Эллиптическое уравнение в частных производных

Класс линейных уравнений в частных производных второго порядка

Линейные уравнения в частных производных (PDE) второго порядка классифицируются как эллиптические , гиперболические или параболические . Любое линейное PDE второго порядка с двумя переменными можно записать в виде

${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+Fu+G=0,\,}$

где A , B , C , D , E , F и G — функции x и y , а также и аналогично для . Уравнение в частных производных, записанное в этой форме, является эллиптическим, если ${\displaystyle u_{x}={\frac {\partial u}{\partial x}}}$ ${\displaystyle u_{xy}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}}$ ${\displaystyle u_{xx},u_{y},u_{yy}}$

${\displaystyle B^{2}-AC<0,}$

с этим соглашением об именовании, вдохновленным уравнением для плоского эллипса . Уравнения с называются параболическими , а с — гиперболическими . ${\displaystyle B^{2}-AC=0}$ ${\displaystyle B^{2}-AC>0}$

Простейшими примерами эллиптических уравнений в частных производных являются уравнение Лапласа , и уравнение Пуассона , В некотором смысле любое другое эллиптическое уравнение в частных производных с двумя переменными можно считать обобщением одного из этих уравнений, поскольку его всегда можно привести к каноническому виду ${\displaystyle \Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0}$ ${\displaystyle \Delta u=u_{xx}+u_{yy}=f(x,y).}$

${\displaystyle u_{xx}+u_{yy}+{\text{ (lower-order terms)}}=0}$

через изменение переменных. ^{[1] [2]}

Качественное поведение

Эллиптические уравнения не имеют реальных характеристических кривых , кривых, вдоль которых невозможно исключить хотя бы одну вторую производную от из условий задачи Коши . ^[1] Поскольку характеристические кривые являются единственными кривыми, вдоль которых решения уравнений в частных производных с гладкими параметрами могут иметь разрывные производные, решения эллиптических уравнений не могут иметь разрывных производных нигде. Это означает, что эллиптические уравнения хорошо подходят для описания состояний равновесия, где любые разрывы уже сглажены. Например, мы можем получить уравнение Лапласа из уравнения теплопроводности , положив . Это означает, что уравнение Лапласа описывает устойчивое состояние уравнения теплопроводности. ^[2] ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u_{t}=\Delta u}$ ${\displaystyle u_{t}=0}$

В параболических и гиперболических уравнениях характеристики описывают линии, по которым перемещается информация об исходных данных. Поскольку эллиптические уравнения не имеют реальных характеристических кривых, для эллиптических уравнений нет осмысленного смысла распространения информации. Это делает эллиптические уравнения более подходящими для описания статических, а не динамических процессов. ^[2]

Вывод канонической формы

Выведем каноническую форму для эллиптических уравнений с двумя переменными, . ${\displaystyle u_{xx}+u_{xy}+u_{yy}+{\text{ (lower-order terms)}}=0}$

${\displaystyle \xi =\xi (x,y)}$и . ${\displaystyle \eta =\eta (x,y)}$

Если , то применение цепного правила один раз дает ${\displaystyle u(\xi ,\eta )=u[\xi (x,y),\eta (x,y)]}$

${\displaystyle u_{x}=u_{\xi }\xi _{x}+u_{\eta }\eta _{x}}$и , ${\displaystyle u_{y}=u_{\xi }\xi _{y}+u_{\eta }\eta _{y}}$

второе приложение дает

${\displaystyle u_{xx}=u_{\xi \xi }{\xi ^{2}}_{x}+u_{\eta \eta }{\eta ^{2}}_{x}+2u_{\xi \eta }\xi _{x}\eta _{x}+u_{\xi }\xi _{xx}+u_{\eta }\eta _{xx},}$

${\displaystyle u_{yy}=u_{\xi \xi }{\xi ^{2}}_{y}+u_{\eta \eta }{\eta ^{2}}_{y}+2u_{\xi \eta }\xi _{y}\eta _{y}+u_{\xi }\xi _{yy}+u_{\eta }\eta _{yy},}$и

