Предпучок (теория категорий)

Функтор из категории, противоположной категории Set

В теории категорий , разделе математики , предпучок в категории — это функтор . Если — частично упорядоченное множество открытых множеств в топологическом пространстве , интерпретируемое как категория, то восстанавливается обычное понятие предпучка в топологическом пространстве. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F\colon C^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Set} }$ ${\displaystyle C}$

Морфизм предпучков определяется как естественное преобразование функторов. Это превращает совокупность всех предпучков на в категорию и является примером категории функторов . Его часто записывают как и называют категорией предпучков на . Функтор в иногда называют профунктором . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\widehat {C}}=\mathbf {Set} ^{C^{\mathrm {op} }}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\widehat {C}}}$

Предпучок, который естественно изоморфен контравариантному hom-функтору Hom(–, A ) для некоторого объекта A из C, называется представимым предпучком .

Некоторые авторы называют функтор -значным предпучком . ^[1] ${\displaystyle F\colon C^{\mathrm {op} }\to \mathbf {V} }$ ${\displaystyle \mathbf {V} }$

Примеры

• Симплициальное множество — это многозначный предпучок в категории симплексов . ${\displaystyle C=\Delta }$

Характеристики

• Когда — малая категория , категория функторов является декартово замкнутой . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\widehat {C}}=\mathbf {Set} ^{C^{\mathrm {op} }}}$
• ЧУМ множества подобъектов образует алгебру Гейтинга , когда является объектом для малых . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\widehat {C}}=\mathbf {Set} ^{C^{\mathrm {op} }}}$ ${\displaystyle C}$
• Для любого морфизма , функтор обратного протягивания подобъектов имеет правый сопряженный , обозначаемый , и левый сопряженный . Это универсальные и экзистенциальные кванторы. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\widehat {C}}}$ ${\displaystyle f^{*}:\mathrm {Sub} _{\widehat {C}}(Y)\to \mathrm {Sub} _{\widehat {C}}(X)}$ ${\displaystyle \forall _{f}}$ ${\displaystyle \exists _{f}}$
• Локально малая категория полностью и точно вкладывается в категорию многозначных предпучков посредством вложения Йонеды , которое каждому объекту сопоставляет функтор hom . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\widehat {C}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C(-,A)}$
• Категория допускает малые пределы и малые копределы . ^[2] Для дальнейшего обсуждения см. предел и копредел предпучков . ${\displaystyle {\widehat {C}}}$
• Теорема плотности утверждает, что каждый предпучок является копределом представимых предпучков; фактически, это копредельное пополнение (см. свойство #Universal ниже.) ${\displaystyle {\widehat {C}}}$ ${\displaystyle C}$

Универсальная собственность

Конструкция называется копредельным пополнением C из - за следующего универсального свойства : ${\displaystyle C\mapsto {\widehat {C}}=\mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} )}$

Предложение ^[3]  —  Пусть C , D — категории и предположим, что D допускает малые копределы. Тогда каждый функтор факторизуется как ${\displaystyle \eta :C\to D}$

${\displaystyle C{\overset {y}{\longrightarrow }}{\widehat {C}}{\overset {\widetilde {\eta }}{\longrightarrow }}D}$

где y — вложение Йонеды, а — уникальный с точностью до изоморфизма сохраняющий копредел функтор, называемый расширением Йонеды . ${\displaystyle {\widetilde {\eta }}:{\widehat {C}}\to D}$ ${\displaystyle \eta }$

Доказательство : Если задан предпучок F , то по теореме о плотности мы можем записать , где находятся объекты в C . Тогда пусть , который существует по предположению. Поскольку является функториальным, это определяет функтор . Кратко, является левым расширением Кана вдоль y ; отсюда и название «расширение Йонеды». Чтобы увидеть коммутирует с малыми копределами, мы показываем, что является левым сопряженным (к некоторому функтору). Определим как функтор, заданный: для каждого объекта M в D и каждого объекта U в C , ${\displaystyle F=\varinjlim yU_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle {\widetilde {\eta }}F=\varinjlim \eta U_{i},}$ ${\displaystyle \varinjlim -}$ ${\displaystyle {\widetilde {\eta }}:{\widehat {C}}\to D}$ ${\displaystyle {\widetilde {\eta }}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle {\widetilde {\eta }}}$ ${\displaystyle {\widetilde {\eta }}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}om(\eta ,-):D\to {\widehat {C}}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}om(\eta ,M)(U)=\operatorname {Hom} _{D}(\eta U,M).}$

Тогда для каждого объекта M в D , поскольку по лемме Йонеды, имеем: ${\displaystyle {\mathcal {H}}om(\eta ,M)(U_{i})=\operatorname {Hom} (yU_{i},{\mathcal {H}}om(\eta ,M))}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Hom} _{D}({\widetilde {\eta }}F,M)&=\operatorname {Hom} _{D}(\varinjlim \eta U_{i},M)=\varprojlim \operatorname {Hom} _{D}(\eta U_{i},M)=\varprojlim {\mathcal {H}}om(\eta ,M)(U_{i})\\&=\operatorname {Hom} _{\widehat {C}}(F,{\mathcal {H}}om(\eta ,M)),\end{aligned}}}$

то есть является левым сопряженным к . ${\displaystyle {\widetilde {\eta }}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}om(\eta ,-)}$ ${\displaystyle \square }$

Предложение даёт несколько следствий. Например, предложение подразумевает, что конструкция является функториальной: т. е. каждый функтор определяет функтор . ${\displaystyle C\mapsto {\widehat {C}}}$ ${\displaystyle C\to D}$ ${\displaystyle {\widehat {C}}\to {\widehat {D}}}$

Варианты

Предпучок пространств на ∞-категории C — это контравариантный функтор из C в ∞-категорию пространств (например, нерв категории CW-комплексов .) ^[4] Это ∞-категорийная версия предпучка множеств, поскольку «множество» заменяется на «пространство». Это понятие используется, среди прочего, в ∞-категорийной формулировке леммы Йонеды , которая гласит: является полностью точным (здесь C может быть просто симплициальным множеством .) ^[5] ${\displaystyle C\to PShv(C)}$

Копучкой категории C является предпучок категории C ^op . Другими словами, это ковариантный функтор из C в Set . [ 6 ^]

Смотрите также

• Топос
• Категория элементов
• Симплициальный предпучок (это понятие получается путем замены «множества» на «симплициальное множество»)
• Presheaf с трансферами

Примечания

1. Лемма Йонеды в n Lab
2. Кашивара и Шапира 2005, следствие 2.4.3.
3. Кашивара и Шапира 2005, Предложение 2.7.1.
4. Лурье, Определение 1.2.16.1.
5. Лурье, Предложение 5.1.3.1.
6. "copresheaf". nLab . Получено 4 сентября 2024 г. .

Ссылки

• Касивара, Масаки ; Шапира, Пьер (2005). Категории и пучки. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 332. Спрингер. ISBN 978-3-540-27950-1.
• Лурье, Дж. Теория высшего топоса .
• Mac Lane, Saunders ; Moerdijk, Ieke (1992). Пучки в геометрии и логике . Springer. ISBN 0-387-97710-4.
• Аводей, Стив (2006). Теория категорий . doi :10.1093/acprof:oso/9780198568612.001.0001. ISBN 978-0-19-856861-2.

Дальнейшее чтение

• Presheaf в n Lab
• категория предпучков в n Lab
• Бесплатное совместное завершение в n Lab
• Дэниел Даггер, «Пучки и теория гомотопии», файл PDF, предоставленный nlab.