В математике теория катастроф — раздел теории бифуркаций при изучении динамических систем ; это также частный частный случай более общей теории особенностей в геометрии .
Теория бифуркаций изучает и классифицирует явления, характеризующиеся внезапными изменениями в поведении, возникающими из-за небольших изменений обстоятельств, анализируя, как качественный характер решений уравнений зависит от параметров, входящих в уравнение. Это может привести к внезапным и драматическим изменениям, например, к непредсказуемому времени и масштабу оползня .
Теория катастроф возникла благодаря работам французского математика Рене Тома в 1960-х годах и стала очень популярной благодаря усилиям Кристофера Зеемана в 1970-х годах. Он рассматривает особый случай, когда долгосрочное устойчивое равновесие можно определить как минимум гладкой, четко определенной потенциальной функции ( функции Ляпунова ). Небольшие изменения некоторых параметров нелинейной системы могут привести к появлению или исчезновению равновесия или к смене притяжения на отталкивание и наоборот, что приводит к большим и внезапным изменениям поведения системы. Однако, рассматриваемая в более широком пространстве параметров , теория катастроф показывает, что такие точки бифуркации имеют тенденцию возникать как часть четко определенных качественных геометрических структур.
В конце 1970-х годов применение теории катастроф к областям, выходящим за рамки ее компетенции, начало подвергаться критике, особенно в биологии и социальных науках. [1] [2] Залер и Суссманн в статье 1977 года в журнале Nature назвали такие приложения «характеризующимися неверными рассуждениями, надуманными предположениями, ошибочными последствиями и преувеличенными утверждениями». [3] В результате теория катастроф стала менее популярной в приложениях. [4]
Теория катастроф анализирует вырожденные критические точки потенциальной функции — точки, в которых не только первая производная, но и одна или несколько высших производных потенциальной функции также равны нулю. Их называют ростками геометрий катастроф. Вырождение этих критических точек можно развернуть , разложив потенциальную функцию в ряд Тейлора по малым возмущениям параметров.
Когда вырожденные точки не просто случайны, но и структурно стабильны , они существуют как организующие центры для определенных геометрических структур меньшей вырожденности с критическими особенностями в пространстве параметров вокруг них. Если потенциальная функция зависит от двух или менее активных переменных и четырех или менее активных параметров, то существует только семь общих структур для этих бифуркационных геометрий с соответствующими стандартными формами, в которые ряд Тейлора вокруг ростков катастрофы может быть преобразован с помощью диффеоморфизма ( гладкое преобразование, обратное к которому также гладкое). [ нужна цитата ] Эти семь основных типов теперь представлены с именами, которые Том дал им.
Теория катастроф изучает динамические системы, которые описывают эволюцию [5] переменной состояния во времени :
В приведенном выше уравнении она называется потенциальной функцией и часто представляет собой вектор или скаляр, параметризующий потенциальную функцию. Значение может меняться со временем, и его также можно назвать управляющей переменной . В следующих примерах такими элементами управления являются такие параметры, как.
При a < 0 потенциал V имеет два экстремума — один стабильный и один нестабильный. Если параметр a медленно увеличивать, система может следовать стабильной минимальной точке. Но при a = 0 устойчивый и нестабильный экстремумы встречаются и аннигилируют. Это точка бифуркации. При a > 0 устойчивого решения уже нет. Если физическая система проходит через бифуркацию складки, то обнаруживается, что когда a достигает 0, устойчивость решения a < 0 внезапно теряется, и система внезапно переходит к новому, совершенно иному поведению. Это бифуркационное значение параметра а иногда называют « переломным моментом ».
Геометрия возврата очень распространена, когда кто-то исследует, что происходит с бифуркацией складки, если в управляющее пространство добавляется второй параметр b . Варьируя параметры, обнаруживается, что теперь существует кривая (синяя) из точек в пространстве ( a , b ), где стабильность теряется, где устойчивое решение внезапно переходит к альтернативному результату.
Но в геометрии возврата бифуркационная кривая зацикливается сама на себе, образуя вторую ветвь, в которой это альтернативное решение само теряет устойчивость и совершает прыжок обратно к исходному множеству решений. Таким образом, многократно увеличивая b , а затем уменьшая его, можно наблюдать петли гистерезиса , когда система попеременно следует за одним решением, переходит к другому, следует за другим обратно, а затем возвращается к первому.
Однако это возможно только в области пространства параметров a < 0 . По мере увеличения a петли гистерезиса становятся все меньше и меньше, пока выше a = 0 они не исчезнут совсем (касповая катастрофа), и останется только одно устойчивое решение.
