stringtranslate.com

Квадратный корень из 5

Квадратный корень из 5 — это положительное действительное число , которое при умножении на себя дает простое число 5. Его точнее называть главным квадратным корнем из 5 , чтобы отличать его от отрицательного числа с тем же свойством. Это число появляется в дробном выражении для золотого сечения . Его можно обозначить в иррациональной форме как:

Это иррациональное алгебраическое число . [1] Первые шестьдесят значащих цифр его десятичного представления следующие:

2.23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 7089... (последовательность A002163 в OEIS ).

что можно округлить до 2,236 с точностью 99,99%. Приближение 161/72 (≈ 2,23611) для квадратного корня из пяти может быть использовано. Несмотря на то, что знаменатель равен всего 72, он отличается от правильного значения менее чем на 1/10,000 (приблизительно)4,3 × 10−5 ). По состоянию на январь 2022 года числовое значение в десятичной системе счисления квадратного корня из 5 было вычислено с точностью не менее 2 250 000 000 000 цифр. [ 2]

Рациональные приближения

Квадратный корень из 5 можно выразить как простую цепную дробь

(последовательность A040002 в OEIS )

Последовательные частные оценки цепной дроби, которые называются ее сходящимися дробями , приближаются к следующему :

Их числители — 2, 9, 38, 161, … (последовательность A001077 в OEIS ), а знаменатели — 1, 4, 17, 72, … (последовательность A001076 в OEIS ).

Каждое из них является наилучшим рациональным приближением числа ; другими словами, оно ближе к любому рациональному числу с меньшим знаменателем.

Конвергенты, выраженные как х/у , удовлетворяют попеременно уравнениям Пелля [3]

Когда аппроксимируется вавилонским методом , начиная с x 0 = 2 и используя x n +1 = 1/2( х n + 5/х н) ​​n-я аппроксимирующаядробь x n равна 2 n- й подходящей дроби цепной дроби:

Вавилонский метод эквивалентен методу Ньютона для нахождения корня , примененному к многочлену . Обновление метода Ньютона, , равно при . Таким образом, метод сходится квадратично .

Связь с золотым сечением и числами Фибоначчи

Диагональ половины квадрата образует основу геометрического построения золотого прямоугольника .

Золотое сечение φ является средним арифметическим 1 и . [4] Алгебраическая связь между , золотым сечением и сопряженным золотым сечением ( Φ = − 1/φ = 1 − φ ) выражается следующими формулами:

(Их геометрическую интерпретацию как разложений прямоугольника см. в разделе ниже . )

то естественным образом в замкнутом виде получается выражение для чисел Фибоначчи , формула которого обычно записывается в терминах золотого сечения:

Частное от деления на φ (или произведение на Φ ) и его обратная величина дают интересную картину непрерывных дробей и связаны с соотношениями между числами Фибоначчи и числами Люка : [5]

Ряды дробей к этим значениям содержат ряд чисел Фибоначчи и ряд чисел Люка в качестве числителей и знаменателей, и наоборот, соответственно:

Фактически, предел частного числа Люка и числа Фибоначчи прямо равен квадратному корню из :

Геометрия

Разложение прямоугольного треугольника на пять подобных треугольников, основа апериодической мозаики «вертушка» .
Конструкция «корневых прямоугольников» Джея Хэмбиджа
Расстояния между вершинами двойного единичного куба являются квадратными корнями первых шести натуральных чисел , включая квадратный корень из 5 (√7 невозможно из-за теоремы Лежандра о трех квадратах ).

Геометрически соответствует диагонали прямоугольника , стороны которого имеют длину 1 и 2 , как это очевидно из теоремы Пифагора . Такой прямоугольник можно получить, разделив квадрат пополам или поместив два равных квадрата рядом. Это можно использовать для подразделения квадратной сетки на наклонную квадратную сетку с пятью квадратами, образуя основу для поверхности подразделения . [6] Вместе с алгебраическим соотношением между и φ это образует основу для геометрического построения золотого прямоугольника из квадрата и для построения правильного пятиугольника по его стороне (поскольку отношение стороны к диагонали в правильном пятиугольнике равно φ ).

Поскольку две смежные грани куба развернулись бы в прямоугольник 1:2, соотношение между длиной ребра куба и кратчайшим расстоянием от одной из его вершин до противоположной, при пересечении поверхности куба , равно . Напротив, кратчайшее расстояние при пересечении внутренней части куба соответствует длине диагонали куба, которая является квадратным корнем из трех ребер. [7]

Прямоугольник с пропорциями сторон 1: называется прямоугольником корня пять и является частью серии корневых прямоугольников, подмножества динамических прямоугольников , которые основаны на (= 1), , , (= 2), ... и последовательно построены с использованием диагонали предыдущего корневого прямоугольника, начиная с квадрата. [8] Прямоугольник корня пять особенно примечателен тем, что его можно разбить на квадрат и два равных золотых прямоугольника (размерами Φ × 1 ), или на два золотых прямоугольника разных размеров (размерами Φ × 1 и 1 × φ ). [9] Его также можно разложить как объединение двух равных золотых прямоугольников (размерами 1 × φ ), пересечение которых образует квадрат. Все это можно рассматривать как геометрическую интерпретацию алгебраических соотношений между , φ и Φ, упомянутых выше. Прямоугольник корня 5 можно построить из прямоугольника 1:2 (прямоугольник корня 4) или непосредственно из квадрата способом, аналогичным способу построения золотого прямоугольника, показанного на рисунке, но с расширением дуги длины в обе стороны.

