Локализация категории

В математике локализация категории состоит из добавления к категории обратных морфизмов для некоторого набора морфизмов, принуждая их становиться изоморфизмами . Формально это похоже на процесс локализации кольца ; в общем, он делает объекты изоморфными, которые не были таковыми раньше. В теории гомотопий , например, имеется много примеров отображений, обратимых с точностью до гомотопии; и так большие классы гомотопически эквивалентных пространств ^{[ необходимы пояснения ]} . Исчисление дробей — другое название работы в локализованной категории.

Введение и мотивация

Категория C состоит из объектов и морфизмов между этими объектами. Морфизмы отражают отношения между объектами. Во многих ситуациях имеет смысл заменить C другой категорией C' , в которой определенные морфизмы вынуждены быть изоморфизмами. Этот процесс называется локализацией.

Например, в категории R - модулей (для некоторого фиксированного коммутативного кольца R ) умножение на фиксированный элемент r кольца R обычно (т. е. если r не является единицей ) не является изоморфизмом:

${\displaystyle M\to M\quad m\mapsto r\cdot m.}$

Категория, наиболее тесно связанная с R -модулями, но в которой это отображение является изоморфизмом, оказывается категорией -модулей. Вот локализация R относительно (мультипликативно замкнутого) подмножества S , состоящего из всех степеней r . Выражение « наиболее тесно связанное» формализуется двумя условиями: во-первых, существует функтор ${\displaystyle R[S^{-1}]}$ ${\displaystyle R[S^{-1}]}$ ${\displaystyle S=\{1,r,r^{2},r^{3},\dots \}}$

${\displaystyle \varphi :{\text{Mod}}_{R}\to {\text{Mod}}_{R[S^{-1}]}\quad M\mapsto M[S^{-1}]}$

отправка любого R - модуля к его локализации относительно S. Более того, для любой категории C и любого функтора

${\displaystyle F:{\text{Mod}}_{R}\to C}$

переводя отображение умножения на r на любом R -модуле (см. выше) в изоморфизм C , существует единственный функтор

${\displaystyle G:{\text{Mod}}_{R[S^{-1}]}\to C}$

такой, что . ${\displaystyle F=G\circ \varphi }$

Локализация категорий

Приведенные выше примеры локализации R -модулей резюмируются следующим определением. В этой форме он применяется во многих других примерах, некоторые из которых показаны ниже.

Учитывая категорию C и некоторый класс W морфизмов в C , локализация C [ W ^{−1 ] является другой категорией} , которая получается путем обращения всех морфизмов в W. Более формально, он характеризуется универсальным свойством : существует естественный функтор локализации C → C [ W ⁻¹ ] и для данной другой категории D функтор F : C → D факторизуется однозначно над C [ W ⁻¹ ] тогда и только если F переводит все стрелки в W в изоморфизмы.

Таким образом, локализация категории единственна с точностью до единственного изоморфизма категорий, если он существует. Одна конструкция локализации осуществляется путем объявления того, что ее объекты такие же, как и в C , но морфизмы улучшаются за счет добавления формального обратного для каждого морфизма в W. При подходящих гипотезах о W , ^[1] морфизмы объекта X в объект Y задаются крышами

${\displaystyle X{\stackrel {f}{\leftarrow }}X'\rightarrow Y}$

(где X' — произвольный объект из C , а f принадлежит данному классу морфизмов W ) по модулю некоторых отношений эквивалентности. Эти отношения превращают карту, идущую в «неправильном» направлении, в инверсию f . Это «исчисление дробей» можно рассматривать как обобщение конструкции рациональных чисел как классов эквивалентности пар целых чисел.

Однако эта процедура, вообще говоря, дает правильный класс морфизмов между X и Y . Обычно морфизмам в категории разрешено образовывать только набор. Некоторые авторы просто игнорируют подобные теоретико-множественные проблемы.

