Две ориентации изображения решетки являются наиболее распространенными. Их удобно называть вертикальной квадратной решеткой и диагональной квадратной решеткой; последнюю также называют центрированной квадратной решеткой . [6] Они отличаются углом 45°. Это связано с тем, что квадратную решетку можно разбить на две квадратные подрешетки, что видно из раскраски шахматной доски .
Симметрия
Категория симметрии квадратной решетки — группа обоев p4m . Узор с этой решеткой трансляционной симметрии не может иметь больше, но может иметь меньшую симметрию, чем сама решетка. Вертикальную квадратную решетку можно рассматривать как диагональную квадратную решетку с размером ячейки в √2 раза больше, с добавлением центров квадратов. Соответственно, после сложения центров квадратов вертикальной квадратной решетки получается диагональная квадратная решетка с размером ячеек в √2 раза меньшим, чем у исходной решетки. Паттерн с 4-кратной вращательной симметрией имеет квадратную решетку из 4-кратных ротоцентров, которая в √2 раза тоньше и диагонально ориентирована относительно решетки трансляционной симметрии .
В двух перпендикулярных направлениях. Это группа обоев p4g . Точки пересечения осей отражения образуют квадратную сетку, которая такая же мелкая и ориентирована так же, как квадратная решетка из 4-кратных ротоцентров, причем эти ротоцентры находятся в центрах квадратов, образованных осями отражения.
^ Голубицкий, Мартин ; Стюарт, Ян (2003), Перспектива симметрии: от равновесия к хаосу в фазовом и физическом пространстве, Progress in Mathematics, vol. 200, Спрингер, с. 129, ISBN9783764321710.
^ Филд, Майкл; Голубицкий, Мартин (2009), Симметрия в хаосе: поиск закономерностей в математике, искусстве и природе (2-е изд.), SIAM, с. 47, ISBN9780898717709.
^ Джонсон, Норман В .; Вайс, Асия Ивич (1999), «Квадратичные целые числа и группы Кокстера», Canadian Journal of Mathematics , 51 (6): 1307–1336, doi : 10.4153/CJM-1999-060-6. См., в частности, начало стр. 1320.
^ Шатшнайдер, Дорис ; Сенешаль, Марджори (2004), «Плитка», Гудман, Джейкоб Э .; О'Рурк, Джозеф (ред.), Справочник по дискретной и вычислительной геометрии , Дискретная математика и ее приложения (2-е изд.), CRC Press, стр. 53–72, ISBN9781420035315. См., в частности, таблицу на стр. 62, связывающий обозначение IUC с обозначением орбифолда.
^ Джонстон, Бернард Л.; Ричман, Фред (1997), Числа и симметрия: введение в алгебру, CRC Press, стр. 159, ISBN9780849303012.
Викискладе есть медиафайлы, связанные с квадратными решетками .