Квартальная взаимность

Условия в теории чисел

Квартальная или биквадратная взаимность — это совокупность теорем элементарной и алгебраической теории чисел , устанавливающих условия, при которых сравнение x ⁴ ≡ p (mod q ) разрешимо; слово «взаимность» происходит от формы некоторых из этих теорем, поскольку они связывают разрешимость сравнения x ⁴ ≡ p (mod q ) с разрешимостью сравнения x ⁴ ≡ q (mod p ).

История

Эйлер выдвинул первые гипотезы о биквадратичном законе взаимности. ^[1] Гаусс опубликовал две монографии о биквадратичном законе взаимности. В первой (1828) он доказал гипотезу Эйлера о биквадратичном характере числа 2. Во второй (1832) он сформулировал биквадратный закон взаимности для целых чисел Гаусса и доказал дополнительные формулы. Он сказал ^[2] , что третья монография с доказательством общей теоремы будет опубликована, но она так и не появилась. Якоби представил доказательства в своих Кенигсбергских лекциях 1836–37 гг. ^[3] Первые опубликованные доказательства были получены Эйзенштейном. ^{[4] [5] [6] [7]}

С тех пор было найдено множество других доказательств классической (гауссовой) версии, ^[8] а также альтернативные утверждения. Леммермейер утверждает, что с 1970-х годов произошел взрыв интереса к рациональным законам взаимности . ^{[A] [9]}

Целые числа

Квартальный или биквадратный вычет (mod p ) — это любое число , сравнимое с четвертой степенью целого числа (mod p ). Если x ⁴ ≡ a (mod p ) не имеет целочисленного решения, a — квартальный или биквадратный невычет (mod p ). ^[10]

Как это часто бывает в теории чисел, проще всего работать с модулями простых чисел, поэтому в этом разделе все модули p , q и т. д. предполагаются положительными, нечетными простыми числами. ^[10]

Гаусс

Первое, что следует отметить при работе в кольце целых чисел Z , это то, что если простое число q ≡ 3 (mod 4), то остаток r является квадратичным остатком (mod q ) тогда и только тогда, когда он является биквадратичным остатком (mod q ). Действительно, первое дополнение квадратичной взаимности утверждает, что −1 является квадратичным невычетом (mod q ), так что для любого целого числа x один из x и − x является квадратичным вычетом, а другой — невычетом. Таким образом, если r ≡ a ² (mod q ) является квадратичным вычетом, то если a ≡ b ² является вычетом, то r ≡ a ² ≡ b ⁴ (mod q ) является биквадратичным вычетом, а если a является невычетом, то − a является вычетом, − a ≡ b ² , и снова, r ≡ (− a ) ² ≡ b ⁴ (mod q ) является биквадратичным вычетом. ^[11]

Поэтому единственный интересный случай — это когда модуль p ≡ 1 (mod 4).

Гаусс доказал ^[12] , что если p ≡ 1 (mod 4), то ненулевые классы вычетов (mod p ) можно разделить на четыре множества, каждое из которых содержит ( p −1)/4 чисел. Пусть e — квадратичный невычет. Первое множество — это вычеты четвертой степени; второе — это e , умноженное на числа в первом множестве, третье — это e, ^{умноженное} на числа в первом множестве, а четвертое — это e, ^{умноженное} на числа в первом множестве. Другой способ описать это разделение — позволить g быть примитивным корнем (mod p ); тогда первое множество — это все числа, индексы которых относительно этого корня ≡ 0 (mod 4), второе множество — это все числа, индексы которых ≡ 1 (mod 4) и т. д. ^[13] В словаре теории групп первое множество — это подгруппа индекса 4 (мультипликативной группы Z /p Z ^× ), а остальные три — ее смежные классы.

Первый набор — это биквадратичные вычеты, третий набор — это квадратичные вычеты, которые не являются вычетами четвертой степени, а второй и четвертый наборы — это квадратичные невычеты. Гаусс доказал, что −1 является биквадратичным вычетом, если p ≡ 1 (mod 8), и квадратичным, но не биквадратичным, вычетом, если p ≡ 5 (mod 8). ^[14]

2 является квадратичным вычетом mod p тогда и только тогда, когда p ≡ ±1 (mod 8). Поскольку p также ≡ 1 (mod 4), это означает, что p ≡ 1 (mod 8). Каждое такое простое число является суммой квадрата и удвоенного квадрата. ^[15]

Гаусс доказал ^[14]

Пусть q = a ² + 2 b ² ≡ 1 (mod 8) — простое число. Тогда

2 является биквадратичным вычетом (mod q ) тогда и только тогда, когда a ≡ ±1 (mod 8), и

2 является квадратичным, но не биквадратичным вычетом (mod q ) тогда и только тогда, когда a ≡ ±3 (mod 8).

