Каталонский солид

13 многогранников; двойники архимедовых тел

Триакис тетраэдр , пятиугольный икоситетраэдр и дисдиакис триаконтаэдр .

Сплошные тела выше (темные) показаны вместе с их двойниками (светлыми). Видимые части каталонских тел представляют собой правильные пирамиды .

Ромбический додекаэдр с конфигурацией граней .

В математике каталонское тело , или двойственное к Архимеду тело , представляет собой многогранник, двойственный архимедову телу . Всего каталонских тел 13. Они названы в честь бельгийского математика Эжена Каталана , который впервые описал их в 1865 году.

Все каталонские тела выпуклые . Они гране-транзитивны , но не вершинно-транзитивны . Это связано с тем, что двойственные архимедовы тела являются вершинно-транзитивными, а не гране-транзитивными. Обратите внимание, что в отличие от платоновых тел и тел Архимеда , грани каталонских тел не являются правильными многоугольниками . Однако вершинные фигуры каталонских тел правильные и имеют постоянные двугранные углы . Будучи транзитивными по граням, каталонские тела представляют собой изоэдры .

Кроме того, два каталонских тела являются транзитивными по ребрам : ромбический додекаэдр и ромбический триаконтаэдр . Это двойники двух квазирегулярных архимедовых тел.

Точно так же, как призмы и антипризмы обычно не считаются архимедовыми телами, бипирамиды и трапецоэдры обычно не считаются каталонскими телами, несмотря на то, что они транзитивны по граням.

Два из каталонских тел являются хиральными : пятиугольный икоситетраэдр и пятиугольный гексеконтаэдр , двойственный киральному курносому кубу и курносому додекаэдру . Каждый из них бывает двух энантиоморфов . Не считая энантиоморф, бипирамид и трапецоэдров, всего каталонских тел 13.

Список каталонских тел и их двойников

Симметрия

Каталонские тела, наряду с их двойственными архимедовыми телами , можно сгруппировать в тела с тетраэдрической, октаэдрической и икосаэдрической симметрией. Как для октаэдрической, так и для икосаэдрической симметрии существует шесть форм. Единственное каталонское тело с подлинной тетраэдрической симметрией — это тетраэдр триакис (двойственный усеченному тетраэдру ). Ромбдодекаэдр и тетракисгексаэдр обладают октаэдрической симметрией, но их можно раскрасить так, чтобы они имели только тетраэдрическую симметрию . Ректификация и вздернутость также существуют при тетраэдрической симметрии, но они являются платоническими, а не архимедовыми, поэтому их двойниками являются платонические, а не каталонские. (В таблице ниже они показаны на коричневом фоне.)

Геометрия

Все двугранные углы каталонского тела равны. Обозначая их значение через и обозначая угол грани в вершинах стыковки граней через , мы имеем ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \alpha _{p}}$

${\displaystyle \sin(\theta /2)=\cos(\pi /p)/\cos(\alpha _{p}/2)}$.

Это можно использовать для вычисления и только , , ... , from , .... ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \alpha _{p}}$ ${\displaystyle \alpha _{q}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

Треугольные лица

Из 13 каталонских тел 7 имеют треугольные грани. Они имеют вид Vp.qr, где p, q и r принимают свои значения между 3, 4, 5, 6, 8 и 10. Углы и можно вычислить следующим образом. Положите , , и положите ${\displaystyle \alpha _{p}}$ ${\displaystyle \alpha _{q}}$ ${\displaystyle \alpha _{r}}$ ${\displaystyle a=4\cos ^{2}(\pi /p)}$ ${\displaystyle b=4\cos ^{2}(\pi /q)}$ ${\displaystyle c=4\cos ^{2}(\pi /r)}$

${\displaystyle S=-a^{2}-b^{2}-c^{2}+2ab+2bc+2ca}$.

Затем

${\displaystyle \cos(\alpha _{p})={\frac {S}{2bc}}-1}$,

${\displaystyle \sin(\alpha _{p}/2)={\frac {-a+b+c}{2{\sqrt {bc}}}}}$.

Ибо и выражения похожи конечно. Двугранный угол можно вычислить по формуле ${\displaystyle \alpha _{q}}$ ${\displaystyle \alpha _{r}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \cos(\theta )=1-2abc/S}$.

Применяя это, например, к триаконтаэдру дисдиакиса ( , и , следовательно , ​​и , где – золотое сечение ), получаем и . ${\displaystyle p=4}$ ${\displaystyle q=6}$ ${\displaystyle r=10}$ ${\displaystyle a=2}$ ${\displaystyle b=3}$ ${\displaystyle c=\phi +2}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \cos(\alpha _{4})={\frac {2-\phi }{6(2+\phi )}}={\frac {7-4\phi }{30}}}$ ${\displaystyle \cos(\theta )={\frac {-10-7\phi }{14+5\phi }}={\frac {-48\phi -155}{241}}}$

Четырехсторонние грани

Из 13 каталонских тел 4 имеют четырехугольные грани. Они имеют вид Vp.qpr, где p, q и r принимают значения между 3, 4 и 5. Угол можно вычислить по следующей формуле: ${\displaystyle \alpha _{p}}$

${\displaystyle \cos(\alpha _{p})={\frac {2\cos ^{2}(\pi /p)-\cos ^{2}(\pi /q)-\cos ^{2}(\pi /r)}{2\cos ^{2}(\pi /p)+2\cos(\pi /q)\cos(\pi /r)}}}$.

