Положительное действительное число, которое при умножении само на себя дает 5
Квадратный корень из 5 — это положительное действительное число , которое при умножении на себя дает простое число 5. Его точнее называть главным квадратным корнем из 5 , чтобы отличать его от отрицательного числа с тем же свойством. Это число появляется в дробном выражении для золотого сечения . Его можно обозначить в иррациональной форме как:
что можно округлить до 2,236 с точностью 99,99%. Приближение 161/72 (≈ 2,23611) для квадратного корня из пяти может быть использовано. Несмотря на то, что знаменатель равен всего 72, он отличается от правильного значения менее чем на 1/10,000 (приблизительно)4,3 × 10−5 ). По состоянию на январь 2022 года числовое значение в десятичной системе счисления квадратного корня из 5 было вычислено с точностью не менее 2 250 000 000 000 цифр. [ 2]
Конвергенты, выраженные как х/у , удовлетворяют попеременно уравнениям Пелля [3]
Когда аппроксимируется вавилонским методом , начиная с x 0 = 2 и используя x n +1 = 1/2 ( х n + 5/х н ) n-я аппроксимирующаядробь x n равна 2 n- й подходящей дроби цепной дроби:
(Их геометрическую интерпретацию как разложений прямоугольника см. в разделе ниже . )
то естественным образом в замкнутом виде получается выражение для чисел Фибоначчи , формула которого обычно записывается в терминах золотого сечения:
Частное от деления на φ (или произведение на Φ ) и его обратная величина дают интересную картину непрерывных дробей и связаны с соотношениями между числами Фибоначчи и числами Люка : [5]
Ряды дробей к этим значениям содержат ряд чисел Фибоначчи и ряд чисел Люка в качестве числителей и знаменателей, и наоборот, соответственно:
Фактически, предел частного числа Люка и числа Фибоначчи прямо равен квадратному корню из :
Геометрия
Геометрически соответствует диагонали прямоугольника , стороны которого имеют длину 1 и 2 , как это очевидно из теоремы Пифагора . Такой прямоугольник можно получить, разделив квадрат пополам или поместив два равных квадрата рядом. Это можно использовать для подразделения квадратной сетки на наклонную квадратную сетку с пятью квадратами, образуя основу для поверхности подразделения . [6] Вместе с алгебраическим соотношением между и φ это образует основу для геометрического построения золотого прямоугольника из квадрата и для построения правильного пятиугольника по его стороне (поскольку отношение стороны к диагонали в правильном пятиугольнике равно φ ).
Поскольку две смежные грани куба развернулись бы в прямоугольник 1:2, соотношение между длиной ребра куба и кратчайшим расстоянием от одной из его вершин до противоположной, при пересечении поверхности куба , равно . Напротив, кратчайшее расстояние при пересечении внутренней части куба соответствует длине диагонали куба, которая является квадратным корнем из трех ребер. [7]
Прямоугольник с пропорциями сторон 1: называется прямоугольником корня пять и является частью серии корневых прямоугольников, подмножества динамических прямоугольников , которые основаны на (= 1), , , (= 2), ... и последовательно построены с использованием диагонали предыдущего корневого прямоугольника, начиная с квадрата. [8] Прямоугольник корня пять особенно примечателен тем, что его можно разбить на квадрат и два равных золотых прямоугольника (размерами Φ × 1 ), или на два золотых прямоугольника разных размеров (размерами Φ × 1 и 1 × φ ). [9] Его также можно разложить как объединение двух равных золотых прямоугольников (размерами 1 × φ ), пересечение которых образует квадрат. Все это можно рассматривать как геометрическую интерпретацию алгебраических соотношений между , φ и Φ, упомянутых выше. Прямоугольник корня 5 можно построить из прямоугольника 1:2 (прямоугольник корня 4) или непосредственно из квадрата способом, аналогичным способу построения золотого прямоугольника, показанного на рисунке, но с расширением дуги длины в обе стороны.
Таким образом, вычисление его значения важно для создания тригонометрических таблиц . Поскольку геометрически связано с полуквадратными прямоугольниками и пятиугольниками, оно также часто появляется в формулах для геометрических свойств фигур, полученных из них, например, в формуле для объема додекаэдра . [ 7]
и это является наилучшим возможным в том смысле, что для любой большей константы, чем , существуют некоторые иррациональные числа x , для которых существует лишь конечное число таких приближений. [11]
С этим тесно связана теорема [12] о том, что для любых трех последовательных сходящихся дробей пи я/q я , п я +1/q я +1 , п я +2/q я +2 , для числа α выполняется хотя бы одно из трех неравенств:
И в знаменателе — это наилучшая возможная граница, поскольку конвергенты золотого сечения делают разницу в левой части произвольно близкой к значению в правой части. В частности, нельзя получить более точную границу, рассматривая последовательности из четырех или более последовательных конвергентов. [12]
^ Конрад, Кит. "Уравнение Пелла II" (PDF) . uconn.edu . Получено 17 марта 2022 г. .
^ Браун, Малкольм У. (30 июля 1985 г.) New York Times Загадочные кристаллы повергают ученых в неопределенность. Раздел: C; Страница 1. (Примечание: это широко цитируемая статья).
^ Ивриссимтзис, Иоаннис П.; Доджсон, Нил А.; Сабин, Малкольм (2005), " -subdivision", в Доджсон, Нил А.; Флоатер, Майкл С.; Сабин, Малкольм А. (ред.), Достижения в области многомасштабного геометрического моделирования: доклады семинара (MINGLE 2003), состоявшегося в Кембридже 9–11 сентября 2003 г. , Математика и визуализация, Берлин: Springer, стр. 285–299, doi :10.1007/3-540-26808-1_16, ISBN3-540-21462-3, МР 2112357
^ ab Sutton, David (2002). Платоновы и архимедовы тела. Walker & Company. стр. 55. ISBN0802713866.
^ Кимберли Элам (2001), Геометрия дизайна: Исследования пропорций и композиции, Нью-Йорк: Princeton Architectural Press, ISBN1-56898-249-6
^ Джулиан Д.А. Уайзман, «Sin и cos в ирландских числах»
^ Левек, Уильям Джадсон (1956), Темы теории чисел , Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Рединг, Массачусетс, MR 0080682
^ ab Хинчин, Александр Яковлевич (1964), Непрерывные дроби , Издательство Чикагского университета, Чикаго и Лондон
^ Чепмен, Скотт Т.; Готти, Феликс; Готти, Марли (2019), «Как элементы действительно учитываются в ?», в Бадави, Айман; Койкендалл, Джим (ред.), Достижения в коммутативной алгебре: посвящается Дэвиду Ф. Андерсону , Тенденции в математике, Сингапур: Birkhäuser/Springer, стр. 171–195, arXiv : 1711.10842 , doi : 10.1007/978-981-13-7028-1_9, ISBN978-981-13-7027-4, MR 3991169, S2CID 119142526, Большинство текстов по абстрактной алгебре на уровне бакалавриата используют в качестве примера область целочисленности, которая не является уникальной областью факторизации
^ Раманатан, К. Г. (1984), «О непрерывной дроби Роджерса-Рамануджана», Труды Индийской академии наук, Раздел A , 93 (2): 67–77, doi : 10.1007/BF02840651, ISSN 0253-4142, MR 0813071, S2CID 121808904
^ Эрик В. Вайсштейн, Рамануджан, непрерывные дробив MathWorld