Каждое простое число p ≡ 1 (mod 4) является суммой двух квадратов. ^[16] Если p = a ² + b ^{2 ,} где a нечетное, а b четное, Гаусс доказал ^[17] , что

2 принадлежит к первому (соответственно второму, третьему или четвертому) классу, определенному выше, если и только если b ≡ 0 (соответственно 2, 4 или 6) (mod 8). Первый случай этого — одна из гипотез Эйлера:

2 является биквадратичным вычетом простого числа p ≡ 1 (mod 4) тогда и только тогда, когда p = a ² + 64 b ² .

Дирихле

Для нечетного простого числа p и квадратичного вычета a (mod p ) критерий Эйлера гласит, что если p ≡ 1 (mod 4), ${\displaystyle a^{\frac {p-1}{2}}\equiv 1{\pmod {p}},}$ ${\displaystyle a^{\frac {p-1}{4}}\equiv \pm 1{\pmod {p}}.}$

Определим символ рационального вычета четвертой степени для простого числа p ≡ 1 (mod 4) и квадратичного вычета a (mod p ) как Легко доказать, что a является биквадратичным вычетом (mod p ) тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {a}{p}}{\Bigg )}_{4}=\pm 1\equiv a^{\frac {p-1}{4}}{\pmod {p}}.}$ ${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {a}{p}}{\Bigg )}_{4}=1.}$

Дирихле ^[18] упростил доказательство Гаусса биквадратичного характера числа 2 (его доказательство требует только квадратичной взаимности для целых чисел) и представил результат в следующей форме:

Пусть p = a ² + b ² ≡ 1 (mod 4) — простое число, и пусть i ≡ b / a (mod p ). Тогда

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {2}{p}}{\Bigg )}_{4}\equiv i^{\frac {ab}{2}}{\pmod {p}}.}$     (Обратите внимание, что i ² ≡ −1 (mod p ).)

На самом деле, ^[19] пусть p = a ² + b ² = c ² + 2 d ² = e ² − 2 f ² ≡ 1 (mod 8) будет простым числом, и предположим, что a нечетное. Тогда

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {2}{p}}{\Bigg )}_{4}=\left(-1\right)^{\frac {b}{4}}={\Bigg (}{\frac {2}{c}}{\Bigg )}=\left(-1\right)^{n+{\frac {d}{2}}}={\Bigg (}{\frac {-2}{e}}{\Bigg )},}$   где - обычный символ Лежандра . ${\displaystyle ({\tfrac {x}{q}})}$

Выходя за рамки характера 2, пусть простое число p = a ² + b ² , где b четное, и пусть q будет простым числом, таким что Квадратичная взаимность гласит, что где Пусть σ ² ≡ p (mod q ). Тогда ^[20] ${\displaystyle ({\tfrac {p}{q}})=1.}$ ${\displaystyle ({\tfrac {q^{*}}{p}})=1,}$ ${\displaystyle q^{*}=(-1)^{\frac {q-1}{2}}q.}$

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {q^{*}}{p}}{\Bigg )}_{4}={\Bigg (}{\frac {\sigma (b+\sigma )}{q}}{\Bigg )}.}$Это подразумевает ^[21], что

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {q^{*}}{p}}{\Bigg )}_{4}=1{\mbox{ if and only if }}{\begin{cases}b\equiv 0{\pmod {q}};&{\mbox{ or }}\\a\equiv 0{\pmod {q}}{\mbox{ and }}\left({\frac {2}{q}}\right)=1;&{\mbox{ or }}\\a\equiv \mu b,\;\;\mu ^{2}+1\equiv \lambda ^{2}{\pmod {q}}{\mbox{, and }}\left({\frac {\lambda (\lambda +1)}{q}}\right)=1.\end{cases}}}$

Вот первые несколько примеров: ^[22]