Категории моделей

Строгое построение локализации категорий, позволяющее избежать этих теоретико-множественных проблем, было одной из первоначальных причин развития теории модельных категорий : модельная категория М — это категория, в которой имеются три класса отображений; один из этих классов — класс слабых эквивалентностей . Гомотопическая категория Ho( M ) является тогда локализацией относительно слабых эквивалентностей. Аксиомы модельной категории гарантируют, что эту локализацию можно определить без теоретико-множественных трудностей.

Альтернативное определение

Некоторые авторы также определяют локализацию категории C как идемпотентный и дополненный функтор. Коаугментированный функтор — это пара (L,l) , где L:C → C — эндофунктор , а l:Id → L — естественное преобразование тождественного функтора в L (называемое коагуляцией). Кодополненный функтор идемпотентен, если для любого X оба отображения L(l _X ),l _L(X) :L(X) → LL(X) являются изоморфизмами. Можно доказать, что в этом случае обе карты равны. ^[2]

Это определение связано с данным выше следующим образом: применяя первое определение, во многих ситуациях существует не только канонический функтор , но и функтор в противоположном направлении, ${\displaystyle C\to C[W^{-1}]}$

${\displaystyle C[W^{-1}]\to C.}$

Например, модули над локализацией кольца также являются модулями над самим R , что дает функтор ${\displaystyle R[S^{-1}]}$

${\displaystyle {\text{Mod}}_{R[S^{-1}]}\to {\text{Mod}}_{R}}$

В этом случае композиция

${\displaystyle L:C\to C[W^{-1}]\to C}$

является локализацией C в смысле идемпотентного и дополненного функтора.

Примеры

C -теория Серра

Серр ввел идею работы в теории гомотопий по модулю некоторого класса C абелевых групп . Это означало, что группы A и B считались изоморфными, если, например, A /B лежит в C.

Теория модулей

В теории модулей над коммутативным кольцом R , когда R имеет размерность Крулля ≥ 2, может быть полезно рассматривать модули M и N как псевдоизоморфные, если M/N имеет носитель коразмерности не менее двух. Эта идея широко используется в теории Ивасавы .

Производные категории

Производная категория абелевой категории широко используется в гомологической алгебре . Это локализация категории цепных комплексов (с точностью до гомотопии) относительно квазиизоморфизмов .

Частные абелевых категорий

Учитывая абелеву категорию A и подкатегорию Серра B, можно определить фактор-категорию A/B, которая представляет собой абелеву категорию, снабженную точным функтором из A в A/B , который по существу сюръективен и имеет ядро ​​B. Эта фактор-категория может быть построена как локализация A с помощью класса морфизмов, ядро ​​и коядро которых оба находятся в B.

Абелевы многообразия с точностью до изогении

Изогения абелева многообразия А в другое В есть сюръективный морфизм с конечным ядром . Некоторые теоремы об абелевых многообразиях для их удобной формулировки требуют идеи абелева многообразия с точностью до изогении . Например, для абелева подмногообразия A ₁ в A существует другое подмногообразие A ₂ в A такое, что

А ₁ × А ₂

изогенен A (теорема Пуанкаре о сводимости: см. , например, « Абелевы многообразия » Дэвида Мамфорда ). Чтобы назвать это разложением в прямую сумму , нам следует работать в категории абелевых многообразий с точностью до изогении.

Связанные понятия

Локализация топологического пространства , введенная Деннисом Салливаном , порождает другое топологическое пространство, гомология которого является локализацией гомологии исходного пространства.

Гораздо более общая концепция гомотопической алгебры , включающая в качестве частных случаев как локализацию пространств, так и категорий, — это локализация Боусфилда модельной категории . Локализация Бусфилда заставляет определенные отображения становиться слабыми эквивалентностями , что, как правило, слабее, чем принуждение их к превращению в изоморфизмы. ^[3]

Смотрите также

• Упрощенная локализация

Рекомендации

1. Габриэль, Пьер ; Зисман, Мишель (1967). Исчисление дробей и теория гомотопий (PDF) . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 35. Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 12.
2. Идемпотенты в моноидальных категориях
3. Филип С. Хиршхорн: Категории моделей и их локализация , 2003, ISBN 0-8218-3279-4 , Определение 3.3.1