В машиностроении кинематическая цепь представляет собой совокупность твердых тел , соединенных шарнирами для обеспечения ограниченного движения, которое является математической моделью механической системы . [1] Как следует из слова «цепочка» , твердые тела или звенья ограничены своими связями с другими звеньями. Примером может служить простая разомкнутая цепь, образованная последовательно соединенными звеньями, как и обычная цепь, которая является кинематической моделью типичного робота- манипулятора . [2]
Математические модели соединений или соединений между двумя звеньями называются кинематическими парами . Кинематические пары моделируют шарнирные и скользящие соединения, фундаментальные для робототехники , часто называемые нижними парами , а также поверхностные контактные соединения, критически важные для кулачков и зубчатых передач , называемые высшими парами. Эти соединения обычно моделируются как голономные ограничения . Кинематическая схема – это схематическое изображение механической системы, на котором изображена кинематическая цепь.
Современное использование кинематических цепей включает податливость, возникающую в результате изгибных соединений в прецизионных механизмах, податливость звеньев в податливых механизмах и микроэлектромеханических системах , а также податливость кабеля в кабельных робототехнических и тенсегрити- системах. [3] [4]
Степени свободы или подвижности кинематической цепи — это количество параметров, определяющих конфигурацию цепи. [2] [5] Система из n твердых тел, движущихся в пространстве, имеет 6 n степеней свободы, измеренных относительно неподвижной системы отсчета. Этот кадр включается в подсчет тел, так что мобильность не зависит от канала, формирующего фиксированный кадр. Это означает, что степень свободы этой системы равна M = 6( N − 1) , где N = n + 1 — количество движущихся тел плюс неподвижное тело.
Соединения, соединяющие тела, накладывают ограничения. В частности, петли и ползунки налагают по пять ограничений и, следовательно, удаляют пять степеней свободы. Удобно определить количество ограничений c , которые накладывает сустав, через свободу соединения f , где c = 6 − f . В случае шарнира или ползунка , которые представляют собой соединения с одной степенью свободы, f = 1 и, следовательно, c = 6 - 1 = 5 .
В результате подвижность кинематической цепи, образованной из n подвижных звеньев и j шарниров, каждый со свободой f i , i = 1, 2, …, j , определяется выражением
Напомним, что N включает фиксированную ссылку.
Уравнения ограничений кинематической цепи связывают диапазон движения, разрешенный в каждом соединении, с размерами звеньев цепи и образуют алгебраические уравнения , которые решаются для определения конфигурации цепи, связанной с конкретными значениями входных параметров, называемых градусами. свободы .
Уравнения ограничений для кинематической цепи получаются с использованием жестких преобразований [Z] для характеристики относительного перемещения, разрешенного в каждом соединении, и отдельных жестких преобразований [X] для определения размеров каждого звена. В случае последовательной открытой цепи результатом является последовательность жестких преобразований, чередующихся суставных и звеньевых преобразований от основания цепи к ее конечному звену, что приравнивается к заданному положению конечного звена. Цепь из n последовательно соединенных звеньев имеет кинематические уравнения:
где [ T ] — преобразование, определяющее конечное звено. Обратите внимание, что цепь включает в себя «нулевое» звено, состоящее из основного фрейма, к которому оно прикреплено. Эти уравнения называются уравнениями прямой кинематики последовательной цепи. [6]
Кинематические цепи широкого диапазона сложности анализируются путем уравнения уравнений кинематики последовательных цепей, образующих петли внутри кинематической цепи. Эти уравнения часто называют петлевыми уравнениями .
Сложность (в плане расчета прямой и обратной кинематики ) цепи определяется следующими факторами:
Объяснение
Два или более твердых тел в пространстве вместе называются системой твердых тел. Мы можем воспрепятствовать движению этих независимых твердых тел с помощью кинематических ограничений. Кинематические ограничения — это ограничения между твердыми телами, которые приводят к уменьшению степеней свободы системы твердых тел. [5]
Уравнения ограничений кинематической цепи можно использовать в обратном порядке, чтобы определить размеры звеньев на основе спецификации желаемого движения системы. Это называется кинематическим синтезом. [7]
Возможно, наиболее развитая формулировка кинематического синтеза относится к четырехзвенным рычажным механизмам , известная как теория Бурместера . [8] [9] [10]
Фердинанда Фрейденштайна часто называют отцом современной кинематики за его вклад в кинематический синтез связей , начиная с 1950-х годов. Использование им недавно разработанного компьютера для решения уравнения Фрейденштайна стало прототипом систем автоматизированного проектирования . [7]
Эта работа была обобщена на синтез сферических и пространственных механизмов. [2]
![{\displaystyle [T]=[Z_{1}][X_{1}][Z_{2}][X_{2}]\cdots [X_{n-1}][Z_{n}],\! }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc9b6ca53890471c968bd37375f4b48b38c97d51)