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {-3}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}&b&\equiv 0{\pmod {3}}\\\left({\frac {5}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}&b&\equiv 0{\pmod {5}}\\\left({\frac {-7}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}&ab&\equiv 0{\pmod {7}}\\\left({\frac {-11}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}&b(b^{2}-3a^{2})&\equiv 0{\pmod {11}}\\\left({\frac {13}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}&b(b^{2}-3a^{2})&\equiv 0{\pmod {13}}\\\left({\frac {17}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}\;\;\;\;&ab(b^{2}-a^{2})&\equiv 0{\pmod {17}}.\\\end{aligned}}}$

Эйлер предположил правила для чисел 2, −3 и 5, но не доказал ни одно из них.

Дирихле ^[23] также доказал, что если p ≡ 1 (mod 4) является простым числом и тогда ${\displaystyle ({\tfrac {17}{p}})=1}$

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {17}{p}}{\Bigg )}_{4}{\Bigg (}{\frac {p}{17}}{\Bigg )}_{4}={\begin{cases}+1{\mbox{ if and only if }}\;\;p=x^{2}+17y^{2}\\-1{\mbox{ if and only if }}2p=x^{2}+17y^{2}\end{cases}}}$

Браун и Лемер расширили этот диапазон с 17 до 17, 73, 97 и 193. ^[24]

Берде

Существует ряд эквивалентных способов сформулировать рациональный биквадратичный закон взаимности Берда.

Все они предполагают, что p = a ² + b ² и q = c ² + d ² — простые числа, где b и d — четные, и что ${\displaystyle ({\tfrac {p}{q}})=1.}$

Версия Госсета такова ^[9]

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {q}{p}}{\Bigg )}_{4}\equiv {\Bigg (}{\frac {a/b-c/d}{a/b+c/d}}{\Bigg )}^{\frac {q-1}{4}}{\pmod {q}}.}$

Положим i ² ≡ −1 (mod p ) и j ² ≡ −1 (mod q ), закон Фрелиха ^[25]

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {q}{p}}{\Bigg )}_{4}{\Bigg (}{\frac {p}{q}}{\Bigg )}_{4}={\Bigg (}{\frac {a+bj}{q}}{\Bigg )}={\Bigg (}{\frac {c+di}{p}}{\Bigg )}.}$

Берд изложил свою точку зрения в следующей форме: ^{[26] [27] [28]}

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {q}{p}}{\Bigg )}_{4}{\Bigg (}{\frac {p}{q}}{\Bigg )}_{4}={\Bigg (}{\frac {ac-bd}{q}}{\Bigg )}.}$

Обратите внимание, что ^[29]

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {ac+bd}{p}}{\Bigg )}={\Bigg (}{\frac {p}{q}}{\Bigg )}{\Bigg (}{\frac {ac-bd}{p}}{\Bigg )}.}$

Разное

Пусть p ≡ q ≡ 1 (mod 4) — простые числа и предположим . Тогда e ² = pf ² + qg ² имеет нетривиальные целочисленные решения, и ^[30] ${\displaystyle ({\tfrac {p}{q}})=1}$

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {p}{q}}{\Bigg )}_{4}{\Bigg (}{\frac {q}{p}}{\Bigg )}_{4}=\left(-1\right)^{\frac {fg}{2}}\left({\frac {-1}{e}}\right).}$

Пусть p ≡ q ≡ 1 (mod 4) — простые числа, и предположим, что p = r ² + qs ² . Тогда ^[31]

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {p}{q}}{\Bigg )}_{4}{\Bigg (}{\frac {q}{p}}{\Bigg )}_{4}=\left({\frac {2}{q}}\right)^{s}.}$

Пусть p = 1 + 4 x ² — простое число, пусть a — любое нечетное число, делящее x , и пусть Тогда ^[32] a ^* — биквадратный вычет (mod p ). ${\displaystyle a^{*}=\left(-1\right)^{\frac {a-1}{2}}a.}$

Пусть p = a ² + 4 b ² = c ² + 2 d ² ≡ 1 (mod 8) — простое число. Тогда ^[33] все делители c ⁴ − pa ² являются биквадратичными вычетами (mod p ). То же самое верно для всех делителей d ⁴ − pb ² .

