Категория Фукая

Категория симплектического многообразия

В симплектической топологии категория Фукая симплектического многообразия — это категория , объектами которой являются лагранжевы подмногообразия , а морфизмами — лагранжевы группы цепей Флоера : . Ее более тонкую структуру можно описать как A ∞ -категорию . ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (L_{0},L_{1})=CF(L_{0},L_{1})}$

Они названы в честь Кэндзи Фукая , который первым ввел этот язык в контексте гомологии Морса , ^[1] и существуют в ряде вариантов. Поскольку категории Фукая являются A∞ - категориями , они имеют связанные с ними производные категории , которые являются предметом знаменитой гипотезы гомологической зеркальной симметрии Максима Концевича . ^[2] Эта гипотеза теперь была проверена вычислительно для ряда примеров. ${\displaystyle A_{\infty }}$

Формальное определение

Пусть будет симплектическим многообразием. Для каждой пары лагранжевых подмногообразий , пересекающихся трансверсально, определяется комплекс коцепей Флоера , который является модулем, порожденным точками пересечения . Комплекс коцепей Флоера рассматривается как множество морфизмов из в . Категория Фукая является категорией, что означает, что помимо обычных композиций существуют более высокие отображения композиций ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle L_{0},L_{1}\subset X}$ ${\displaystyle CF^{*}(L_{0},L_{1})}$ ${\displaystyle L_{0}\cap L_{1}}$ ${\displaystyle L_{0}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$

${\displaystyle \mu _{d}:CF^{*}(L_{d-1},L_{d})\otimes CF^{*}(L_{d-2},L_{d-1})\otimes \cdots \otimes CF^{*}(L_{1},L_{2})\otimes CF^{*}(L_{0},L_{1})\to CF^{*}(L_{0},L_{d}).}$

Он определяется следующим образом. Выберем совместимую почти комплексную структуру на симплектическом многообразии . Для генераторов и коцепных комплексов пространство модулей -голоморфных многоугольников с гранями, в которых каждая грань отображается, имеет счет ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle p_{d-1,d}\in CF^{*}(L_{d-1},L_{d}),\ldots ,p_{0,1}\in CF^{*}(L_{0},L_{1})}$ ${\displaystyle q_{0,d}\in CF^{*}(L_{0},L_{d})}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle d+1}$ ${\displaystyle L_{0},L_{1},\ldots ,L_{d}}$

${\displaystyle n(p_{d-1,d},\ldots ,p_{0,1};q_{0,d})}$

в кольце коэффициентов. Затем определяем

${\displaystyle \mu _{d}(p_{d-1,d},\ldots ,p_{0,1})=\sum _{q_{0,d}\in L_{0}\cap L_{d}}n(p_{d-1,d},\ldots ,p_{0,1})\cdot q_{0,d}\in CF^{*}(L_{0},L_{d})}$

и расширяться многолинейным образом. ${\displaystyle \mu _{d}}$

Последовательность высших композиций удовлетворяет соотношениям, поскольку границы различных пространств модулей голоморфных многоугольников соответствуют конфигурациям вырожденных многоугольников. ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2},\ldots ,}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$

Это определение категории Фукая для общего (компактного) симплектического многообразия никогда не было строго дано. Основной проблемой является вопрос трансверсальности, который необходим для определения подсчета голоморфных дисков.

Смотрите также

• Гомотопическая ассоциативная алгебра

Ссылки

1. Кэндзи Фукая, Гомотопия Морзе, категория и гомологии Флоера ${\displaystyle A_{\infty }}$ , препринт MSRI № 020-94 (1993)
2. Концевич, Максим, Гомологическая алгебра зеркальной симметрии , Труды Международного конгресса математиков, т. 1, 2 (Цюрих, 1994), 120–139, Birkhäuser, Базель, 1995.

Библиография

• Дени Ору , Введение в категории Фукая для начинающих.

• Пауль Зайдель , категории Фукая и теория Пикара-Лефшеца. Цюрихские лекции по высшей математике
• Фукая, Кэндзи ; О, Ён-Гын ; Охта, Хироши; Оно, Каору (2009), Лагранжева пересечение теории Флоера: аномалия и препятствие. Часть I , AMS/IP Studies in Advanced Mathematics, т. 46, Американское математическое общество , Провиденс, Род-Айленд; International Press, Сомервилл, Массачусетс, ISBN 978-0-8218-4836-4, г-н  2553465
• Фукая, Кэндзи ; О, Ён-Гын; Охта, Хироши; Оно, Каору (2009), Лагранжева пересечение теории Флоера: аномалия и препятствие. Часть II , AMS/IP Studies in Advanced Mathematics, т. 46, Американское математическое общество , Провиденс, Род-Айленд; International Press, Сомервилл, Массачусетс, ISBN 978-0-8218-4837-1, г-н  2548482

Внешние ссылки

• Тема на MathOverflow «Определена ли категория Фукая?»