Отсюда можно легко вычислить , и двугранный угол . Альтернативно, поставьте , , . Тогда и можно найти, применяя формулы для треугольного случая. Угол, конечно, можно вычислить аналогичным образом. Лица — коршуны , или, если , ромбы . Применяя это, например, к дельтовидному икоситетраэдру ( , и ), получаем . ${\displaystyle \alpha _{q}}$ ${\displaystyle \alpha _{r}}$ ${\displaystyle a=4\cos ^{2}(\pi /p)}$ ${\displaystyle b=4\cos ^{2}(\pi /q)}$ ${\displaystyle c=4\cos ^{2}(\pi /p)+4\cos(\pi /q)\cos(\pi /r)}$ ${\displaystyle \alpha _{p}}$ ${\displaystyle \alpha _{q}}$ ${\displaystyle \alpha _{r}}$ ${\displaystyle q=r}$ ${\displaystyle p=4}$ ${\displaystyle q=3}$ ${\displaystyle r=4}$ ${\displaystyle \cos(\alpha _{4})={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}{\sqrt {2}}}$

Пятиугольные лица

Из 13 каталонских тел 2 имеют пятиугольные грани. Они имеют вид Vp.pppq, где p=3 и q=4 или 5. Угол можно вычислить, решив уравнение третьей степени: ${\displaystyle \alpha _{p}}$

${\displaystyle 8\cos ^{2}(\pi /p)\cos ^{3}(\alpha _{p})-8\cos ^{2}(\pi /p)\cos ^{2}(\alpha _{p})+\cos ^{2}(\pi /q)=0}$.

Метрические свойства

Для каталонского тела пусть будет двойственным по отношению к средней сфере . Тогда – архимедово тело с такой же средней сферой. Обозначим длину ребер через . Позвольте быть внутренним радиусом граней , средним радиусом и , внутренним радиусом , и описанным радиусом . Тогда эти величины можно выразить через двугранный угол следующим образом: ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle {\bf {A}}}$ ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle {\bf {A}}}$ ${\displaystyle {\bf {A}}}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle r_{m}}$ ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle {\bf {A}}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle r_{c}}$ ${\displaystyle {\bf {A}}}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle r^{2}={\frac {l^{2}}{8}}(1-\cos \theta )}$,

${\displaystyle r_{m}^{2}={\frac {l^{2}}{4}}{\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}$,

${\displaystyle r_{i}^{2}={\frac {l^{2}}{8}}{\frac {(1-\cos \theta )^{2}}{1+\cos \theta }}}$,

${\displaystyle r_{c}^{2}={\frac {l^{2}}{2}}{\frac {1}{1+\cos \theta }}}$.

Эти величины связаны соотношениями , и . ${\displaystyle r_{m}^{2}=r_{i}^{2}+r^{2}}$ ${\displaystyle r_{c}^{2}=r_{m}^{2}+l^{2}/4}$ ${\displaystyle r_{i}r_{c}=r_{m}^{2}}$

В качестве примера пусть это кубооктаэдр с длиной ребра . Тогда – ромбдодекаэдр. Применение формулы для четырехугольных граней с и дает , следовательно , ​​, , . ${\displaystyle {\bf {A}}}$ ${\displaystyle l=1}$ ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle p=4}$ ${\displaystyle q=r=3}$ ${\displaystyle \cos \theta =-1/2}$ ${\displaystyle r_{i}=3/4}$ ${\displaystyle r_{m}={\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle r_{c}=1}$ ${\displaystyle r={\frac {1}{4}}{\sqrt {3}}}$

Все вершины типа лежат на сфере с радиусом, заданным выражением ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r_{c,p}}$

${\displaystyle r_{c,p}^{2}=r_{i}^{2}+{\frac {2r^{2}}{1-\cos \alpha _{p}}}}$,

и аналогично для . ${\displaystyle q,r,\ldots }$

Двойственным образом существует сфера, которая касается всех граней, в центре которых находятся правильные -угольники (и аналогично для ). Радиус этой сферы определяется выражением ${\displaystyle {\bf {A}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q,r,\ldots }$ ${\displaystyle r_{i,p}}$

${\displaystyle r_{i,p}^{2}=r_{m}^{2}-{\frac {l^{2}}{4}}\cot ^{2}(\pi /p)}$.