Гауссовы целые числа

Фон

В своей второй монографии о биквадратичной взаимности Гаусс приводит несколько примеров и выдвигает гипотезы, которые подразумевают теоремы, перечисленные выше для биквадратичного характера малых простых чисел. Он делает несколько общих замечаний и признает, что нет очевидного общего правила в работе. Он продолжает:

Теоремы о биквадратичных вычетах блистают наибольшей простотой и подлинной красотой только тогда, когда область арифметики распространяется на мнимые числа, так что без ограничений числа вида a + bi составляют объект изучения... мы называем такие числа целочисленными комплексными числами . ^[34] [жирный шрифт в оригинале]

Эти числа теперь называются кольцом гауссовых целых чисел и обозначаются как Z [ i ]. Обратите внимание, что i — это корень четвертой степени из 1.

В сноске он добавляет:

Теория кубических вычетов должна быть основана аналогичным образом на рассмотрении чисел вида a + bh , где h — мнимый корень уравнения h ³ = 1... и аналогично теория вычетов более высоких степеней приводит к введению других мнимых величин. ^[35]

Числа, построенные из кубического корня из единицы, теперь называются кольцом целых чисел Эйзенштейна . «Другие мнимые величины», необходимые для «теории вычетов высших степеней», — это кольца целых чисел циклотомических числовых полей ; простейшими примерами являются гауссовы и эйзенштейновские целые числа.

Факты и терминология

Гаусс развивает арифметическую теорию «целых комплексных чисел» и показывает, что она весьма похожа на арифметику обычных целых чисел. ^[36] Именно здесь в математику были введены термины «единица», «ассоциированный», «норма» и «первичный».

Единицами являются числа, которые делят 1. [ ^37] Это 1, i , −1 и − i . Они похожи на 1 и −1 в обычных целых числах, в том, что они делят каждое число. Единицами являются степени i .

Дано число λ = a + bi , его сопряженное число равно a − bi , а его ассоциированные числа — четыре числа ^[37]

   λ = + а + би

  я λ = − b + ai

 −λ = − а − би

− я λ = + б − аи

Если λ = a + bi , норма λ, записанная Nλ, есть число a ² + b ² . Если λ и μ — два гауссовых целых числа, Nλμ = Nλ Nμ; другими словами, норма мультипликативна. ^[37] Норма нуля равна нулю, норма любого другого числа — положительное целое число. ε является единицей тогда и только тогда, когда Nε = 1. Квадратный корень нормы λ, неотрицательного действительного числа, которое может не быть гауссовым целым числом, есть абсолютное значение лямбды.

Гаусс доказывает, что Z [ i ] является уникальной областью факторизации , и показывает, что простые числа делятся на три класса: ^[38]

• 2 — особый случай: 2 = i ³ (1 + i ) ² . Это единственное простое число в Z , делящееся на квадрат простого числа в Z [ i ]. В алгебраической теории чисел говорят, что 2 разветвляется в Z [ i ].
• Положительные простые числа в Z ≡ 3 (mod 4) также являются простыми числами в Z [ i ]. В алгебраической теории чисел говорят, что эти простые числа остаются инертными в Z [ i ].
• Положительные простые числа в Z ≡ 1 (mod 4) являются произведением двух сопряженных простых чисел в Z [ i ]. В алгебраической теории чисел говорят, что эти простые числа расщепляются в Z [ i ].

Таким образом, инертными простыми числами являются 3, 7, 11, 19, ..., а факторизация разделенных простых чисел имеет вид

 5 = (2 + i ) × (2 − i ),

13 = (2 + 3i ) × (2 − 3i ) ,

17 = (4 + i ) × (4 − i ),

29 = (2 + 5i ) × (2 − 5i ) , ...

Ассоциированные и сопряженные числа простого числа также являются простыми числами.

Обратите внимание, что норма инертного простого числа q равна N q = q ² ≡ 1 (mod 4); таким образом, норма всех простых чисел, отличных от 1 + i и его ассоциированных чисел, равна ≡ 1 (mod 4).

Гаусс называет число в Z [ i ] нечетным, если его норма — нечетное целое число. ^[39] Таким образом, все простые числа, кроме 1 + i и его ассоциированных чисел, нечетны. Произведение двух нечетных чисел нечетно, а сопряженное и ассоциированное числа нечетны.

