В математике факторная категория — это категория , полученная из другой категории путем идентификации множеств морфизмов . Формально это факторный объект в категории (локально малых) категорий , аналогичный факторной группе или факторному пространству , но в категориальном контексте.
Пусть C — категория. Отношение конгруэнтности R на C задается следующим образом: для каждой пары объектов X , Y в C , отношение эквивалентности R X , Y на Hom( X , Y ), такое, что отношения эквивалентности соблюдают композицию морфизмов. То есть, если
связаны в Hom( X , Y ) и
связаны в Hom( Y , Z ), то g 1 f 1 и g 2 f 2 связаны в Hom( X , Z ).
При наличии отношения конгруэнтности R на C мы можем определить фактор-категорию C / R как категорию, объекты которой являются объектами C , а морфизмы — классами эквивалентности морфизмов в C. То есть,
Композиция морфизмов в C / R хорошо определена, поскольку R является отношением конгруэнтности.
Существует естественный фактор -функтор из C в C / R , который переводит каждый морфизм в его класс эквивалентности. Этот функтор является биективным на объектах и сюръективным на Hom-множествах (т.е. это полный функтор ).
Каждый функтор F : C → D определяет конгруэнтность на C , говоря f ~ g тогда и только тогда, когда F ( f ) = F ( g ). Затем функтор F факторизуется через фактор-функтор C → C /~ единственным образом. Это можно рассматривать как « первую теорему об изоморфизме » для категорий.
Если C — аддитивная категория и мы требуем, чтобы отношение конгруэнтности ~ на C было аддитивным (т.е. если f 1 , f 2 , g 1 и g 2 — морфизмы из X в Y с f 1 ~ f 2 и g 1 ~ g 2 , то f 1 + g 1 ~ f 2 + g 2 ), то фактор-категория C /~ также будет аддитивной, а фактор-функтор C → C /~ будет аддитивным функтором.
Понятие отношения аддитивной конгруэнтности эквивалентно понятию двустороннего идеала морфизмов : для любых двух объектов X и Y нам дана аддитивная подгруппа I ( X , Y ) группы Hom C ( X , Y ) такая, что для всех f ∈ I ( X , Y ), g ∈ Hom C ( Y , Z ) и h ∈ Hom C ( W , X ) имеем gf ∈ I ( X , Z ) и fh ∈ I ( W , Y ). Два морфизма в Hom C ( X , Y ) конгруэнтны тогда и только тогда, когда их разность содержится в I ( X , Y ).
Каждое унитальное кольцо можно рассматривать как аддитивную категорию с одним объектом, а фактор-кольцо аддитивных категорий, определенный выше, в этом случае совпадает с понятием фактор-кольца по модулю двустороннего идеала.
Локализация категории вводит новые морфизмы, чтобы превратить несколько морфизмов исходной категории в изоморфизмы. Это имеет тенденцию увеличивать количество морфизмов между объектами, а не уменьшать его, как в случае факторных категорий. Но в обеих конструкциях часто случается, что два объекта становятся изоморфными, хотя не были изоморфными в исходной категории.
Фактор Серра абелевой категории по подкатегории Серра — это новая абелева категория, которая похожа на фактор-категорию, но также во многих случаях имеет характер локализации категории.