Можно также рассмотреть, что произойдет, если держать b постоянным и изменять a . В симметричном случае b = 0 при уменьшении a наблюдается бифуркация в виде вил , при этом одно устойчивое решение внезапно распадается на два устойчивых решения и одно неустойчивое решение, когда физическая система переходит к a < 0 через точку возврата (0,0). (пример спонтанного нарушения симметрии ). За пределами точки возврата не происходит резких изменений в физическом решении: при прохождении через кривую бифуркаций складок все, что происходит, — это становится доступным альтернативное второе решение.
Известное предположение состоит в том, что катастрофу куспида можно использовать для моделирования поведения собаки, находящейся в стрессе, которая может в ответ испугаться или разозлиться. [6] Предполагается, что при умеренном стрессе ( a > 0 ) у собаки будет плавный переход реакции от испуга к гневу, в зависимости от того, как ее спровоцировать. Но более высокие уровни напряжения соответствуют переходу в область ( a < 0 ). Затем, если собака начнет бояться, она будет оставаться запуганной, поскольку будет раздражаться все больше и больше, пока не достигнет точки «сгиба», когда она внезапно, прерывисто перейдет в режим гнева. Попав в «злой» режим, он останется злым, даже если параметр прямого раздражения значительно уменьшится.
Простая механическая система, «Машина катастроф Зеемана», прекрасно иллюстрирует катастрофу куспида. В этом устройстве плавные изменения положения конца пружины могут вызвать резкие изменения вращательного положения прикрепленного колеса. [7]
Катастрофический отказ сложной системы с параллельным резервированием можно оценить на основе соотношения между местными и внешними напряжениями. Модель механики структурного разрушения аналогична поведению касповой катастрофы. Модель прогнозирует резервную способность сложной системы.
Другие приложения включают перенос электронов во внешнюю сферу, часто встречающийся в химических и биологических системах, [8] моделирование динамики облачных ядер конденсации в атмосфере, [9] и моделирование цен на недвижимость. [10]
Бифуркации складок и геометрия возврата — безусловно, наиболее важные практические следствия теории катастроф. Это закономерности, которые повторяются снова и снова в физике, технике и математическом моделировании. Они вызывают сильные события гравитационного линзирования и предоставляют астрономам один из методов, используемых для обнаружения черных дыр и темной материи Вселенной, посредством явления гравитационного линзирования , создающего множественные изображения далеких квазаров . [11]
Остальные простые геометрии катастроф по сравнению с ними очень специализированы и представлены здесь только ради любопытства.
Пространство параметров управления является трехмерным. Множество бифуркаций в пространстве параметров состоит из трех поверхностей бифуркаций складок, которые пересекаются в двух линиях бифуркаций возврата, которые, в свою очередь, встречаются в одной точке бифуркации ласточкиного хвоста.
При прохождении параметров через поверхность бифуркаций складок исчезают один минимум и один максимум потенциальной функции. В бифуркациях каспа два минимума и один максимум сменяются одним минимумом; за ними бифуркации складок исчезают. В точке «ласточкин хвост» два минимума и два максимума встречаются при одном значении x . Для значений a > 0 за пределами ласточкиного хвоста существует либо одна пара максимум-минимум, либо вообще нет, в зависимости от значений b и c . Таким образом, две поверхности бифуркаций складок и две линии бифуркаций возврата, где они встречаются при a < 0 , исчезают в точке «ласточкиного хвоста», и на их месте остается только одна поверхность бифуркаций складок. Последняя картина Сальвадора Дали «Ласточкин хвост» была основана на этой катастрофе.
В зависимости от значений параметров потенциальная функция может иметь три, два или один разный локальный минимум, разделенный точками бифуркаций складки. В точке бабочки различные 3-поверхности бифуркаций складок, 2-поверхности бифуркаций возврата и линии бифуркаций ласточкиного хвоста встречаются и исчезают, оставляя единственную структуру возврата, когда a > 0 .
Пупочные катастрофы являются примерами катастроф коранга 2. Их можно наблюдать в оптике на фокальных поверхностях , создаваемых светом, отражающимся от поверхности в трех измерениях, и они тесно связаны с геометрией почти сферических поверхностей: точка пупка . Том предположил, что катастрофа гиперболической пуповины моделирует разбиение волны, а эллиптическая пуповина моделирует создание волосоподобных структур.
Владимир Арнольд дал катастрофам классификацию ADE из-за глубокой связи с простыми группами Ли . [ нужна цитата ]
В теории особенностей есть объекты, соответствующие большинству других простых групп Ли.