Эти два радиуса связаны соотношением . Продолжая приведенный выше пример: и , что дает , , и . ${\displaystyle r_{i,p}r_{c,p}=r_{m}^{2}}$ ${\displaystyle \cos \alpha _{3}=-1/3}$ ${\displaystyle \cos \alpha _{4}=1/3}$ ${\displaystyle r_{c,3}={\frac {3}{8}}{\sqrt {6}}}$ ${\displaystyle r_{c,4}={\frac {3}{4}}{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle r_{i,3}={\frac {1}{3}}{\sqrt {6}}}$ ${\displaystyle r_{i,4}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$

Если это вершина типа , ребро, начинающееся в , и точка, где ребро касается средней сферы , обозначим расстояние через . Тогда ребра соединения вершин типа и типа имеют длину . Эти величины можно вычислить по формуле ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P^{\prime }}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle PP^{\prime }}$ ${\displaystyle l_{p}}$ ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle l_{p,q}=l_{p}+l_{q}}$

${\displaystyle l_{p}={\frac {l}{2}}{\frac {\cos(\pi /p)}{\sin(\alpha _{p}/2)}}}$,

и аналогично для . Продолжая приведенный выше пример: , , , , поэтому ребра ромбододекаэдра имеют длину . ${\displaystyle q,r,\ldots }$ ${\displaystyle \sin(\alpha _{3}/2)={\frac {1}{3}}{\sqrt {6}}}$ ${\displaystyle \sin(\alpha _{4}/2)={\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle l_{3}={\frac {1}{8}}{\sqrt {6}}}$ ${\displaystyle l_{4}={\frac {1}{4}}{\sqrt {6}}}$ ${\displaystyle l_{3,4}={\frac {3}{8}}{\sqrt {6}}}$

Двугранные углы между -угольными и -угольными гранями удовлетворяют ${\displaystyle \alpha _{p,q}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\bf {A}}}$

${\displaystyle \cos \alpha _{p,q}={\frac {l^{2}}{4}}{\frac {\cot(\pi /p)\cot(\pi /q)}{r_{m}^{2}}}-{\frac {r_{i,p}r_{i,q}}{r_{m}^{2}}}={\frac {l_{p}l_{q}-r_{m}^{2}}{r_{c,p}r_{c,q}}}}$.

Завершая пример с ромбдодекаэдром, двугранный угол кубооктаэдра равен . ${\displaystyle \alpha _{3,4}}$ ${\displaystyle \cos \alpha _{3,4}=-{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}}$

Строительство

Грань любого каталонского многогранника можно получить из вершинной фигуры двойственного архимедова тела с помощью конструкции Дормана-Люка . ^[2]

Применение к другим твердым телам

Все формулы этого раздела также применимы к Платоновым телам , а также к бипирамидам и трапециям с равными двугранными углами, поскольку их можно вывести только из свойства постоянного двугранного угла. Для пятиугольного трапецоэдра , например, с гранями V3.3.5.3 получим , или . В этом нет ничего удивительного: можно срезать обе вершины так, чтобы получить правильный додекаэдр . ${\displaystyle \cos(\alpha _{3})={\frac {1}{4}}-{\frac {1}{4}}{\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle \alpha _{3}=108^{\circ }}$

Смотрите также

• Список однородных мозаик. Показывает двойные однородные многоугольные мозаики, похожие на каталонские тела.
• Обозначение многогранника Конвея. Процесс построения обозначений.
• Архимедово тело
• Джонсон твердый

Примечания

1. Вайсштейн, Эрик В. «Архимедово тело». mathworld.wolfram.com . Проверено 2 июля 2022 г.
2. Канди и Роллетт (1961), с. 117; Веннингер (1983), с. 30.

Рекомендации

• Эжен Каталонский «Мемуар о теории полиедра». Политехническая школа Ж. л'Эколь (Париж) 41, 1-71, 1865.
• Канди, Х. Мартин ; Роллетт, AP (1961), Математические модели (2-е изд.), Оксфорд: Clarendon Press, MR  0124167.
• Гайлюнас, П.; Шарп, Дж. (2005), «Двойственность многогранников», Международный журнал математического образования в науке и технологиях , 36 (6): 617–642, doi : 10.1080/00207390500064049, S2CID  120818796.
• Алан Холден «Формы, пространство и симметрия» . Нью-Йорк: Дувр, 1991.
• Веннингер, Магнус (1983), Двойные модели , Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-54325-5, МР  0730208(Тринадцать полуправильных выпуклых многогранников и двойственные им)
• Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: справочник по дизайну . ISBN Dover Publications, Inc. 0-486-23729-Х.(Раздел 3-9)
• Энтони Пью (1976). Многогранники: визуальный подход . Калифорния: Издательство Калифорнийского университета в Беркли. ISBN 0-520-03056-7.Глава 4: Двойники архимедовых многогранников, призмы и антипризмы

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Каталонские твердые тела». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Изоэдр». Математический мир .
• Каталонские тела - в Visual Polyhedra
• Архимедовы двойники – в Многогранниках виртуальной реальности
• Интерактивный каталанский Solid на Java
• Ссылка для скачивания оригинальной каталонской публикации 1865 года с красивыми рисунками, формат PDF