Для того чтобы сформулировать теорему об уникальной факторизации, необходимо иметь способ различения одного из ассоциированных элементов числа. Гаусс определяет ^[40] нечетное число как первичное, если оно ≡ 1 (mod (1 + i ) ³ ). Легко показать, что каждое нечетное число имеет ровно один первичный ассоциированный элемент. Нечетное число λ = a + bi является первичным, если a + b ≡ a − b ≡ 1 (mod 4); т. е. a ≡ 1 и b ≡ 0, или a ≡ 3 и b ≡ 2 (mod 4). ^[41] Произведение двух первичных чисел является первичным, и сопряженное первичному числу также является первичным.

Теорема единственной факторизации ^[42] для Z [ i ] такова: если λ ≠ 0, то

${\displaystyle \lambda =i^{\mu }(1+i)^{\nu }\pi _{1}^{\alpha _{1}}\pi _{2}^{\alpha _{2}}\pi _{3}^{\alpha _{3}}\dots }$

где 0 ≤ μ ≤ 3, ν ≥ 0, π _{являются} простыми числами, а α _≥ 1, и это представление является единственным с точностью до порядка множителей.

Понятия сравнения ^[43] и наибольшего общего делителя ^[44] определяются в Z [ i ] так же, как и для обычных целых чисел Z. Поскольку единицы делят все числа, сравнение (mod λ) также истинно по модулю любого ассоциированного элемента λ, а любой ассоциированный элемент НОД также является НОД.

Характер остатка четвертичного ряда

Гаусс доказывает аналог теоремы Ферма : если α не делится на нечетное простое число π, то ^[45]

${\displaystyle \alpha ^{N\pi -1}\equiv 1{\pmod {\pi }}}$

Так как Nπ ≡ 1 (mod 4), то это имеет смысл, и для уникальной единицы i ^k . ${\displaystyle \alpha ^{\frac {N\pi -1}{4}}}$ ${\displaystyle \alpha ^{\frac {N\pi -1}{4}}\equiv i^{k}{\pmod {\pi }}}$

Эта единица называется квартикальным или биквадратичным вычетом α (mod π) и обозначается ^{[46] [47]}

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\pi }}\right]=i^{k}\equiv \alpha ^{\frac {N\pi -1}{4}}{\pmod {\pi }}.}$

Он имеет формальные свойства, аналогичные свойствам символа Лежандра . ^[48]

Сравнение       разрешимо в Z [ i ] тогда и только тогда, когда    ^[49] ${\displaystyle x^{4}\equiv \alpha {\pmod {\pi }}}$ ${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\pi }}\right]=1.}$

${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {\alpha \beta }{\pi }}{\Bigg ]}={\Bigg [}{\frac {\alpha }{\pi }}{\Bigg ]}{\Bigg [}{\frac {\beta }{\pi }}{\Bigg ]}}$

${\displaystyle {\overline {{\Bigg [}{\frac {\alpha }{\pi }}{\Bigg ]}}}={\Bigg [}{\frac {\overline {\alpha }}{\overline {\pi }}}{\Bigg ]}}$     где черта обозначает комплексное сопряжение .

если π и θ являются ассоциированными,    ${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {\alpha }{\pi }}{\Bigg ]}={\Bigg [}{\frac {\alpha }{\theta }}{\Bigg ]}}$

если α ≡ β (mod π),    ${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {\alpha }{\pi }}{\Bigg ]}={\Bigg [}{\frac {\beta }{\pi }}{\Bigg ]}}$

Биквадратичный характер может быть расширен до нечетных составных чисел в «знаменателе» таким же образом, как символ Лежандра обобщается в символ Якоби . Как и в этом случае, если «знаменатель» является составным, символ может быть равен единице без разрешимости сравнения:

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\lambda }}\right]=\left[{\frac {\alpha }{\pi _{1}}}\right]^{\alpha _{1}}\left[{\frac {\alpha }{\pi _{2}}}\right]^{\alpha _{2}}\dots }$   где    ${\displaystyle \lambda =\pi _{1}^{\alpha _{1}}\pi _{2}^{\alpha _{2}}\pi _{3}^{\alpha _{3}}\dots }$

Если a и b — обычные целые числа, a ≠ 0, | b | > 1, gcd( a , b ) = 1, то ^[50]    ${\displaystyle \left[{\frac {a}{b}}\right]=1.}$

