в то время как для гиперболических многообразий это далеко не так ). После доказательства гипотезы геометризации понимание топологических свойств гиперболических 3-многообразий является, таким образом, главной целью 3-мерной топологии. Недавние прорывы Кана–Марковича, Уайза, Агола и других ответили на большинство давних открытых вопросов по этой теме, но есть еще много менее важных, которые не были решены. [1]
В размерности 2 почти все замкнутые поверхности являются гиперболическими (все, кроме сферы, проективной плоскости, тора и бутылки Клейна). В размерности 3 это далеко не так: существует множество способов построить бесконечно много негиперболических замкнутых многообразий. С другой стороны, эвристическое утверждение, что «типичное 3-многообразие имеет тенденцию быть гиперболическим», подтверждается во многих контекстах. Например, любой узел, который не является ни спутниковым узлом , ни торическим узлом, является гиперболическим. [2] Более того, почти все операции Дена на гиперболическом узле дают гиперболическое многообразие. Похожий результат верен для связей (теорема Терстона о гиперболической хирургии Дена ), и поскольку все 3-многообразия получаются как операции на связи в 3-сфере, это придает более точный смысл неформальному утверждению. Другой смысл, в котором «почти все» многообразия являются гиперболическими в размерности 3, — это случайные модели. Например, случайные разбиения Хегора рода не менее 2 почти наверняка являются гиперболическими (когда сложность склеивающего отображения стремится к бесконечности). [3]
Соответствие гиперболической геометрии 3-многообразия его топологии также следует из теоремы о жесткости Мостова , которая утверждает, что гиперболическая структура гиперболического 3-многообразия конечного объема однозначно определяется его гомотопическим типом. В частности, геометрические инварианты, такие как объем, могут быть использованы для определения новых топологических инвариантов.
В этом случае одним из важных инструментов для понимания геометрии многообразия является толсто-тонкое разложение . Оно утверждает, что гиперболическое 3-многообразие конечного объема имеет разложение на две части:
Разложение «толстый-тонкий» справедливо для всех гиперболических 3-многообразий, хотя в общем случае тонкая часть не такая, как описано выше. Гиперболическое 3-многообразие называется геометрически конечным , если оно содержит выпуклое подмногообразие (свое выпуклое ядро ), на которое оно втягивается, и толстая часть которого компактна (обратите внимание, что все многообразия имеют выпуклое ядро, но в общем случае оно не компактно). [4] Простейший случай — когда многообразие не имеет «каспов» (т. е. фундаментальная группа не содержит параболических элементов), и в этом случае многообразие геометрически конечно тогда и только тогда, когда оно является фактором замкнутого выпуклого подмножества гиперболического пространства по группе, действующей кокомпактно на этом подмножестве.
Это более широкий класс гиперболических 3-многообразий, для которых существует удовлетворительная структурная теория. Она основана на двух теоремах:
Самая старая конструкция гиперболических многообразий, которая восходит по крайней мере к Пуанкаре, выглядит следующим образом: начнем с конечного набора 3-мерных гиперболических конечных многогранников . Предположим, что существует боковое спаривание между 2-мерными гранями этих многогранников (т. е. каждая такая грань спарена с другой, отличной, так что они изометричны друг другу как 2-мерные гиперболические многоугольники), и рассмотрим пространство, полученное склеиванием парных граней вместе (формально это получается как фактор-пространство ). Оно несет гиперболическую метрику, которая хорошо определена вне образа 1-скелетов многогранников. Эта метрика расширяется до гиперболической метрики на всем пространстве, если выполнены два следующих условия: [5]
Ярким примером такой конструкции является пространство Зейферта–Вебера , которое получается путем склеивания противоположных граней правильного додекаэдра .
Разновидностью этой конструкции является использование гиперболических многогранников Коксетера (многогранников, двугранные углы которых имеют вид ). Такой многогранник порождает группу отражений Клейна , которая является дискретной подгруппой изометрий гиперболического пространства. Взяв подгруппу конечного индекса без кручения, получаем гиперболическое многообразие (которое может быть восстановлено предыдущей конструкцией, склеивая копии исходного многогранника Коксетера способом, предписанным соответствующим графом смежных классов Шрейера ).