${\displaystyle u_{xy}=u_{\xi \xi }\xi _{x}\xi _{y}+u_{\eta \eta }\eta _{x}\eta _{y}+u_{\xi \eta }(\xi _{x}\eta _{y}+\xi _{y}\eta _{x})+u_{\xi }\xi _{xy}+u_{\eta }\eta _{xy}.}$

Мы можем заменить наше уравнение в частных производных по x и y эквивалентным уравнением по и ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle au_{\xi \xi }+2bu_{\xi \eta }+cu_{\eta \eta }{\text{ + (lower-order terms)}}=0,\,}$

где

${\displaystyle a=A{\xi _{x}}^{2}+2B\xi _{x}\xi _{y}+C{\xi _{y}}^{2},}$

${\displaystyle b=2A\xi _{x}\eta _{x}+2B(\xi _{x}\eta _{y}+\xi _{y}\eta _{x})+2C\xi _{y}\eta _{y},}$и

${\displaystyle c=A{\eta _{x}}^{2}+2B\eta _{x}\eta _{y}+C{\eta _{y}}^{2}.}$

Чтобы преобразовать наше уравнение в частных производных в желаемую каноническую форму, мы ищем и такие, что и . Это дает нам систему уравнений ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle a=c}$ ${\displaystyle b=0}$

${\displaystyle a-c=A({\xi _{x}}^{2}-{\eta _{x}}^{2})+2B(\xi _{x}\xi _{y}-\eta _{x}\eta _{y})+C({\xi _{y}}^{2}-{\eta _{y}}^{2})=0}$

${\displaystyle b=0=2A\xi _{x}\eta _{x}+2B(\xi _{x}\eta _{y}+\xi _{y}\eta _{x})+2C\xi _{y}\eta _{y},}$

Умножая второе уравнение на первое и устанавливая, получаем квадратное уравнение ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \phi =\xi +i\eta }$

${\displaystyle A{\phi _{x}}^{2}+2B\phi _{x}\phi _{y}+C{\phi _{y}}^{2}=0.}$

Так как дискриминант , это уравнение имеет два различных решения, ${\displaystyle B^{2}-AC<0}$

${\displaystyle {\phi _{x}},{\phi _{y}}={\frac {B\pm i{\sqrt {AC-B^{2}}}}{A}}}$

которые являются комплексно сопряженными. Выбирая любое решение, мы можем решить для , и восстановить и с преобразованиями и . Так как и будут удовлетворять и , то с заменой переменных от x и y к и преобразует PDE ${\displaystyle \phi (x,y)}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \xi =\operatorname {Re} \phi }$ ${\displaystyle \eta =\operatorname {Im} \phi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle a-c=0}$ ${\displaystyle b=0}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+Fu+G=0,\,}$

в каноническую форму

${\displaystyle u_{\xi \xi }+u_{\eta \eta }+{\text{ (lower-order terms)}}=0,}$

по желанию.

В более высоких измерениях

Общее уравнение в частных производных второго порядка с n переменными имеет вид

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\;{\text{ + (lower-order terms)}}=0.}$

Это уравнение считается эллиптическим, если отсутствуют характеристические поверхности, т. е. поверхности, вдоль которых из условий задачи Коши невозможно исключить хотя бы одну вторую производную от u . ^[1]

В отличие от двумерного случая, это уравнение в общем случае не может быть приведено к простому каноническому виду. ^[2]

Смотрите также

• Эллиптический оператор
• Гиперболическое уравнение в частных производных
• Параболическое уравнение в частных производных
• Уравнения в частных производных второго порядка (для более полного обсуждения)

Ссылки

1. Pinchover, Yehuda; Rubinstein, Jacob (2005). Введение в уравнения с частными производными. Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-84886-2.
2. Заудерер, Эрих (1989). Уравнения в частных производных прикладной математики . Нью-Йорк: John Wiley&Sons. ISBN 0-471-61298-7.

Внешние ссылки

• «Эллиптическое уравнение в частных производных», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• «Эллиптическое уравнение в частных производных, численные методы», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Эллиптическое уравнение в частных производных». MathWorld .