Утверждения теоремы

Гаусс сформулировал закон взаимности в такой форме: ^{[2] [51]}

Пусть π и θ — различные простые числа из Z [ i ]. Тогда

если либо π, либо θ, либо оба ≡ 1 (mod 4), то ${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {\pi }{\theta }}{\Bigg ]}=\left[{\frac {\theta }{\pi }}\right],}$

если и π, и θ ≡ 3 + 2 i (mod 4), то ${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {\pi }{\theta }}{\Bigg ]}=-\left[{\frac {\theta }{\pi }}\right].}$

Так же, как квадратичный закон взаимности для символа Лежандра также верен для символа Якоби, требование, чтобы числа были простыми, не является необходимым; достаточно, чтобы они были нечетными взаимно простыми числами, не являющимися единицами. ^[52] Вероятно, наиболее известным утверждением является:

Пусть π и θ — первичные взаимно простые числа, не являющиеся единицами. Тогда ^[53]

${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {\pi }{\theta }}{\Bigg ]}\left[{\frac {\theta }{\pi }}\right]^{-1}=(-1)^{{\frac {N\pi -1}{4}}{\frac {N\theta -1}{4}}}.}$

Имеются дополнительные теоремы ^{[54] [55]} для единиц и получетного простого числа 1 + i .

если π = a + bi — простое число, то

${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {i}{\pi }}{\Bigg ]}=i^{-{\frac {a-1}{2}}},\;\;\;{\Bigg [}{\frac {1+i}{\pi }}{\Bigg ]}=i^{\frac {a-b-1-b^{2}}{4}},}$

и таким образом

${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {-1}{\pi }}{\Bigg ]}=(-1)^{\frac {a-1}{2}},\;\;\;{\Bigg [}{\frac {2}{\pi }}{\Bigg ]}=i^{-{\frac {b}{2}}}.}$

Кроме того, если π = a + bi — простое число, а b ≠ 0, то ^[56]

${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {\overline {\pi }}{\pi }}{\Bigg ]}={\Bigg [}{\frac {-2}{\pi }}{\Bigg ]}(-1)^{\frac {a^{2}-1}{8}}}$   (если b = 0, то символ равен 0).

Якоби определил π = a + bi как первичное число, если a ≡ 1 (mod 4). При такой нормализации закон принимает вид ^[57]

Пусть α = a + bi и β = c + di , где a ≡ c ≡ 1 (mod 4), а b и d — четные взаимно простые числа, не являющиеся единицами. Тогда

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\beta }}\right]\left[{\frac {\beta }{\alpha }}\right]^{-1}=(-1)^{\frac {bd}{4}}}$

Следующая версия была найдена в неопубликованных рукописях Гаусса. ^[58]

Пусть α = a + 2 bi и β = c + 2 di , где a и c — нечетные взаимно простые числа, не являющиеся единицами. Тогда

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\beta }}\right]\left[{\frac {\beta }{\alpha }}\right]^{-1}=(-1)^{bd+{\frac {a-1}{2}}d+{\frac {c-1}{2}}b},\;\;\;\;\left[{\frac {1+i}{\alpha }}\right]=i^{{\frac {b(a-3b)}{2}}-{\frac {a^{2}-1}{8}}}}$

Закон можно сформулировать, не прибегая к понятию первичности:

Если λ нечетно, пусть ε(λ) будет единственной единицей, сравнимой с λ (mod (1 + i ) ³ ); т.е. ε(λ) = i ^k ≡ λ (mod 2 + 2 i ), где 0 ≤ k ≤ 3. Тогда ^[59] для нечетных и взаимно простых α и β ни одна из них не является единицей,

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\beta }}\right]\left[{\frac {\beta }{\alpha }}\right]^{-1}=(-1)^{{\frac {N\alpha -1}{4}}{\frac {N\beta -1}{4}}}\epsilon (\alpha )^{\frac {N\beta -1}{4}}\epsilon (\beta )^{\frac {N\alpha -1}{4}}}$

Для нечетного λ пусть Тогда, если λ и μ — взаимно простые числа, отличные от единиц, Эйзенштейн доказал ^[60] ${\displaystyle \lambda ^{*}=(-1)^{\frac {N\lambda -1}{4}}\lambda .}$

${\displaystyle \left[{\frac {\lambda }{\mu }}\right]={\Bigg [}{\frac {\mu ^{*}}{\lambda }}{\Bigg ]}.}$

Смотрите также

• Квадратичная взаимность
• Кубическая взаимность
• Октичная взаимность
• Эйзенштейн взаимность
• Артин взаимность

Примечания

• A. ^ Здесь «рациональные» означают законы, которые сформулированы в терминах обычных целых чисел , а не в терминах целых чисел некоторого алгебраического числового поля .