В предыдущей конструкции полученные многообразия всегда компактны. Для получения многообразий с каспами необходимо использовать многогранники с идеальными вершинами (т. е. вершинами, лежащими на бесконечности на сфере). В этой постановке конструкция склеивания не всегда дает полное многообразие. Полнота определяется системой уравнений, включающих двугранные углы вокруг ребер, смежных с идеальной вершиной, которые обычно называются уравнениями склеивания Терстона. В случае, если склеивание полное, идеальные вершины становятся каспами в многообразии. Примером некомпактного гиперболического многообразия конечного объема, полученного таким образом, является многообразие Гизекинга , которое строится путем склеивания граней правильного идеального гиперболического тетраэдра .
Также возможно построить конечно-объемное, полное гиперболическое многообразие, когда склейка не является полной. В этом случае завершение полученного метрического пространства представляет собой многообразие с границей в виде тора, и при некоторых (не общих) условиях возможно склеить гиперболический полноторий на каждом компоненте границы так, чтобы полученное пространство имело полную гиперболическую метрику. Топологически многообразие получается гиперболической хирургией Дена на полном гиперболическом многообразии, которая получилась бы в результате полной склейки.
Неизвестно, можно ли построить все гиперболические 3-многообразия конечного объема таким образом. [6] Однако на практике именно так вычислительное программное обеспечение (такое как SnapPea или Regina ) хранит гиперболические многообразия. [7]
Построение арифметических клейновых групп из кватернионных алгебр приводит к особенно интересным гиперболическим многообразиям. С другой стороны, они в некотором смысле «редки» среди гиперболических 3-многообразий (например, гиперболическая хирургия Дена на фиксированном многообразии приводит к неарифметическому многообразию почти для всех параметров).
В отличие от явных конструкций выше, можно вывести существование полной гиперболической структуры на 3-многообразии исключительно из топологической информации. Это является следствием гипотезы геометризации и может быть сформулировано следующим образом (утверждение, иногда называемое «теоремой гиперболизации», которая была доказана Терстоном в частном случае многообразий Хакена):
Если компактное 3-многообразие с торическим краем неприводимо и алгебраически атороидально (это означает, что каждый -инъективно погруженный тор гомотопен компоненте края), то его внутренность несет полную гиперболическую метрику конечного объема.
Частным случаем является расслоение поверхности над окружностью : такие многообразия всегда неприводимы и несут полную гиперболическую метрику тогда и только тогда, когда монодромия является псевдоаносовским отображением .
Другим следствием гипотезы геометризации является то, что любое замкнутое 3-многообразие, допускающее риманову метрику с отрицательными секционными кривизнами, на самом деле допускает риманову метрику с постоянной секционной кривизной -1. Это неверно в более высоких размерностях. [8]
Топологические свойства 3-многообразий достаточно сложны, так что во многих случаях интересно узнать, что свойство выполняется виртуально для класса многообразий, то есть для любого многообразия в классе существует конечное покрывающее пространство многообразия с этим свойством. Виртуальные свойства гиперболических 3-многообразий являются объектами серии гипотез Вальдхаузена и Терстона, которые недавно были доказаны Яном Аголом после работ Джереми Кана, Влада Марковича, Фредерика Хаглунда, Дани Вайса и других. Первая часть гипотез была логически связана с виртуально гипотезой Хакена . В порядке силы они таковы: [9]
Другая гипотеза (также доказанная Аголом), которая подразумевает 1-3 выше, но априори не имеет отношения к 4, заключается в следующем:
Последовательность групп Клейна называется геометрически сходящейся, если она сходится в топологии Шаботи . Для многообразий, полученных в качестве факторов, это равносильно их сходимости в указанной метрике Громова-Хаусдорфа .
Гиперболический объем может быть использован для упорядочения пространства всех гиперболических многообразий. Набор многообразий, соответствующих данному объему, не более чем конечен, а набор объемов вполне упорядочен и имеет тип порядка . Точнее, теорема Терстона о гиперболической хирургии Дена подразумевает, что многообразие с каспами является пределом последовательности многообразий с каспами для любого , так что изолированные точки являются объемами компактных многообразий, многообразия с ровно одним каспом являются пределами компактных многообразий и так далее. Вместе с результатами Йоргенсена теорема также доказывает, что любая сходящаяся последовательность должна быть получена с помощью хирургий Дена на предельном многообразии. [10]
Последовательности квазифуксовых поверхностных групп заданного рода могут сходиться к дважды вырожденной поверхностной группе, как в двойной предельной теореме .
