В математическом комплексном анализе квазиконформное отображение , введенное Грётшем (1928) и названное Альфорсом (1935), представляет собой (слабо дифференцируемый) гомеоморфизм между плоскими областями, который в первом порядке переводит малые окружности в малые эллипсы ограниченного эксцентриситета .
Интуитивно, пусть f : D → D ′ будет гомеоморфизмом, сохраняющим ориентацию, между открытыми множествами на плоскости. Если f непрерывно дифференцируема , то она является K -квазиконформной, если производная f в каждой точке отображает окружности в эллипсы с эксцентриситетом , ограниченным K.
Предположим, что f : D → D ′, где D и D ′ — две области в C . Существует множество эквивалентных определений, в зависимости от требуемой гладкости f . Если предполагается, что f имеет непрерывные частные производные , то f является квазиконформным, если оно удовлетворяет уравнению Бельтрами
для некоторого комплекснозначного измеримого по Лебегу μ, удовлетворяющего (Bers 1977). Это уравнение допускает геометрическую интерпретацию. Снабдим D метрическим тензором
где Ω( z ) > 0. Тогда f удовлетворяет ( 1 ) в точности тогда, когда она является конформным преобразованием из D, снабженной этой метрикой, в область D ′, снабженную стандартной евклидовой метрикой. Функция f тогда называется μ-конформной . В более общем случае непрерывную дифференцируемость f можно заменить более слабым условием, что f находится в пространстве Соболева W 1,2 ( D ) функций, чьи дистрибутивные производные первого порядка лежат в L 2 ( D ) . В этом случае f должна быть слабым решением ( 1 ). Когда μ равна нулю почти всюду, любой гомеоморфизм в W 1,2 ( D ), который является слабым решением ( 1 ), является конформным.
Не прибегая к вспомогательной метрике, рассмотрим эффект отката под f обычной евклидовой метрики. Результирующая метрика тогда задается как
которая относительно фоновой евклидовой метрики имеет собственные значения
Собственные значения представляют собой, соответственно, квадраты длин большой и малой осей эллипса, полученных путем проведения вдоль единичной окружности в касательной плоскости.
Соответственно, расширение f в точке z определяется как
( Существенный) супремум K ( z ) определяется как
и называется расширением f .
Определение, основанное на понятии экстремальной длины , следующее. Если существует конечное K такое, что для любого набора Γ кривых в D экстремальная длина Γ не превышает K раз экстремальной длины { f o γ : γ ∈ Γ }. Тогда f является K -квазиконформным.
Если f является K -квазиконформным для некоторого конечного K , то f является квазиконформным.
Если K > 1 , то отображения x + iy ↦ Kx + iy и x + iy ↦ x + iKy являются квазиконформными и имеют постоянную дилатацию K.
Если s > −1, то отображение квазиконформно (здесь z — комплексное число ) и имеет постоянную дилатацию . Когда s ≠ 0, это пример квазиконформного гомеоморфизма, который не является гладким. Если s = 0, это просто тождественное отображение.
Гомеоморфизм является 1-квазиконформным тогда и только тогда, когда он конформен. Следовательно, тождественное отображение всегда является 1-квазиконформным. Если f : D → D ′ является K -квазиконформным и g : D ′ → D ′′ является K ′-квазиконформным, то g o f является KK ′-квазиконформным. Обратный к K -квазиконформному гомеоморфизму является K -квазиконформным. Множество 1-квазиконформных отображений образует группу относительно композиции.
Пространство K-квазиконформных отображений комплексной плоскости на себя, отображающих три различные точки в три заданные точки, компактно.
Центральное значение в теории квазиконформных отображений в двух измерениях имеет теорема об измеримом отображении Римана , доказанная Ларсом Альфорсом и Липманом Берсом. Теорема обобщает теорему об отображении Римана с конформных на квазиконформные гомеоморфизмы и формулируется следующим образом. Предположим, что D — односвязная область в C , не равная C , и предположим, что μ : D → C измеримо по Лебегу и удовлетворяет . Тогда существует квазиконформный гомеоморфизм f из D в единичный круг, который находится в пространстве Соболева W 1,2 ( D ) и удовлетворяет соответствующему уравнению Бельтрами ( 1 ) в распределительном смысле . Как и в теореме об отображении Римана, этот f является единственным с точностью до 3 действительных параметров.
В последнее время квазиконформная геометрия привлекла внимание различных областей, таких как прикладная математика, компьютерное зрение и медицинская визуализация. Была разработана вычислительная квазиконформная геометрия, которая расширяет квазиконформную теорию в дискретную среду. Она нашла различные важные приложения в анализе медицинских изображений, компьютерном зрении и графике.