Ссылки

1. Эйлер, Трактат , § 456
2. Гаусс, BQ, § 67
3. Леммермейер, стр. 200
4. Эйзенштейн, Лоис де взаимности
5. Эйзенштейн, Эйнфахер Бьюайс ...
6. Эйзенштейн, Приложение алгебры ...
7. Эйзенштейн, Beitrage zur Theorie der Elliptischen ...
8. Леммермейер, стр. 199–202.
9. Lemmermeyer, стр. 172
10. Гаусс, BQ § 2
11. Гаусс, BQ § 3
12. Гаусс, BQ §§ 4–7
13. Гаусс, BQ § 8
14. Гаусс, BQ § 10
15. Гаусс, DA Статья 182
16. Гаусс, DA, Статья 182
17. Гаусс BQ §§ 14–21
18. Дирихле, Демонстрация ...
19. Леммермейер, Предложение 5.4
20. Леммермейер, Предложение 5.5
21. Леммермейер, Пример 5.6
22. Леммермейер, стр.159, 190
23. Дирихле, Untersuruchungen ...
24. Леммермейер, Пример 5.19
25. Леммермейер, стр. 173
26. Леммермейер, стр. 167
27. Айрленд и Розен, стр. 128–130
28. Бурде, К. (1969). «Эйн рациональное биквадратише Reziprozitätsgesetz». Дж. Рейн Анжью. Математика. (на немецком языке). 235 : 175–184. Збл  0169.36902.
29. Леммермейер, Пример 5.13
30. Леммермейер, Пример 5.5
31. Lemmermeyer, Ex. 5.6, приписано Brown
32. Lemmermeyer, Ex. 6.5, приписано Sharifi
33. Lemmermeyer, Ex. 6.11, приписано E. Lehmer
34. Гаусс, BQ, § 30, перевод в Коксе, стр. 83
35. Гаусс, BQ, § 30, перевод в Коксе, стр. 84
36. Гаусс, BQ, §§ 30–55
37. Гаусс, BQ, § 31
38. Гаусс, BQ, §§ 33–34
39. Гаусс, BQ, § 35. Он определяет «получетные» числа как те, которые делятся на 1 + i , но не на 2, а «четные» числа как те, которые делятся на 2.
40. Гаусс, BQ, § 36
41. Айрленд и Розен, Гл. 9.7
42. Гаусс, BQ, § 37
43. Гаусс, BQ, §§ 38–45
44. Гаусс, BQ, §§ 46–47
45. Гаусс, BQ, § 51
46. Гаусс определил символ как показатель степени k, а не как единицу i ^k ; кроме того, у него не было символа для этого символа.
47. Не существует стандартной нотации для высших остатков в различных доменах (см. Lemmermeyer, стр. xiv); эта статья следует Lemmermeyer, гл. 5–6
48. Ирландия и Розен, Предложение 9.8.3
49. Гаусс, BQ, § 61
50. Ирландия и Розен, предложение 9.8.3, Леммермейер, предложение 6.8.
51. доказательства см. в Lemmermeyer, гл. 6 и 8, Ireland & Rosen, гл. 9.7–9.10
52. Леммермейер, Ф. 69.
53. Леммермейер, гл. 6, Ирландия и Розен, гл. 9.7–9.10
54. Леммермейер, Чт. 6.9; Айрленд и Розен, Экс. 9.32–9.37
55. Гаусс доказывает закон для 1 + i в BQ, §§ 68–76
56. Ирландия и Розен, пример 9.30; Леммермейер, пример 6.6, где указан Якоби
57. Леммермейер, Ф. 6.9
58. Леммермейер, Пример 6.17
59. Леммермейер, Пример 6.18 и стр. 275
60. Леммермейер, Гл. 8.4, Упр. 8.19

Литература

Ссылки на оригинальные работы Эйлера, Дирихле и Эйзенштейна были скопированы из библиографий Леммермейера и Кокса и не использовались при подготовке данной статьи.