Тригонометрия

Подобно и , квадратный корень из 5 широко используется в формулах для точных тригонометрических констант , в том числе в синусах и косинусах каждого угла, градусная мера которого делится на 3, но не на 15. [10] Простейшими из них являются

Таким образом, вычисление его значения важно для создания тригонометрических таблиц . Поскольку геометрически связано с полуквадратными прямоугольниками и пятиугольниками, оно также часто появляется в формулах для геометрических свойств фигур, полученных из них, например, в формуле для объема додекаэдра . [ 7]

Диофантовы приближения

Теорема Гурвица о диофантовых приближениях утверждает, что каждое иррациональное число x может быть приближено бесконечным числом рациональных чисел м/н в самых низких выражениях таким образом, что

и это является наилучшим возможным в том смысле, что для любой большей константы, чем , существуют некоторые иррациональные числа x , для которых существует лишь конечное число таких приближений. [11]

С этим тесно связана теорема [12] о том, что для любых трех последовательных сходящихся дробей пи я/q я ,п я +1/q я +1 ,п я +2/q я +2 , для числа α выполняется хотя бы одно из трех неравенств:

И в знаменателе — это наилучшая возможная граница, поскольку конвергенты золотого сечения делают разницу в левой части произвольно близкой к значению в правой части. В частности, нельзя получить более точную границу, рассматривая последовательности из четырех или более последовательных конвергентов. [12]

Алгебра

Кольцо содержит числа вида , где a и bцелые числа , а — мнимое число . Это кольцо — часто цитируемый пример целостной области , которая не является уникальной областью факторизации . [13] Число 6 имеет две неэквивалентные факторизации в этом кольце:

С другой стороны, Дедекинд показал, что действительное квадратичное целочисленное кольцо , примыкающее к золотому сечению , является евклидовым и, следовательно, имеет уникальную область факторизации.

Поле , как и любое другое квадратичное поле , является абелевым расширением рациональных чисел. Теорема Кронекера–Вебера , таким образом, гарантирует, что квадратный корень из пяти может быть записан как рациональная линейная комбинация корней из единицы :

Личности Рамануджана

Квадратный корень из 5 появляется в различных тождествах, открытых Шринивасой Рамануджаном, включающих непрерывные дроби . [14] [15]

Например, этот случай цепной дроби Роджерса–Рамануджана :



Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Добен, Джозеф В. (июнь 1983 г.) Scientific American Георг Кантор и истоки теории трансфинитных множеств. Том 248; Страница 122.
  2. ^ Йи, Александр. «Рекорды, установленные y-cruncher».
  3. ^ Конрад, Кит. "Уравнение Пелла II" (PDF) . uconn.edu . Получено 17 марта 2022 г. .
  4. ^ Браун, Малкольм У. (30 июля 1985 г.) New York Times Загадочные кристаллы повергают ученых в неопределенность. Раздел: C; Страница 1. (Примечание: это широко цитируемая статья).
  5. ^ Ричард К. Гай : «Сильный закон малых чисел». American Mathematical Monthly , т. 95, 1988, стр. 675–712
  6. ^ Ивриссимтзис, Иоаннис П.; Доджсон, Нил А.; Сабин, Малкольм (2005), " -subdivision", в Доджсон, Нил А.; Флоатер, Майкл С.; Сабин, Малкольм А. (ред.), Достижения в области многомасштабного геометрического моделирования: доклады семинара (MINGLE 2003), состоявшегося в Кембридже 9–11 сентября 2003 г. , Математика и визуализация, Берлин: Springer, стр. 285–299, doi :10.1007/3-540-26808-1_16, ISBN 3-540-21462-3, МР  2112357
  7. ^ ab Sutton, David (2002). Платоновы и архимедовы тела. Walker & Company. стр. 55. ISBN 0802713866.
  8. ^ Кимберли Элам (2001), Геометрия дизайна: Исследования пропорций и композиции, Нью-Йорк: Princeton Architectural Press, ISBN 1-56898-249-6
  9. ^ Джей Хэмбидж (1967), Элементы динамической симметрии, Courier Dover Publications, ISBN 0-486-21776-0
  10. ^ Джулиан Д.А. Уайзман, «Sin и cos в ирландских числах»
  11. ^ Левек, Уильям Джадсон (1956), Темы теории чисел , Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Рединг, Массачусетс, MR  0080682
  12. ^ ab Хинчин, Александр Яковлевич (1964), Непрерывные дроби , Издательство Чикагского университета, Чикаго и Лондон
  13. ^ Чепмен, Скотт Т.; Готти, Феликс; Готти, Марли (2019), «Как элементы действительно учитываются в ?», в Бадави, Айман; Койкендалл, Джим (ред.), Достижения в коммутативной алгебре: посвящается Дэвиду Ф. Андерсону , Тенденции в математике, Сингапур: Birkhäuser/Springer, стр. 171–195, arXiv : 1711.10842 , doi : 10.1007/978-981-13-7028-1_9, ISBN 978-981-13-7027-4, MR  3991169, S2CID  119142526, Большинство текстов по абстрактной алгебре на уровне бакалавриата используют в качестве примера область целочисленности, которая не является уникальной областью факторизации
  14. ^ Раманатан, К. Г. (1984), «О непрерывной дроби Роджерса-Рамануджана», Труды Индийской академии наук, Раздел A , 93 (2): 67–77, doi : 10.1007/BF02840651, ISSN  0253-4142, MR  0813071, S2CID  121808904
  15. ^ Эрик В. Вайсштейн, Рамануджан, непрерывные дробив MathWorld