В математике теорема об измеримом отображении Римана — это теорема, доказанная в 1960 году Ларсом Альфорсом и Липманом Берсом в комплексном анализе и геометрической теории функций . Вопреки своему названию, она не является прямым обобщением теоремы об отображении Римана , а представляет собой результат, касающийся квазиконформных отображений и решений уравнения Бельтрами . Результат был предвосхищен более ранними результатами Чарльза Моррея 1938 года по квазилинейным эллиптическим уравнениям с частными производными .
Теорема Альфорса и Берса утверждает, что если μ — ограниченная измеримая функция на C с , то существует единственное решение f уравнения Бельтрами
для которого f является квазиконформным гомеоморфизмом C, фиксирующим точки 0, 1 и ∞. Аналогичный результат верен при замене C единичным кругом D. Их доказательство использовало преобразование Берлинга , сингулярный интегральный оператор .
Ссылки
- Альфорс, Ларс; Берс, Липман (1960), «Теорема Римана об отображении для переменных метрик», Annals of Mathematics , 72 (2): 385–404, doi :10.2307/1970141, JSTOR 1970141
- Альфорс, Ларс В. (1966), Лекции по квазиконформным отображениям , Ван Ностранд
- Astala, Kari; Iwaniec, Tadeusz ; Martin, Gaven (2009), Эллиптические уравнения с частными производными и квазиконформные отображения на плоскости , Princeton Mathematical Series, т. 48, Princeton University Press, стр. 161–172, ISBN 978-0-691-13777-3
- Карлесон, Л.; Гамелен, TDW (1993), Комплексная динамика , Universitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 0-387-97942-5
- Моррей, Чарльз Б. младший (1938), «О решениях квазилинейных эллиптических уравнений в частных производных», Труды Американского математического общества , 43 (1): 126–166, doi : 10.2307/1989904 , JFM 62.0565.02, JSTOR 1989904, MR 1501936, Zbl 0018.40501
- Закери, Саид; Зейналян, Махмуд (1996), «Когда эллипсы выглядят как окружности: теорема об измеримом отображении Римана» (PDF) , Nashr-e-Riazi , 8 : 5–14