Эйлер

• Эйлер, Леонард (1849), Tractatus de numeroroom doctrina capita sedecim quae supersunt , Комментарий. Арифметика. 2

На самом деле это было написано в 1748–1750 годах, но опубликовано только посмертно; оно находится в томе V, стр. 182–283

• Эйлер, Леонард (1911–1944), Opera Omnia, Series prima, Vols I–V , Лейпциг и Берлин: Teubner

Гаусс

Две монографии Гаусса, опубликованные по биквадратичной взаимности, имеют последовательно пронумерованные разделы: первый содержит §§ 1–23, а второй §§ 24–76. Сноски, ссылающиеся на них, имеют вид "Gauss, BQ, § n ". Сноски, ссылающиеся на Disquisitiones Arithmeticae, имеют вид "Gauss, DA, Art. n ".

• Гаусс, Карл Фридрих (1828), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima , Геттинген: Комментарий. Соц. Regiae Sci, Геттинген 6

• Гаусс, Карл Фридрих (1832), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda , Геттинген: Комментарий. Соц. Regiae Sci, Геттинген 7

Они находятся в книге Гаусса «Werke» , том II, стр. 65–92 и 93–148.

Немецкие переводы находятся на стр. 511–533 и 534–586 следующего издания, где также содержатся Disquisitiones Arithmeticae и другие работы Гаусса по теории чисел.

• Гаусс, Карл Фридрих (1965), «Рассуждения об арифметике и другие работы по теории чисел» (Второе издание) , перевод Мазера, Х., Нью-Йорк: Челси, ISBN 0-8284-0191-8

Эйзенштейн

• Эйзенштейн, Фердинанд Готтольд (1844), «Лои де взаимности», Journal für die reine und angewandte Mathematik (Журнал Крелля) , 1844 (28), Дж. Рейн Ангью. Математика. 28, стр. 53–67 (Журнал Крелля): 53–67, doi : 10.1515/crll.1844.28.53, S2CID  120713971

• Эйзенштейн, Фердинанд Готхольд (1844), Einfacher Beweis und Verallgemeinerung des Fundamentaltheorems für die biquadratischen Reste , J. Reine Angew. Математика. 28 стр. 223–245 (Журнал Крелля)

• Эйзенштейн, Фердинанд Готтольд (1845), Применение алгебры к трансцендентной арифметике , Ж. Рейн Ангью. Математика. 29 стр. 177–184 (Журнал Крелля)

• Эйзенштейн, Фердинанд Готхольд (1846), Beiträge zur Theorie der elliptischen Funktionen I: Ableitung des biquadratischen Fundalmentaltheorems aus der Theorie der Lemniskatenfunctionen, nebst Bemerkungen zu den Multiplications- und Transformationsformeln , Дж. Рейн Ангью. Математика. 30 стр. 185–210 (Журнал Крелля)

Все эти статьи находятся в первом томе его «Werke» .

Дирихле

• Дирихле, Пьер Гюстав ЛеЖен (1832), « Демонстрация аналога собственности в духе взаимности, которая существует между двумя первыми именами» , Ж. Рейн Ангью. Математика. 9 стр. 379–389 (Журнал Крелля)

• Дирихле, Пьер Гюстав ЛеЖен (1833), Untersuchungen über die Theorie derquaratischen Formen , Abh. Кёнигль. Пройсс. Акад. Висс. стр. 101–121

Оба они находятся в первом томе его «Werke» .

Современные авторы

• Кокс, Дэвид А. (1989), Простые числа вида x ² + ny ² , Нью-Йорк: Wiley, ISBN 0-471-50654-0

• Айрленд, Кеннет; Розен, Майкл (1990), Классическое введение в современную теорию чисел (второе издание) , Нью-Йорк: Springer , ISBN 0-387-97329-X

• Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности: от Эйлера до Эйзенштейна , Springer Monographs in Mathematics, Берлин: Springer, doi :10.1007/978-3-662-12893-0, ISBN 3-540-66957-4

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Биквадратичная теорема взаимности». MathWorld .

Эти две статьи Франца Леммермейера содержат доказательства закона Бурде и связанные с ним результаты:

• Рациональная четверичная взаимность
• Рациональная четверичная взаимность II